一道離心率試題的命制與分析*

福建省泉州市第七中學 (362000) 吳寶樹

一道離心率試題的命制與分析*

福建省泉州市第七中學 (362000) 吳寶樹

在全國統一命題背景及新課程改革背景下，做好高三復習工作的一個重要環節就是命題工作.在認真研讀全國卷考試大綱和考試說明的基礎上，領會新課程改革對核心素養的要求，命制出有質量的試題，將會對考生的復習迎考起到很好的幫助.在本校的一次高三月考命題中，本人負責命制解析幾何部分的試題，本文選取其中一道試題，分析試題的來源、命制過程及試題功能.

1 試題呈現

2 考查目標

本題考查了橢圓的離心率問題、等比數列通項公式、三角形邊角關系、函數的單調性問題以及解不等式問題，綜合運用了函數與方程的思想、轉化與化歸的思想、數形結合等數學思想，考查了學生的轉化意識、數學語言互譯能力及發現問題、分析問題、解決問題的能力.

3 命制過程

3.1 試題來源

教材人教A版選修1-1第33頁，給出橢圓焦點三角形圖形: 橢圓的兩個焦點F1,F2與橢圓上任意一點P組成的三角形.

3.2 命制與改編

方案一 去繁就簡

2008年這道聯賽一試試題的核心問題是利用三角形兩邊之和大于第三邊構造不等式，從而求得公比的范圍.據此，可以得到如下題目：

題1 已知ΔABC的三邊a,b,c成公比為q的等比數列，求q的取值范圍.

方案二 改變背景

引入橢圓焦點三角形作為背景，將方案一中的三角形放在橢圓中，取橢圓的焦點三角形作為背景，在焦點三角形中，除了利用兩邊之和大于第三邊構造不等式外，還要關注橢圓的焦半徑a-c≤|PF|≤a+c這一隱含條件，題目的難度遞進了一步.據此，可將題目改進如下：

題2 已知橢圓上存在一點P，F1,F2為左右焦點，若ΔPF1F2的三邊|PF1|,|F1F2|,|PF2|成公比為q的等比數列，求q的取值范圍.

方案三 改變設問

圓錐曲線離心率問題是考試的熱點，也是難點問題，將最后設問與圓錐曲線離心率結合在一起，緊扣考試熱點，同時也豐富了解法，拓寬了解題思路. 據此，可以得到如下題目：

方案四 問題完善

在方案三的問題中，需要對|PF1|,|F1F2|,|PF2|的大小關系進行討論，即分公比大于1或公比小于1兩種情況，解題過程完全一致，顯得比較繁瑣.因此，可以適當降低試題的難度，最后成題的時候規定了|PF1|,|F1F2|,|PF2|的大小關系，既達到了考察目的，解題過程又不會顯得過于繁瑣. 據此，可以得到如下題目：

4 解題思路

本題題干簡潔，易于學生快速把握題目的意思，從試題條件可以提取出如下信息：1、ΔPF1F2為焦點三角形；2、三角形的三邊|PF1|,|F1F2|,|PF2|成公比大于1的等比數列.設問為求橢圓的離心率范圍，需要根據條件構造不等式，并求出不等式的范圍.解決此類問題經常用到定義法、函數單調性法、導數法、換元法、配方法、不等式法、數形結合法等解題方法，是高考中常見的題型.

解決本題有以下兩種思路：

思路一：利用三角形兩邊之和大于第三邊，構造不等式，運用函數與方程的思想轉化為雙勾函數處理求解.

思路二：由已知條件直接解出焦半徑|PF1|，|PF2|，利用三角形兩邊之和大于三邊，同時結合橢圓焦半徑的范圍構造不等式.

5 試題詳解

6 試題評價

本題屬中檔題，學生需要準確把握題目的意思，利用圖形的直觀特征，通過建模的思想，建立解決問題的模型，在模型的求解過程中，需要綜合運用多種手段，才可得到正確答案.

這道試題充分體現了一道好的試題的功能和作用，充分考察了學生把握信息的能力和綜合解決問題的能力.通過對一道聯賽試題的變式和改造，充分地暴露了試題的生成過程和命制過程，充分發揮了直觀想象，將建模的意識和數學學科的核心素養充分地融入到試題當中. 該試題一方面利用幾何直觀想象巧構數學函數問題，另一方面又把數學函數問題通過合理處理轉化為幾何直觀圖像想象問題，揭示了問題的本質.幾何直觀為高中數學學科核心素養之一，本題充分發掘圖像的性質，利用三角形的邊角關系以及橢圓的焦半徑，構造不等式，求出橢圓離心率范圍.從圖形的直觀特征出發，運用函數與方程的思想，求解出不等式的范圍.直觀解決問題教學這種重要手段，是探索和形成論證思路的思維根本.通過幾何直觀構造論證求解，揭示函數本質，體現思維自然規律.

[1]吳寶樹.一道質檢試題命題思路的剖析[J].中學數學研究(江西),2016(3):10-12.

[2]黃永生,楊丹.一道試題的解法思考與改編[J].福建中學數學.2015(10):14-15.

*本文為福建省教育科學“十三五”規劃2016年度課題《基于全國Ⅰ卷函數與導數的考察研究》(課題編號：FJJKXB-314)的研究成果；也為福建省普教室2016年度課題《優化設計實踐性作業，提高學生數學建模素養策略研究》(MJYKT2016-211)研究成果.