基于初中層面的弦張定點成直角的問題探究

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(川匯區教體局教研室 河南周口 466001)

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基于初中層面的弦張定點成直角的問題探究

●李世臣

(川匯區教體局教研室 河南周口 466001)

在動態數學軟件GeoGebra環境下，文章以一道中考數學壓軸題為起點，基于初中層面的拋物線、雙曲線、平行直線、相交直線上的2個動點對某定點張直角問題進行了深入研究，發現一組有價值的結論，深化了對問題的認識．

GeoGebra；包絡曲線；二次函數；反比例函數；軌跡

2014年湖北省武漢中考數學第26題是一道綜合性較強的壓軸題，其根植于初中核心知識和基本技能，指向于高中優生選拔和素養要求，是一道設計巧妙、簡潔明了、內涵豐富的好題．文獻[1]對曲線上的定點張直角弦問題進行了研究，若定點不在曲線上會有什么幾何特征呢？筆者利用動態數學軟件(GeoGebra)就基于初中層面的定點張拋物線上兩點成直角問題、張雙曲線上兩點成直角問題、與兩條平行線上的點張直角問題、與兩條相交直線上的點張直角問題進行了拓展研究，獲得了一些有價值的結論．

1)直線AB總經過一個定點C，請直接寫出點C的坐標；

3)若在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°，求點D到直線AB的最大距離．

圖1 圖2

問題3)說明拋物線上定點對拋物線上的弦張直角，則弦所在直線過定點．那么，這個問題能否推廣到一般情況呢？

探究1平面內的定點張拋物線上兩點成直角問題[2].

如圖2，已知定點P(u,v)，二次函數y=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像與直線y=kx+d交于點A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于點H(m,n)．聯立方程組

消去y，得ax2+(b-k)x+c-d=0,

則

過點H作對稱軸的平行線，交拋物線于點G，設G(m,h)，由點H在直線AB上，得

n=km+d.

由點G在拋物線上，得

h=am2+bm+c,

從而h-n=am2+(b-k)m+c-d=

a[m2-(x1+x2)m+x1x2]=

a(m-x1)(m-x2).

分別過點A,P,B,H作與坐標軸平行或垂直的直線，得垂足D,F,E，則

FH=v-n,EH=m-x2，DH=x1-m,

因為PH⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH.

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

整理得

圖3 圖4

圖5 圖6

3)當時T<0，即點P與焦點S分布在拋物線準線的異側，點P對拋物線的弦張直角不存在．

探究2平面內定點張雙曲線上兩點成直角問題[3].

圖7

如圖7，已知定點P(u,v)，反比例函數xy=k(其中k≠0)的圖像與直線y=ax+b交于點A(x1,y1),B(x2,y2)，∠APB=90°，PH⊥AB于點H(m,n)．聯立方程組

消去y，得

ax2+bx-k=0,

則

由點H在直線AB上，得

n=am+b,

又由PH⊥AB，得

分別過點A,P,B,H作與坐標軸平行或垂直的直線，得垂足D,F,E，則

FH=v-n，EH=m-x2,DH=x1-m.

因為PH⊥AB，所以

△ADH∽△PFH∽△BEH，

又AP⊥PB，得

PH2=AH·HB,

即

FH2=EH·HD,

從而

(v-n)2= (m-x2)(x1-m)=

整理得

vm+un-uv-k=0．

圖8 圖9

探究3已知平面內定點與兩條平行線上的點張直角問題.

已知m∥n，設直線m,n的間距為t，定點P到直線m,n的最近距離為s．點A,B分別在直線m,n上，∠APB為直角，PH⊥AB于點H．過點P作平行線m,n的垂線，得垂足為E,F，聯結EH,FH，延長PH到點C，使HC=PH．取EF的中點M，點P關于點M的對稱點為Q，作直線CQ交直線AB于點D．

1)當點P在直線m,n的異側時，如圖10，因為PE⊥AE，PH⊥AH，所以點A,E,P,H共圓，∠EHP=∠EAP．同理可得∠PHF=∠PBF，從而

∠EHF=∠EAP+∠PBF=∠APB=90°,

即點H在以EF為直徑的圓上．

由中垂線和中位線的性質知，

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH=t(定值)，

從而點D的軌跡是以P,Q為焦點、以EF為長軸的橢圓，是直線AB的包絡曲線．

由于點P在點H軌跡圓的內部，于是

s

2)若點P在直線m(n)上，則點B(A)與點F(E)重合，∠EHF=90°，點H的軌跡是以EF為直徑的圓(除點E,F)．顯然，0

圖10 圖11

3)當點P在直線m,n的同側時，如圖11，因為PE⊥AE，PH⊥AH，所以點A,P,E,H共圓，∠EHB=∠EPA．同理可得∠BHF=∠BPF，從而

∠EHF=∠EPA+∠FPB=∠APB=90°,

即點H的軌跡是以EF為直徑的圓．

由中垂線和中位線的性質知，

|DQ-DP|=|DQ-DC|=QC=2MH=t(定值)，

從而點D的軌跡是以P,Q為焦點、以EF為實軸的雙曲線，是直線AB的包絡曲線．

由于點P在點H軌跡圓的外部，因此

s

探究4已知平面內定點與兩條相交直線上的點張直角問題．

1)定點在兩條垂直直線的直角區域.

如圖12，∠UOV=90°，PE⊥OU于點E，PF⊥OV于點F，PE=m，PF=n．點A,B分別在直線OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于點H，則點H在直線EF上，直線AB的包絡曲線是拋物線，且

事實上，因為PE⊥OU，PH⊥AB，所以點A,E,H,P共圓，∠AHE=∠APE．同理可得∠BHF=∠BPF．又因為∠APB=90°，∠EPF=90°，所以∠APE=∠BPF，從而∠AHE=∠BHF,即點H在直線EF上．

圖12 圖13

2)定點在兩條直線形成的銳角區域.

事實上，延長EP交直線OV于點J，延長FP交直線OU于點K，因為PE⊥OU，PF⊥OV，所以點E,F,J,K共圓，JK為該圓的直徑，取圓心為M．聯結EH,FH，因為PH⊥AB，所以點A,E,P,H共圓，∠EHP=∠EAP，同理可得∠PHF=∠PBF，從而

∠EHF= ∠EAP+∠FBP=∠APB-∠AOB=

90°-θ=∠EKP,

即點H在定圓⊙M上．

延長PH到點C，使HC=PH，延長PM到Q，使MQ=PM．直線CQ,AB交于點D，聯結PD，由中垂線和中位線的性質知PD=CD，CQ=2MH,從而

DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是點D的軌跡是以P,Q為焦點、長軸長為JK的橢圓，是直線AB的包絡曲線．

因為PM=MQ，KM=MJ，得四邊形PJQK為平行四邊形,所以JQ=PK，JQ∥FK，則JQ⊥OV．又因為∠KPE=∠JPF=∠EOF=θ，所以

PQ2= (PF-JQ)2+FJ2=

從而JK=2a，PQ=2c．由于點P在點H軌跡圓的內部，于是a-c≤PH≤a+c．

3)定點在兩條直線形成的鈍角區域.

如圖14，∠UOV=θ(其中90°<θ<180°)，PE⊥OU于點E，PF⊥OV于點F，PE=m，PF=n．點A,B分別在直線OU,OV上，∠APB=90°，PH⊥AB于點H，則點H在定圓上，直線AB的包絡曲線是雙曲線，且c-a≤PH≤c+a(其中a,c設置同上)．

圖14

事實上，延長PE交直線OV于點J，延長PF交直線OU于點K，因為PE⊥OU，PF⊥OV，則點E,F,J,K共圓，JK為該圓的直徑，取圓心為M．聯結EH,FH，因為PE⊥OU，PH⊥AB，所以點A,E,P,H共圓，∠PEH=∠PAH，同理可得∠PFH=∠PBH.在凹四邊形PEHF中，

∠EHF= ∠PEH+∠PFH+∠EPF=

∠PAH+∠PBH+90°-∠EJF=

180°-∠EJF,

即點H在定圓⊙M上．

延長PH到點C，使HC=PH，延長PM到Q，使MQ=PM．直線CQ,AB交于點D，聯結PD，由中垂線和中位線的性質知PD=CD，CQ=2MH,從而DP+DQ=DC+DQ=QC=2MH，

于是點D的軌跡是以P,Q為焦點、實軸長等于JK的橢圓，是直線AB的包絡曲線．

易得四邊形PJQK是平行四邊形，于是JQ=PK，JQ∥FK，JQ⊥OV．因為∠KPE=∠JPF=∠EOF=180°-θ，所以

JK2=KF2+FJ2=

PQ2= (PF+JQ)2+FJ2=

于是JK=2a，PQ=2c．由于點P在點H軌跡圓的外部，從而c-a≤PH≤c+a．

波利亞有過一個比喻：“好問題如同某種蘑菇，它們大都成堆地生長．找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能在附近就有好幾個．”這個比喻形象而生動地說明了數學問題之間存在著緊密聯系．本文從一道中考壓軸題出發，借助數學技術，在問題解決之后，通過類比、遷移發現證明了定點張常規曲(直)線上的點成直角的幾何特征，深刻揭示了其內在規律，如同找到了更多的蘑菇，舉一反三、聞一知十．

[1] 李世臣．一道中考數學壓軸題的探究與推廣[J]．數學教學，2016(1)：25-29.

[2] 李世臣，陸楷章．圓錐曲線對定點張直角弦問題再研究[J]．數學通報，2016(3)：60-64.

[3] 朱寒杰．由一道雙曲線試題引起的探究與思考[J]．中學教研(數學)，2013(12)：14-16.

2 問題分析

一方面，高三學生已學過了高中數學的所有知識和基本技能，解題經驗也比高一、高二的學生要豐富，對于問題的分析與思考能夠更深入；另一方面，在課堂時間的安排上，高三階段可以花更多的時間在問題的探索、解決、比較、綜合等高層次的思維活動中，而不必擔心教學進度的問題.因此，可以利用這兩方面的優勢來設計我們的課堂教學，以實現繼續發展學生數學核心素養的目標.筆者在第一輪復習中以小專題的形式上了一節“立體幾何軌跡問題”，下面以這節課的幾個片斷為例談幾點認識，以求教于同仁.

3 實施案例

3.1 通過師生互答，引導學生審題

圖1

片斷1PPT放映題目,師生共同分析題意.

例1如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α內的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是

( )

A．直線 B．拋物線

C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數學高考理科試題第7題)

師：已知條件有哪些？這些條件中哪些是變量，哪些是常量？需要我們做些什么？

生1：條件“AB與平面α所成的角為60°”是常量，P是動點，是變量，它要滿足∠PAB=30°，我們的任務是求點P的軌跡.

生2：條件中還有“點P在平面α內”“∠PAB=30°”也是常量.

師：嗯，分析得不錯.這是一個以立體幾何為載體求軌跡的問題，根據條件你們能想象它們在空間的情形嗎？能否用身邊的物件來擺一個符合題意的示意模型？

(教師讓一個學生在講臺上展示，他用兩支筆和一本書擺了個模型.)

師：非常好，剛才我們也說到這是動點P的軌跡問題，那么哪些條件是限制動點P的呢？

生3：點P需滿足既在平面α內又要使∠PAB=30°.

師：你能想象點P是怎么運動的嗎？

(生3沉默.)

生4(同時用兩支筆示意了轉動情形)：如果只考慮∠PAB=30°,那么點P在以AB為軸、PA為母線的圓錐面上.另外，點P又要平面α內，因此點P應該在圓錐與平面的公共線上.

師：你們看呢？

生3：對啊，這樣就變成一個圓錐面與一個平面的交線了.

3.2 鼓勵交流討論，展現學生風采

片斷2畫圖法描述7種情形.

教師在讓學生回憶“一個平面截圓錐得到什么曲線”時，生5在黑板上畫出了圖2～4：

圖2 圖3 圖4

師：請解釋一下你畫的圖.

生5:我是畫出了圓錐的軸截面，就是這兩個三角形，這條直線表示從側面去看平面:當平面與一條母線平行時得到的是拋物線(圖2)，當平面與圓錐的一側相交時得到橢圓(圖3)，當平面與圓錐的兩側都相交時得到雙曲線(圖4).

師：大家能想象嗎？生5的這種畫圖法比畫立體幾何直觀圖要方便得多，他把立體幾何問題平面化了，并凸顯了關鍵元素.

(此時，教師用Flash演示3D模式下的圓錐曲線，幫助空間想象能力較弱的學生想象).

師：剛才還有同學說到有可能得到圓與直線,哪位同學可以進行補充？

生6出乎意料地補充了圖5～8,然后指著對應的圖解釋到：當平面與圓錐底面平行時得到圓，當平面過圓錐頂點且不與底面相交時得到一個點，當平面過頂點且與底面相交時得到兩條相交直線，當平面經過一條母線時得到一條直線.

圖5 圖6 圖7 圖8

聽完生6的發言，傳來一片贊嘆聲.此時有一個學生問到：你在解釋圖6時說平面與圓錐底面不相交，可看上去會相交啊.

生6(沉默了一會兒)：因為我們這里說的圓錐并不是立體幾何中的圓錐體，應該是圓錐曲面，不研究它的底，也可認為沒有底.就像題目中要求的點P是在圓錐面上.

生7：既然沒底，那不是不能說與底相交或是不相交了?

(生6想反駁但又想不出說什么.)

師：生6補充得非常完整，只是他用數學語言描述時出了點小問題，被細心的同學發現了，那么，我們是不是可以討論一下，從什么角度可以更方便地描述這7種情況？

學生通過交流與討論，表達了自己的描述方法，這里列舉兩種認同度最高的描述方法：

方法1利用與圓錐的軸所成角的大小來描述.

如圖9，設圓錐母線與軸所成角的大小為θ，軸與平面所成的角為α.1)在平面不過圓錐頂點的情況下：①當0°<α<θ時，交線為雙曲線；②當α=θ時，交線為拋物線；③當θ<α<90°時，交線為橢圓；④當α=90°時，平面與圓錐曲面的交線為圓.2)在平面過圓錐頂點的情況下：①當0°≤α<θ時，交線為兩條直線；②當α=θ時，交線為一條直線；③當θ<α≤90°時，平面與圓錐曲面的交線為一個點.

圖9 圖10

方法2虛構底面,借助平面與底面的較小的二面角大小來描述.

如圖10，生6把自己的表達修改了一下，他認為可以虛構一個底面，用虛線表示，借助平面與底面的較小的二面角大小來描述上述7種情形.

3.3 反思解題過程，提高解題水平

片斷3教師引導學生解決例1，并嘗試設計新題.

師：哪位同學能用平面圖解釋一下例1？

生8(畫圖后回答)：利用方法1.如圖11，母線與軸的夾角為30°,平面退化的直線與軸的夾角為60°，大于母線與軸的夾角，因此交線為橢圓.

圖11

師：完全正確.回憶一下自己的解題思路，你在思考過程中有沒有受阻？受阻的原因是什么？你認為解決例1的關鍵是什么？

學生通過分析，得到解決立體幾何軌跡問題的方法：先把滿足的條件分開考慮，想象滿足單個條件的軌跡，然后求這些軌跡的交線.由于該方法與軌跡方程中的交軌法類似，就稱為“交軌法”.

師：能在此基礎上設計出不同的題目，其答案為其他選項嗎？

(有些學生改變AB與平面所成角的大小，有些學生改變∠PAB的大小，都實現了編題目標.)

3.4 分析對比解法，歸納猜想通法

片斷4通過兩道練習題，辨析提升.

練習1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是

( )

A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線

(2004年北京市數學高考理科試題第4題)

練習2已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2.四邊形ADEF是正方形，在正方形ADEF內部有一點M,滿足MB,MC與平面ADEF所成的角相等，則點M的軌跡長度為

( )

教師先讓學生獨立解答5分鐘，再讓學生回答.接著，小組交流下面3個問題，讓各組代表說說解法并進行點評：

1)你覺得這兩道題能否用例1的解法解決？為什么？

2)這兩道題的解法有什么共同之處和不同之處？

3)通過這兩道題的解決，你獲得了什么經驗？

課后思考：能否對這兩道練習題進行改編，設計出不同的題目，其答案為其他選項.

(練習1和練習2的答案分別為D和C.這兩道題都是把條件轉化到同一平面中去解決：練習1轉化后可直接用拋物線定義輕松解決；練習2轉化后不容易找幾何關系，因此可建立平面直角坐標系，用解析幾何的方法來解決.)

4 幾點認識

4.1 利用身邊事物，培養數學眼光

讓學生學會用數學的眼光去看世界，是核心素養培養的目標之一.在本課中，筆者讓學生用身邊的物件來示意例1中條件所要求的點、線、面位置關系，把筆、紙、桌面、書本等抽象成直線與平面就是對客觀事物的數學抽象，這在立體幾何教學中是非常容易實現的.例如學生所處的教室可抽象成長方體、棱柱等幾何體，教室內還可抽象出很多點、線、面的位置關系，若在平時的教學中教師能有意識地加以引導，則將有利于發展學生的數學抽象素養，并學會用數學的眼光去看世界.

4.2 根據專題內容，發展相應素養

每個專題會涉及各自的知識點、解題方法與思想方法，教師在備課中應根據各專題特點精選例題進行設計，以促進學生相應數學核心素養的發展.本專題內容在知識體系中處于立體幾何與解析幾何的交匯處，可以作為發展學生直觀想象的載體.由于在數學感知中，絕大多是視覺感知[2]，因此對于立體幾何問題，要在頭腦里形成抽象的數學模型，最好的方法就是先從具體模型入手.

筆者先讓學生用身邊的事物構造出符合條件的模型，然后讓學生用平面圖進行分析，這是立體幾何平面化思想的體現，同時又讓學生經歷了利用圖形描述、理解、探索、解決數學問題的過程.直觀想象是發現和提出數學命題、理解數學命題、探索論證思路的重要輔助手段.在數學教學活動中，若教師重視和加強學生在這方面的引導，則將有利于學生養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，有利于學生提升數形結合的能力，有利于學生形成借助圖形和空間進行分析、推理、論證的能力.

4.3 創造交流機會，發展數學表達

每個數學核心素養水平的闡述，都會涉及思維與表達、交流與反思[1].學生要表達自己對某個問題的想法就需要對問題進行數學抽象、直觀想象、邏輯推理等處理，而在聽取他人的表達時又需要理解別人的表達并進行分析，這個過程可以較好地反映出學生的數學素養，高三學生在數學表達上具備了一定的基礎，實施起來更加容易.在學生相互合作、相互說服的過程中，氣氛會比面對教師要輕松得多，如此，學生可以更大膽地表達自己的觀點，在展示他們亮點的同時暴露出他們在表達上的不足.此時，教師加以引導或修正，更有利于發展學生的數學表達與理解能力，有利于發展他們的數學素養.

4.4 引導解題反思，提升思維品質

在高三階段，為了節省教學時間，提高學生的應試水平，教師常常會把一些有針對性的解法或是通法直接告訴學生，再讓學生加以練習運用.如此，學生只是去理解、記憶、應用教師歸納總結出的結論.根據布魯姆認知目標分類的6個層次“知道—領會—應用—分析—綜合—評價”可知：“直接告訴答案”只是讓學生的思維停留在前3個低階思維層次，浪費了發展學生核心素養的機會.因此，筆者嘗試用好這一機會，在每個例題后設置了幾個問題，引導學生進行解題反思，引導學生分析、比較已獲知的解題方法，歸納猜想出適合立體幾何軌跡問題的一般性解題思路.長此以往，可以使學生的思維上升到“分析、綜合”甚至更高的“評價”層次，同時又能讓學生體驗數學發現的樂趣，從而更喜歡數學.

5 結束語

在高三數學教學中，教師以小專題、微專題形式，引導學生進行探究與反思，并提供學生間合作交流的機會，使學生在交流中逐步暴露自己在學習中的難點、疑點，然后在生生互動、師生互動中幫助學生突破難點、解決問題，如此，可讓學生更好地掌握基本知識與基本技巧，體會其中蘊含的數學思想，久而久之，可使學生的數學核心素養水平得到真正的提高.

參考文獻

[1] 王尚志.高中數學課程標準修訂背景與學科核心素養[R].全國中小學教師繼續教育網，2016.

[2] 吳增生.3B教育理念下的數學高效課堂教學策略初探[J].數學教育學報，2011(1):17-22.

2017-03-16；

2017-04-18

河南省教育科學“十三五”規劃課題(2016-JKGHB-1076)

李世臣(1964-)，男，河南項城人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-34-05