柯西不等式的多角度探索

河南省新蔡縣第一高級中學 (463500) 李居之

柯西不等式的多角度探索

河南省新蔡縣第一高級中學 (463500) 李居之

柯西不等式作為高中數學選修模塊的內容，在解答一些不等式問題時，起到了舉足輕重的作用.本文就從柯西不等式的角度去審視一些最值問題，供教師教學參考，加深學生對柯西不等式的理解.

例1 若等差數列{an}滿足a21+a23=2，則a3+a4+a5的最大值為 .

這里給出兩種解法.設此等差數列{an}的公差為d.

聯想等差中項的性質，注意到3a3-a1=a3+2a3-a1=a3+a1+a5-a1=2a4，于是，又得到了一種更簡易的解法.

上式兩種解法都利用到了柯西不等式，且法二更令人耐人尋味，值得細細揣摩，是一道不可多得的好題.

此題原法是數形結合找切線的斜率，但注意到(x1-x2)2+(y1-y2)2這種形式與柯西不等式類似，經過探究給出了新法.

此題的解法很多，但都需數形結合.基于柯西不等式將其化為代數問題，這種思路雖然一時難以想象，但更能加深學生對柯西不等式的理解，不失為一種好方法.

例4 設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最小值為 .

例5 在平面直角坐標系中，設點P(x0,y0)到直線3x-4y-10=0與x=3的距離分別為d1、d2，若點P在單位圓x2+y2=1上運動，則5d1-d2的最大值為 .

解：因5d1-d2=|3x0-4y0-10|-|x0-3|≤

通過絕對值不等式的性質，再利用柯西不等式，降低了此題的難度；不過這需要判斷兩絕對值式子的符號，本文直接略去，讀者可去嘗試判斷正負號，受到其中的啟發.

此題是江蘇的一道競賽題，其解法較多，利用對稱性x=y是本題的最優解法，但通過柯西不等式將x+y的值逼近出來，可能是試題的命題意向.

華羅庚說：“新的數學方法和概念常常比解決問題本身更重要.”運用柯西不等式需要一定的技巧性，不難掌握，容易理解，在解題過程中，是比較實用的方法.