“小題大做”

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

“小題大做”

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

波利亞說過“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像一道門，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”筆者在學考考前模擬中設(shè)計了一道數(shù)量積的試題，未曾想，竟與4月10日剛剛結(jié)束的2017年浙江省學考第22題類似.

1 考題呈現(xiàn)

圖1

2 一題多解

這兩題考查的都是數(shù)量積的知識點，而向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，數(shù)量積恰好位于知識點的交匯處，所以對它深入的研究和挖掘就顯得很有必要.處理平面向量數(shù)量積問題通常有定義法，坐標法，投影(幾何意義)法和極化恒等式四種方法.一題會解這樣是否就夠用了呢？答案肯定是否定的，會一種方法那叫淺嘗即止，當我們調(diào)動所學知識，在知識的交匯處將知識模塊串起來，將數(shù)學方法串起來，這樣才能打開學生的數(shù)學視角，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高學生的數(shù)學能力，讓學生真正覺得數(shù)學是自然的，數(shù)學是有趣的.

2.1 建系坐標化的視角

圖2

評注:學生習慣于把數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為坐標來解決，而建系是基于計算方便的考慮，常見建系方式如上面的解法，通過坐標表示，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域問題，根據(jù)F的位置限制，得到對應(yīng)坐標的范圍，從而得出結(jié)果.

2.2 三角代換的視角

既然與圓有關(guān)，那能否利用圓的參數(shù)方程(三角代換)來解決這個問題呢？

2.3 余弦定理以及基本不等式的視角

2.4 等面積的視角

評注:通過等面積法將所求目標轉(zhuǎn)化為“定”底“變”高的三角形的高，隨著F的改變帶動hF的變化，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題，簡潔明了.

圖3

2.5 極化恒等式的視角

圖4

2.6 合情推理(特殊值驗證法)的視角

點評:此法應(yīng)對選擇填空有時可以起到秒殺的作用，應(yīng)對大題顯得不夠嚴謹，但是巧算巧解體現(xiàn)了學生的創(chuàng)新思維，應(yīng)給予肯定和鼓勵.

3 一題多變

3.1 將P限制條件去掉，改成P在外接圓上任意一點，有了前面的視角和方法處理起來更為方便.

圖5

圖6

評注:由以上變式發(fā)現(xiàn)處理平面向量數(shù)量積問題時，如果出現(xiàn)的是同起點的類型，應(yīng)用極化恒等式可以起到簡化作用，當然坐標表示、定義和投影也都是可以選擇的方法，就留給讀者去完成，去品味.在有多種方法可以選擇的時候，考驗的是一種數(shù)學能力，如何選擇熟悉的、簡潔的方法來科學的處理一類題，從一題多解走向多題一解.

4 總結(jié)提升

羅增儒教授曾說：“數(shù)學解題無禁區(qū)，數(shù)學教學有講究.”有意識的積累“知識鏈、方法鏈”，我們常說的“舉一反三”“觸類旁通”不就落到了實處[1]？能根據(jù)教材內(nèi)容、學生實際、高考能力要求改編和精選一些有針對性的訓練題，讓學生經(jīng)歷從記憶模仿到探索發(fā)現(xiàn)的過程，關(guān)鍵在探索發(fā)現(xiàn)，將相互看似“獨立”的知識有機的結(jié)合起來，這樣，我們的“小題大做”就可充分發(fā)揮它的功能.

[1]岳建良,邱山.發(fā)散提升理解回歸促進掌握[J].中學數(shù)學教學參考，2012(5)：26-29.