一道“解析幾何”模擬考題的解法探究

北京市第八十中學 (100102) 孫世林

一道“解析幾何”模擬考題的解法探究

北京市第八十中學 (100102) 孫世林

解析幾何的綜合問題，已知條件多，題干長，常涉及多個知識點，對能力要求高，不少同學感到思路不清，難以入手，鑒于此，筆者結合今年北京市高考模擬解析幾何試題，談談個人的一些想法，談談如何自然形成解題思路，供大家參考．

一、從已知出發，循序漸進自然生成

已知條件是我們解題的重要依據，解題時要認真閱讀已知，準確把握已知給了我們那些信息？這些信息之間有什么關系？全面分析這些已知條件還可以得出那些結論？這些結論和我們所要求的結論有什么關系？另外，還有要充分挖掘題目中隱藏的已知條件有哪些？弄清了這些問題，解題思路便可自然生成，問題不攻自破．

例1 (2017年高考西城區第一次模擬考試，理科19題)

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)設O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證：∠ODF=∠OEF．

分析1：本題的第一問很容易解決，第二問中P為橢圓上一點，AP的中點M與原點O連接并延長與直線x=4相交，形成了點D，點E是過O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現了線段DF和EF，可見DF和EF都與點P有緊密的聯系，所以我們就應從點P入手探究點D與點E具有怎樣的位置關系？研究發現點D與點E與x軸沒有對稱關系，這樣自然引領我們來要探究EF與P點有緊密聯系的直線MD的位置關系，接下來再探究FD與OE的位置關系，這樣本題的解題思路就生成了.

(2)由(1)得A(-2,0)．設AP的中點M(x0,y0)，P(x1,y1)．

圖2

評析：通過上述分析及解題過程可以看出解題思路的形成是從已知入手，從已知條件間的聯系出發，探究從已知得出的相關點、線、角間的關系，循序漸進地得出所要求的結論．因此解題中要善于利用已知條件，這里所說的已知條件既有題目中直接給出的，也有隱含的需要我們進一步挖掘才能得出的條件．

分析2：如何使解題過程簡便快捷，運算量小一些，一直是考生們所追求的，在解法一中，我們從直線AP的方程出發，運算量略顯大些，如何解決？在本題中，點P為橢圓上的動點，點E和點D隨著點P的運動變化而變化，所以點P的運動變化是主動的，所以我們從點P的坐標出發，用點P的坐標表示點E和點D的坐標，從而刻畫EF和FD的運動變化，探究EF與直線MD的位置關系，這樣，從點P的坐標入手成為了解決本題的自然選擇．

評析：解析幾何綜合問題常在運動變化過程中探究某些不變的性質與規律，對于這類運動變化問題，解題時要從已知出發深入探究產生運動變化的根源，從產生運動變化的根源入手，選擇好從直線方程入手還是從點的坐標入手，就可以簡化計算過程，自然快捷地解決此類問題．

二、從結論入手，執果索因由此及彼

例2 (2017年高考北京市海淀區第一次模擬考試，文科19題)

圖3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設點Q(4,0), 若點P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點M.判斷是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

分析：是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？很自然想到假設成立，將四邊形APQM為梯形視為已知反推點P所滿足的條件，由已知顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行，由平行我們又很自然地想到斜率相等，在AP與MQ斜率相等的條件求得點P的坐標，這里我們可以有三種思路.

思路一：因為點P在直線x=4上，所以可設點P(4,y0)，由此得出直線BP的方程，從而用點P的坐標P(4,y0)表示點M的坐標，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求得點P的坐標．

思路二：從直線AP入手，由于點A已知，所以設AP所在直線為y=k(x+2)，利用點P在直線x=4上將點P的坐標用k表示，從而得出直線BP的方程，利用點M是直線BP與橢圓的交點，將點M坐標也用k表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求點P的坐標；本思路中要經歷兩次解方程組，特別是求點M坐標時要注意韋達定理的應用，以簡化運算．

思路三：從直線BP入手，由于點B已知，所以設BP所在直線為x=ty+2，利用點P在直線x=4上將點P的坐標用t表示，利用點M是BP與橢圓的交點，將點M坐標也用t表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件求點P的坐標；觀察發現直線BP一定存在斜率，所以本思路中直線BP的方程我們采取了橫截距式，與思路二對比大大降低了運算量．

(2)假設存在點P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行，即kAP=kMQ.

(2)假設存在點P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行,kAP=kMQ，顯然直線AP斜率存在，設直線AP方程為y=k(x+2).

(2)假設存在點P,使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM,PQ不平行，所以AP與MQ平行,kAP=kMQ.

評析：在解決解析幾何綜合問題時，有時若從直接求解，常常感覺不知從何入手，我們可以嘗試從結論入手，觀察結論和已知條件有什么關系？探究結論成立時應滿足什么條件？執果索因，往往可使解題思路豁然開朗．

三、善于將問題進行轉化，從幾何角度尋求突破

“解析幾何”首先是幾何問題，利用平面幾何知識解決問題也是不可或缺的方法，解析幾何問題中蘊含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關系？從某些幾何條件出發能得到什么樣的新幾何關系？某些幾何關系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問的探究和解決，解題思路也就自然的生成了，請看例2的第四種解題思路：

圖4

從而得出點P的坐標．

評析：解析幾何的核心方法是用代數的方法研究幾何問題，在解題過程中，利用平面幾何知識研究題目中的幾何關系是必要的，在這個過程中要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換，因此，我們必須重視對幾何關系的深入研究，使用恰當的代數形式表示題目中的幾何關系，從而形成正確的解題思路．

解析幾何綜合題綜合性強，能力要求高，是每年高考的熱點，也是重點；高考的解析幾何考題?？汲Ｐ?，難免會遇到陌生的題目，但陌生往往只是在形式上，本質不會超出我們所學的知識范疇，只要我們遵循解題的基本規律，抓住學科知識本質，認真探究已知、結論間的本質聯系，解題思路定會“柳暗花明”，事半功倍地解決好解析幾何的綜合問題．

[1]朱玉群.對解題思路自然生成的幾點感悟[J]，中學數學(上),2016(12)80-82；

[2]孫世林.探究幾何關系代數化的有效策略[J]，高中數理化(上)，2015(11)1-2.