例析多角度尋找三角求值問題的解題突破口

江蘇省海門中學 (226100) 曹亞東

例析多角度尋找三角求值問題的解題突破口

江蘇省海門中學 (226100) 曹亞東

在我們的平常教學中經常碰到學生問這樣的問題:“老師，三角函數公式多它的變換也非常多，請您教教我們如何尋找三角求值問題的解題突破口”.本文以一道習題為例，談談我是如何讓學生尋找到解題突破口的.

習題 已知函數f(x)=sinx+2cosx，若函數g(x)=f(x)-m在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β，則cos(α+β)= .

一、從變換角入手尋找解題突破口

觀察方程sinx+2cosx-m=0它有常數m，能否從消去m入手呢？將兩方程

解法一：g(x)在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β，∴sinα+2cosα=m，sinβ+2cosβ=m,兩式相減得sinα-sinβ+2(cosα-cosβ)=0,

利用角的變換的關鍵在于盡量向特殊角或可計算角轉化.如果題中有較多的相異角，這時就要根據角與角之間的和差、倍角、互補、互余的關系進行變角，從而使問題獲解.

二、從變換三角函數名稱入手尋找解題突破口

要使方程g(x)=0如何在x∈(0,π)上有兩個不同的解α、β，我們能否構造出一個一元二次方程呢？觀察方程sinx+2cosx=m，我們首先想到將方程兩邊平方，由韋達定理得到cosαcosβ以及sinαsinβ，從而求出cos(α+β)的值.

假如我們不平方，能否也能得到一個一元二次方程呢？對于正余弦只能縮角才能升次，這就想到了萬能公式的應用.

變函數名就是把一個等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，可以把所有的切都轉化為相應的弦，或把所有的弦轉化為相應的切來求解.

三、從結構式入手尋找解題突破口

從結構式入手，關鍵在于題設中給出的信息要和我們學過的公式定理等等溝通起來，不然就不能運用結構尋找到解題突破口.一般題目中往往有明顯的結構特征時，就暗示我們要從結構上面來突破.

四、從數形結合的角度尋找解題突破口

數形結合是一種重要的解題途徑.把已知的數式等與圖像的幾何意義結合起來，然后將數和形巧妙的結合起來，從而快速地尋找到解題突破口.觀察方程sinx+2cosx-m=0，能否從形的角度入手呢？

這就要求我們要能從方程看出它的幾何意義.把點(cosx,sinx)看成是直線2x+y-m=0與單位圓x2+y2=1的交點來求解.

圖1

解法五：設P(cosx,sinx)，則sinx+2cosx-m=0在x∈(0,π)上有兩個不同零點α、β等價于直線l:2x+y-m=0與單位圓x2+y2=1(y>0)的上半圓有兩個交點P,Q，如圖1所示.

數形結合解題非常好，但對學生的要求比較高，它需要我們的學生牢固掌握一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數特征，然后利用題目中的條件和結論等分析它的幾何意義，通過設參數達到數向形的轉化.

上面介紹了四種尋找解題突破口的常用方法，實際上數學解題的突破口遠遠不止這四種方法，在我們平時解題過程中多注意思想方法的積累并將它靈活運用.只有讓我們的學生牢固掌握數學的基本概念基本方法和基本定理，根據具體問題具體分析，憑借積累的經驗、直覺和靈感等不斷嘗試探索，從而快速而準確地找尋到具體而恰當的解題方法，這才是學好數學之關鍵所在.