在感悟算理中掌握算法

金妤茜

《數學課程標準》指出：感悟算理和掌握算法是計算教學的兩大任務，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數學原理。在教學中不少教師認為，讓學生理解“算理”比較復雜，意義不大，于是干脆直接告訴學生“怎么算”，省去了理解“算理”的教學環節。相關研究也曾表明，算法是自動化的，即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用。因此，在計算教學中，即使我們不重視學生對算理的理解，學生仍然可以經過反復操練掌握和使用算法。其實，學生需要掌握算法，更需要經歷構建算法的過程，實現算理和算法的內在統一。計算教學的關鍵是要正確處理好算理和算法的關系。在教學時，如果教師忽略引導學生對算理的關注，這種急功近利的做法，會讓學生失去獨立思考與深層感悟的機會，不利于提高學生的思維能力。

特級教師吳梅香在教學蘇教版五年級《數學》“異分母分數的加減法”這節課時，要求學生理解異分母分數加減法的算理，并掌握異分母分數加減法的計算方法，淡化情境，淡化生活，淡化算法多樣。突出算理，強化技能，重視思想方法的滲透，促進數學思維發展，尋找著算法和算理的平衡點。

【片段一】復習鋪墊，回顧基礎性算理

教師出示題目：用分數表示下面每幅圖中的涂色部分。

師：如果計算其中兩幅圖中的涂色部分合起來是多少，你能列出哪些算式？

生1：④和⑦的涂色部分合起來，算式是[15]+[25]。

生2：⑤和⑨的涂色部分合起來，算式是[19]+[49]。

生3：根據①和⑥，還可以列出算式是[12]+[12]。

師：這個長方形的[12]和這些圓片的[12]合起來是什么？（無法表示結果。）進而追問：這里的[12]和[12]為什么不能相加？（單位“1”不同。）

（教師強調：只有在單位“1”相同的前提下，才能計算分數的加減法。）

師：根據單位“1”相同，還可以列出哪些算式？

生4：②和⑤的涂色部分合起來，算式是[13]+[19]。

生5：⑥和⑧的涂色部分合起來，算式是[12]+[13]。

生6：①和③的涂色部分合起來，算式是[12]+[14]。

師：仔細觀察這些算式，如果讓你來分類，把它們分成哪兩類？

生：同分母分數相加和異分母分數相加。

【賞析】數學學習總是循序漸進、螺旋上升的，先前的知識是后繼學習的基礎。吳老師在教學新的計算內容時，非常重視激活學生已有的知識，引領他們在反思中深化對舊知的理解，為新知的算理尋求本源。學生根據自己的已有知識經驗，首先選擇的是分母相同的分數進行相加。接著教師質疑長方形的[12]和這些圓片的[12]能相加嗎？學生通過觀察這兩幅圖后，明確地認識到只有單位“1”相同的情況下，才能進行分數的加減。有了這樣的認識，學生在繼續列算式時，就注意到只有在單位“1”相同的前提下，才能找出分數列出算式，從而加深了對單位“1”的理解，自然而然地引出課題——異分母分數的加減法。

【片段二】依托舊知，理解一般性算理

師：說說如何計算[15]+[25]？

生：1+2=3，分母不變，所以是[35]。

師：為什么只把分子相加了，而分母不變？

生：1個[15]加2個[15]，合起來是3個[15]，也就是[35]。每一份相同，可以直接相加。

師：說得非常好！因為分數單位相同，所以分母不變只把分子相加。

（學生匯報：[49]+[19]=[59]。）

師：同分母分數加減，分母不變，分子相加。

師：其他算式可以這樣直接相加嗎？為什么？

生：分母不同，不能直接相加減。

師：分母不同，也就是什么不同？

生：分數單位不同。

【賞析】對任何新事物的認識，會有舊知的依托。算理可以說是學生已有的“舊知”，在計算教學中某些知識和技能是可以通過學生自己探究領悟，自己交流歸納算理、感悟算理、總結計算方法的。吳老師正是對學生的知識、能力有著全面的了解，對教材內容有著細致的分析，把握教學的探究點，找準時機，巧設新舊知識的矛盾沖突，讓學生在參與中找出新舊知識的連接點，感悟出一般算理，探究出計算的方法。

在計算異分母分數加減法時，少數學生往往受思維定式或負遷移的影響而采用“分子相加減后做分子，分母相加減后做分母”的方法進行計算。究其原因主要有：一是受整數、小數加減法的影響，誤認為把數相加減就是他們的結果，于是產生了分子加分子、分母加分母的誤解；二是不理解異分母分數不能直接相加減的原因是分數單位不同。為了避免上述問題的產生，吳老師引導學生回顧 “同分母分數加減”，強化學生已有認知，理解只有“分母相同”時，也就是“分數單位相同時，分子才能直接相加減”；強化對算理的理解和異分母分數加減計算方法的掌握。為以后探索“異分母分數相加減”的計算方法奠定了很好的基礎。

【片段三】經驗遷移，構建發展性算理

師：[12]+[14]該怎么計算？能用我們已有的知識經驗來解決嗎？

（學生試一試。）

師：有困難的同學不妨用課前發的長方形紙折一折、畫一畫，從中找到答案。如果已經有辦法了，可以直接演算在練習本上，有了答案主動和同桌交流自己的想法。

（教師巡視，請學生板演幾種不同的書寫格式。）

學生板演出現情況：

[12]+[14]=[24]+[14=][34]。⑵[12]+[14]=[34]。⑶ [12]=[24]，[14=14，24+14=][34]。

師（針對第⑶種情況提問）：為什么要通分？

生：將異分母分數轉化成同分母分數，分子才能直接相加減。

師：通分后，分數的分子分母都變了，但分數的大小有沒有變化？

生：不變。

師：分母變了，也就是分數單位發生了變化，分數單位變了，表示分數單位的個數自然也發生了變化。現在的分數單位是多少呢？

生：[14]。

師：如果讓你用折紙或圖示的方法把這個思考過程畫下來，你打算怎么做？

（學生用折紙或圖示的方法解釋這種思路，在這張長方形紙上分別表示出它的[12]和[14]。教師引導學生觀察思考：為什么把表示[12]的陰影面積變成了表示[24]的面積呢？為什么把[12]轉化成[24]就可以直接和[14]相加了呢？

師：同學們在折紙或演算的過程中，有沒有一致的想法呢？

生：都是把異分母的分數轉化成同分母的分數，實質上就是統一了計數單位，使相同計數單位上的數相加。

師：為了提高計算的正確性，我們一定要養成驗算的好習慣。你打算怎么做？

生：用所得的和減去其中一個加數。

師：分數加減法的驗算方法與整數加減法的驗算方法相同。

（板書：[34]-[12]=？，[34]-[14]=？學生嘗試驗算，交流匯報。）

師：你是怎么算的？為什么這樣算？

生：分母不同，分數單位不同，先通分，化成同分母再計算。

（板書計算過程：[34]-[12]=[34]-[24]=[14]，[34]-[14]=[24]=[12]。教師強調結果要約分化簡。）

師（小結）：你能用一句話說說怎樣計算異分母分數相加減嗎？

……

【賞析】數學家哈登伯格說過：“數學方法是數學的本質。”傳統計算教學是教師引著學生走，學生依照例題的方法去理解、模仿、熟練，而不是學生探究、發現、“生成”出數學方法來，這是“新”課程與“舊”課程在教學思想上的本質區別。教學中，吳老師注意把握教材計算內容的結構序列，找準異分母分數加減法的生長點，有效地促進已有計算經驗的遷移，讓課堂在現場“生成”算法。

從“同分母分數相加減”向 “異分母分數相加減”跨越，是小學生學習計算的重要轉折點，吳老師找準了這一關鍵的連接點，根據學生已有的“舊知——同分母分數相加減”，并以抽象的通分作為橋梁，從而與“新知——異分母分數相加減”建立起聯系，讓學生清晰理解異分母分數相加減的算理，真正掌握異分母分數相加減的計算方法。

縱觀吳老師的這節課，筆者深切感受到了濃濃的數學味，并對于算法算理孰輕孰重這一問題有了明確的答案。數學是一種文化，又是一種技藝。計算課的教學是新時期教學研討的重要內容，我們只有把握新理念，理解新教材，才能上好計算課。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星港學校）

□責任編輯 周瑜芽

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