“直觀想象”在全國卷試題中的應用探析

福建省武平第一中學 (364300) 鐘曉斌福建省漳州第一中學 (363000) 林新建

“直觀想象”在全國卷試題中的應用探析

福建省武平第一中學 (364300) 鐘曉斌福建省漳州第一中學 (363000) 林新建

“直觀想象”是高中數學核心素養的重要內涵.

“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.

“直觀想象”主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

以下以全國卷試題為例，就“直觀想象”的解題應用作一探析，以饗讀者.

1.在函數試題解答中的應用

運用“直觀想象”策略，可以較好地引領圖形特征的感知和形數關系的建立，使函數問題得以輕松解決.

例1 (2013年高考新課標卷Ⅰ理科16題)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是 .

其實，若運用“直觀想象”策略對函數的圖形特征作感知，可將問題輕松予以解決，運算量也很小.

由“直觀想象” 知函數f(x)有兩個零點1，-1，而f(x)的圖像關于直線x=-2對稱，故f(x)另有兩個零點-3，-5，所以f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

再運用“直觀想象”對f(x)的圖像作感知，可知若f(x)的圖像向右平移兩個單位，其最大值不會改變，于是我們可將求f(x)的最大值轉化為求函數h(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值了.至此，直接配方即得f(x)=-(x2-5)2+16，故f(x)的最大值為16.

與高考參考解答比較，這樣的解法另辟蹊徑，輕松快捷，凸顯了“直觀想象”在引領圖形特征感知、簡化解題途徑上的重要作用.

(1)求f(x)的解析式及單調區間；

解析：本題同樣難在第(2)問，許多考生不知從何入手，望題興嘆而已.

其實，若能運用“直觀想象”策略建立起形與數之間的聯系，問題可輕松獲得解決.

畫出函數y=ex與y=(a+1)x+b的圖像，由“直觀想象”易知，要使上式恒成立，必須a+1>0，因此，要使(a+1)b最大，必須b>0.

又因為ex≥(a+1)x+b恒成立，再由“直觀想象”可知，函數y=ex與y=(a+1)x+b的圖像必須相切.

設切點為P(x0,y0)，則y0=ex0=(a+1)x0+b，且ex0=a+1.

聯立可得x0=ln(a+1)，b=(a+1)-(a+1)ln(a+1)，故(a+1)b=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).

與高考參考答案比較，上述解法另辟蹊徑、簡潔優美，使我們感到：

(1)運用“直觀想象”策略可輕松引領形數關系的建立，這樣不但回避了分類討論帶來的麻煩，而且思維更加流暢、更容易接近問題的本質；

(2)思維的“拐點”，就是數學思想的“發源地”，數學解題要善于在思維的“拐點”處“直觀想象”，往往會有“踏破鐵鞋無覓處，柳暗花明又一村”的收獲.

2.在三角試題解答中的應用

運用“直觀想象”策略，可以較好地引領通法的運用和函數方程模型的構造，使三角問題得以輕松解決.

分析：本題僅知一邊一角，因條件不足無法直接運用正、余弦定理予以求解，怎么辦？

由“直觀想象” 知，若引入新量(角或邊)，使得解三角形具備運用通法“知三求三”的條件，三角形方能予以求解！

同時，因為是最值求解問題，由“直觀想象”知也必須引入變量，構造出待求最值關于這個變量的函數，問題方能求解.

分析：本題也是三角形問題，無論在哪個三角形中，都是因為條件不足無法直接運用正、余弦定理予以求解，怎么辦？

如同例3，由“直觀想象”知：若引入新量(角或邊)，解三角形才能具備“知三求三”的條件，三角形方可解矣！

同時，因是求值問題，由“直觀想象”知，也必須設出變量，構建出關于待求變量的方程，進而通過解方程方能將問題解決.

3.在數列試題解答中的應用

運用“直觀想象”策略，可以較好地引領求和模型的構造和變化規律的預測，使數列問題得以輕松解決.

例5 (2014年高考全國卷Ⅱ理科17題)已知{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

分析：本題難在第(2)問，直接證明無從下手.

例6 (2012年高考全國新課標卷理科16題)數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為 .

分析：本題是填空把關題，依常規方法求解極為繁瑣.其實，由“直觀想象”不難預知，本題是填空題，故不論數列{an}如何變化，其前60項的和不會因數列的變化而變化，由此我們可將首項特殊化予以求解.

解析：由an+1+(-1)nan=2n-1，得an+1=2n-1-(-1)nan.令a1=1，則有a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，a7=1，a8=14，…

評析：上述求解輕松快捷，不亦樂乎，這得益于首項的特殊化，否則規律不易探明，求解勢必復雜耗時.而想到運用“特殊化”策略予以求解，這又取決于對數列變化規律的“直觀想象”，凸顯了“直觀想象”在預測數列問題的變化規律上的重要作用.

4.在解幾試題解答中的應用

運用“直觀想象”策略，可以較好地引領圖形的運用和問題的轉化，使解幾問題得以輕松解決.

分析：本題依常規方法求解較為麻煩，若運用“直觀想象”策略對圖形作考察，問題即可轉化，答案瞬間可得.

A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1

解析：本題直接求解無從下手，若運用“直觀想象”策略對圖形作考察，問題即可轉化，求解輕松快捷.

“直觀想象” 在數學解題中有著重要的作用，在直觀想象核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維，平時教學和高考復習都應予以足夠的重視.