從心靈現實出發，培養數學猜想

于正軍

一、內心疑惑：等底等高圓錐的體積真是圓柱的[13]嗎

小學階段的一些數學概念不能或無法根據學生的已有知識經驗從數理上進行直觀推理或直接驗證，如“等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]”。對于諸如此類的數學概念的理解，學生雖然在教師的所謂“引導”之下知道了數學結論，但在學生的內心深處，卻留下了疑惑。教師在教學時，一定要讓學生充分經歷過程，參與活動，使學生在活動中感知，在過程中感悟，使內心的疑惑得到化解，知識得以內化。

在教學“圓錐體積計算公式的推導”時，課堂上經常看到的現象就是：教師通過實際操作演示或課件演示“告知”學生等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]，然后引導學生進行操作驗證。殊不知課堂上如果像這樣直接告知驗證，會導致學生心中生成如下兩個疑惑：（1）直接做這樣的實驗太唐突，老師為什么會想到要做這樣的實驗操作？（2）這樣的操作只能使學生直觀觀察感受到等底等高圓錐的體積大約是圓柱的[13]，怎樣讓學生確信一定是[13]呢？會不會也存在像“圓的周長大約是直徑的3倍”這樣的數學現象呢？

因此，在平時的教學實踐中，教師要從學生的“心靈”現實出發，關注學生的認知經驗和思維現實，關注學生在探索數學知識過程中可能產生的疑惑，可作如下引導學生猜想：三角形的面積計算公式是怎樣推導的？它與等底等高平行四邊形的面積之間有怎樣的關系？這樣就會促使學生激活“轉化”的認知經驗。教師趁熱打鐵：圓錐可以轉化為已學過的圖形嗎？學生通過觀察直觀感知，不怎么好轉化，教師追問：那能不能找到與已學過圖形之間的關系呢？這樣就促使學生很自然地猜想到與圓柱體積之間的關系上來，順應了學生的認知特點和思維特征。此時教師進一步引導：圓錐的體積怎樣計算呢？它與等底等高的圓柱的體積之間有什么聯系呢？在如此的追問與引導之下，學生才會產生動手操作實踐的欲望，繼而讓學生在操作觀察中發現，等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]。如此引導才能激發學生探究的欲望，激發學生的認知興趣。一旦每小組參與操作的學生在操作過程中發現等底等高圓錐的體積大約是圓柱的[13]，這時教師因勢利導加以說明：“我們在操作過程中一定有誤差，其實等底等高圓錐的體積就是圓柱的[13]。”因為它們二者之間的關系是學生自己發現的，而不是教師告知的。因此學生此時對老師明確的這一數學結論就不會產生“是大約[13]，還是一定是[13]”的疑惑，而且會對圓錐體積計算公式深信不疑，理解深刻。

二、內心思考：倒數不會是倒過來的數吧

學生的內心世界充滿了幻想與想象。而到了小學中高年級，這種內心想象會隨著學生思維的發展和學習經驗的積累逐步趨于數學猜想，而這種數學猜想總是基于學生的學習經驗和已有知識作為思維支撐，從而形成學生的內心思考。因此，一線教師在引導學生理解數學概念時，一定要關注學生的內心思考，使內心思考不斷助推學生開展數學思維活動。

例如，教學“倒數的認識”。在學生的內心深處，學生首先猜想到：倒數不會是倒過來的數吧？是把什么數倒過來呢？是把數的什么倒過來呢？如果教師在設計課堂教學時，無視學生的這些內心思考，直接告訴學生“倒數”的數學定義，學生不但對“倒數”概念的理解模糊，而且也不能激發學生對“倒數”知識的內容產生研究興趣，同時也扼殺了學生的數學猜想，使學生體會不到學習“倒數”知識的必要性和數學價值。

因此，教學時需要從學生的“心靈”現實出發，引導學生猜想“倒數”的數學概念：（1）回憶一下，你已認識了哪些數？如：整數、小數、分數、因數、倍數等。你還聽說過小學階段還會學到哪些數？如：百分數、倒數等。（2）你能從“倒數”這個概念上去猜一猜，“倒數”可能是一個怎樣的數？（3）在你認識的數中，什么數倒過來仍然成為一個數呢？（4）倒過來的數和原來的數有什么關系？（5）根據你的理解能用自己的語言概括“倒數”的數學定義嗎？在教學實踐中發現，學生不僅能說出分子和分母位置互倒的兩個數互為倒數，也說出了乘積為1的兩個數互為倒數。因此，關注學生的內心思考，引導學生圍繞學習內容和教學目標展開數學猜想，這樣教師不僅為學生營造了一個主動探索、自主建構的空間與平臺，也使學生在經歷數學概念的形成過程中，提升了數學猜想能力，感悟了基本的數學思想。

三、內心需求：寫這個比干嗎

教師在設計教學活動和安排教學環節時，要關注學生的內心需求，否則學生會對教師預設的教學內容毫無興趣，亦無熱情，無法產生數學猜想，從而造成學生課堂參與度不高，課堂教學效率低下，不能高效達成預期的教學目標。

例如，教學“正比例的意義”。在聽課過程中發現，一線教師總是直接出示例題中的表格，并直接給出教材的要求和問題：“寫出幾組相對應的路程和時間的比，并求出比值。你發現了什么？”然后在學生求出比值的基礎上，硬拉著學生套用教材中正比例意義的數學概念概括路程、時間和速度三者之間的變化關系，并讓學生進行練說和記憶。

如果教學時直接拋出教材中這個問題，學生感到很“詫異”和“意外”，并且在內心深處會立刻產生疑團：寫這個比干嗎？因為此時學生在審題時，并不認為例題表格中的信息是為了寫比而提供的，沒有產生寫比的需求，更不會去猜想寫這個比的必要性和目的。一旦學生在心靈深處有了這樣的心理活動和想法，學生就根本無暇顧及路程、時間和速度這三個數量之間的變化關系。因此學生此時心中總是在猜疑今天老師會帶領我們學習什么內容？要我們寫出路程與時間的比干嗎？所以，引導學生“發現什么”，不是教師機械地套用教材強加給學生，而是要激發學生的內心需求，引導學生“靜悄悄地”進入數學猜想：（1）觀察例題表格中的信息，猜一猜里面可能會隱藏什么規律？（2）你是怎么發現其中的規律的？你想怎樣表達你所發現的規律？引導學生用比表示出表格中路程與時間的關系，并追問比的什么變了？什么沒變？（3）你會用一個簡潔的方式表示出這個規律嗎？比一比誰能用最簡潔最具代表的方式表示此規律？（4）在學生交流匯報的基礎上引導：規律總是在變化中探尋不變的東西，猜一猜可以用哪個數量關系式來表示這一數學現象？從而引導學生寫出“[路程時間]=速度（一定）”的數量關系式。（5）誰能用自己的語言說一說對這個規律的發現？學生經歷了如此的體驗和思考過程，就會很自然地感悟到路程和時間是兩種相關聯的量，而且很直觀地體會到時間變化，路程也隨著變化，它們的比值（速度）總是一定的，這樣學生在頭腦里就會自然建構正比例意義的數學概念。即使學生不能用教材中簡潔規范的數學語言描述正比例意義的數學定義，但學生在課堂上都能用自己的語言說出正比例意義的數學含義，說明正比例數學概念的意義在學生的頭腦中得到內化與建立。因此，學生的內心深處一旦產生學習需求，就會產生數學猜想與數學思考的欲望，繼而促進學生主動探求新的知識。所以，新知的引入要顯得自然，要關注學生的內心需求，讓學生體驗到所學內容的必要性和目的性，這樣的教學才能行云流水，水到渠成。

綜上所述，數學課堂理應從學生的心靈實際出發，關注學生的內心疑惑、內心思考和內心需求，數學課堂才會成為學生“心靈的舞場、思維的操場、智慧的牧場”。

（作者單位： 江蘇省揚州市江都區實驗小學）