玩轉(zhuǎn)函數(shù)：一道二次函數(shù)問題引發(fā)的思考

江蘇省蘇州實驗中學(xué) (215000) 董逸婷

玩轉(zhuǎn)函數(shù)：一道二次函數(shù)問題引發(fā)的思考

江蘇省蘇州實驗中學(xué) (215000) 董逸婷

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始，它是數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的難點，同時又是歷年高考的寵兒.函數(shù)概念的產(chǎn)生標志著數(shù)學(xué)思想方法的改變，從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了變量數(shù)學(xué).在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，所占的比重和比值都是不容忽視的，它的難點主要表現(xiàn)在它的抽象性上，需要學(xué)生不斷的利用發(fā)散性思維的方式來推導(dǎo)出函數(shù)的運動軌跡圖像，對于函數(shù)的解題思路的把握，成為了攻克這一難關(guān)的金鑰匙，成為解題的關(guān)鍵.圖像是函數(shù)的靈魂，但是很多學(xué)生對于函數(shù)的理解是分離的，不能有效地進行數(shù)形結(jié)合，從而從高一開始就成為了函數(shù)的學(xué)困生，糾纏整個高中階段.

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路現(xiàn)狀

從初中到高中，學(xué)生的思維是由具體形象思維慢慢過渡到形式邏輯思維的.而在轉(zhuǎn)變與發(fā)展的過程中，高一階段，首先遇到了抽象的函數(shù)概念，從而大部分學(xué)生對于函數(shù)的認識，停留在表層抽象概念，并沒有理解兩個數(shù)集在對應(yīng)法則下的一一對應(yīng)關(guān)系.函數(shù)的學(xué)習(xí)處于低層次被動地接受基本知識點，缺乏高層次的思維.函數(shù)解題也只是停留在局部的、分隔的知識點上，而不能從整體上把握函數(shù)圖像，研究函數(shù)性質(zhì)，解決函數(shù)問題.如何提高教學(xué)質(zhì)量、有效提升學(xué)生函數(shù)能力，成為了一個亟待解決的問題.

二、高中函數(shù)解題思路多元化的重要性

數(shù)學(xué)是抽象的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時主要是通過解題方式掌握數(shù)學(xué)知識和實際運用.然而我們在學(xué)習(xí)過程中，常常會通過一種方法得到答案，卻不能清晰了解該題思路，導(dǎo)致我們對相應(yīng)知識的思考一直處在相對保守且封閉的空間內(nèi).同時，教師教學(xué)或者教材內(nèi)容所展現(xiàn)的解題方式常常禁錮其中，嚴重影響了思維發(fā)散.因此為了使學(xué)生能夠更加完善的掌握函數(shù)知識，在面對題目或其他事物時，能夠有發(fā)散性的思維、多途徑的解決問題的手段，我們在函數(shù)學(xué)習(xí)中可以嘗試設(shè)計一題多解的專題課堂，全方位、多角度的研究問題，以幫助學(xué)生靈活的玩轉(zhuǎn)函數(shù).

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化舉例

分析：本題的關(guān)鍵是求出集合A.

條件：函數(shù)f(x)=x(1+a|x|).

目標：解不等式f(x+a)

目標差：參數(shù)a的取值范圍是本題下手處理的關(guān)鍵，無論是利用代數(shù)法還是數(shù)形結(jié)合，難點都是關(guān)于a的含參討論.首先找到a的局限性，將是縮小目標差的第一步.

圖1

思路一：直接分類求解不等式

方案設(shè)計：

解得-1

在解該含參不等式時，不等式對應(yīng)的方程的根是代數(shù)式，需要與原始范圍比較大小，從而合并解集.

思路一需要學(xué)生有很好的數(shù)學(xué)功底，相應(yīng)運算量也比較大.

思路二:利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

方案設(shè)計：

解析：由思路一知-1

圖2

在利用單調(diào)性解題時，首先遇到的討論是兩個自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上.

第②③種情況當(dāng)自變量值不在同一單調(diào)區(qū)間上時，用函數(shù)對稱性轉(zhuǎn)移至同一單調(diào)區(qū)間上比較函數(shù)值大小.在討論中注意參數(shù)的范圍，合理縮小討論范圍，簡化問題.

思路三:利用函數(shù)圖像解不等式

方案設(shè)計：

圖3

解析：由a<0，將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移-a個單位長度，得函數(shù)y=f(x+a)的圖像如圖3，它與函數(shù)y=f(x)的圖像的兩交點M,N的橫坐標是方程f(x)=f(x+a)的解，即x(1+a|x|)=(x+a)(1+a|x+a|).問題轉(zhuǎn)化為求解絕對值方程，得到兩函數(shù)零點，利用數(shù)形結(jié)合，觀察出不等式解集.

思路三利用函數(shù)圖像求解這類比較復(fù)雜的含參數(shù)不等式，數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢躍然紙上.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“在解題中千萬不要得‘意’而忘‘形’”，數(shù)形結(jié)合的思想就是“數(shù)”與“形”之間的相互對應(yīng)和相互轉(zhuǎn)化的思想，利用數(shù)形結(jié)合思想與方法來分析解決問題,可使一些復(fù)雜問題簡單化、抽象問題直觀化,從而化難為易,化繁為簡,達到順利破解問題.

思路四:利用函數(shù)與不等式關(guān)系解

方案設(shè)計：

思路四把不等式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)，借用函數(shù)性質(zhì)與圖像結(jié)合解含參不等式，也是一種妙法，可以避免復(fù)雜的分類討論.

對比上述四種解法，分別從代數(shù)角度、圖像角度、動態(tài)分析角度、新函數(shù)構(gòu)造角度入手，對同一問題進行解決，需要學(xué)生有扎實的函數(shù)功底、靈活的解題手法、高屋建瓴的解題思路.如果在教學(xué)過程中，我們可以留出一點時間，對有些問題進行這樣的深度挖掘，相信可以很好的幫助學(xué)生提升函數(shù)分析能力.

三、結(jié)束語

玩轉(zhuǎn)函數(shù)可以有效的幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)問題思考的主動性和創(chuàng)新性，讓學(xué)生在面對一道函數(shù)題時能夠以舉一反三的思維方法進行解題.當(dāng)學(xué)生面對問題可以有多元化的解題思路時，函數(shù)這個難點自然不攻自破.