導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在運(yùn)算

●

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) 新疆烏魯木齊 830002)

?

導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵在運(yùn)算

●徐波

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) 新疆烏魯木齊 830002)

以往認(rèn)為解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論.根據(jù)多年的研究和實(shí)踐，文章提出解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)算.整個(gè)解題的進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.

導(dǎo)數(shù)壓軸題;運(yùn)算；最值；極值

文獻(xiàn)[1]中提出解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論的觀點(diǎn)，筆者根據(jù)多年來(lái)研究高考試題和參加高三?？济}的實(shí)踐，切身體會(huì)到解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的關(guān)鍵是運(yùn)算.每當(dāng)碰到運(yùn)算不下去或者運(yùn)算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)才需要分類(lèi)討論，整個(gè)解題的進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.

《高考大綱》指出：“運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.”[2]這些對(duì)運(yùn)算能力的要求貫穿于解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的全過(guò)程中，運(yùn)算求解能力、推理論證能力、創(chuàng)新意識(shí)等綜合體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解過(guò)程中，以達(dá)到對(duì)考生進(jìn)行深層次考查的目的[3-4].

筆者選擇了近幾年新疆烏魯木齊市高三診斷性測(cè)試題作為素材來(lái)展開(kāi)論述.在分析試題的解題思路時(shí)，筆者嘗試將思路形成過(guò)程記錄下來(lái)，希望收到更加真實(shí)、親切、自然的效果.為了增加實(shí)用性，在每道例題分析之后，增加一道相應(yīng)的練習(xí)題，希望能對(duì)廣大師生有所幫助.

例1已知函數(shù)f(x)=ex+ln(x+1)．

1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥ax+1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)理科試題第21題)

分析1)按常規(guī)套路去做.由題意得

f(0)=e0+ln(0+1)=1，

于是y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為

y-1=2(x-0)，

即

y=2x+1.

第1)小題為第2)小題埋下了伏筆，既然曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x+1，按照幾何直觀得知曲線y=f(x)在切線y=2x+1的上方，也就是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥2x+1恒成立.現(xiàn)在要想使得當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥ax+1恒成立，只要直線y=ax+1比切線y=2x+1“壓得還低”就行了，也就是a≤2即可，這時(shí)已經(jīng)“猜”到了答案.

h′(x)>0，

于是函數(shù)y=h(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，即

h(x)≥h(0)=2，

亦即

g′(x)≥2-a.

①當(dāng)a≤2時(shí)，2-a≥0，g′(x)≥0,從而函數(shù)y=g(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，于是g(x)≥g(0)=0.此時(shí)，對(duì)任意x≥0，f(x)≥ax+1成立.

②當(dāng)a>2時(shí)，a-1>1，由于x≥0,從而

當(dāng)x∈(0,ln(a-1))時(shí)，

ex+1-a<0，

即

g′(x)<0，

從而函數(shù)y=g(x)在(0,ln(a-1))上為減函數(shù)，于是當(dāng)0

g(x)

因此，f(x)

綜上所述，對(duì)任意x≥0，f(x)≥ax+1成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線x-2y+1=0平行，求a的值；

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第一次診斷性測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)文科試題第21題)

2)試討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第二次診斷性測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)理科試題21題)

當(dāng)-10，從而

g′(x)≥0，

此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，于是

g(x)≤g(0)=0，

2)要討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，必須先摸清楚這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和極值情況.

①當(dāng)m=1時(shí)，x1=x2=0，由式(1)得

從而當(dāng)x>-1時(shí)，1+x>0，x2≥0，于是

f′(x)≥0.

此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),因此當(dāng)-1

f(x)

當(dāng)x>0時(shí)，

f(x)>f(0)=0，

函數(shù)y=f(x)在x>-1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=0.

圖1

(2)

構(gòu)造函數(shù)k(x)=lnx-x+1(其中x>0)，則

當(dāng)01時(shí)，k′(x)<0，從而函數(shù)y=k(x)的增區(qū)間為(0，1],減區(qū)間為(1,+∞)，于是

k(x)≤k(1)=0，

即

lnx≤x+1,

從而

即

故

(4)

由式(3)和式(4)知

(5)

圖2

綜上所述,當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y=f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

2)當(dāng)m≤1時(shí)，試討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

(2016年新疆烏魯木齊市高三年級(jí)第二次診斷性測(cè)驗(yàn)數(shù)學(xué)文科試題第21題)

導(dǎo)數(shù)壓軸題，關(guān)鍵在運(yùn)算.在平常的教學(xué)中講解習(xí)題或者試卷的時(shí)候，每當(dāng)碰到運(yùn)算不下去或者運(yùn)算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)，教師要停下來(lái)，把學(xué)生“卡”在那里，讓他們左沖右突、嘗盡苦頭，然后再適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，提煉出解決問(wèn)題的關(guān)鍵思路和技術(shù).

這里常常借助函數(shù)的泰勒展開(kāi)式或者麥克勞林展開(kāi)式，將一個(gè)超越函數(shù)用一個(gè)有理函數(shù)去取代，有時(shí)還需要做一些變量代換，以獲得我們所需要的形式.整個(gè)題目的探究進(jìn)程和解題方案的形成背后其實(shí)都是受運(yùn)算進(jìn)程的支配，運(yùn)算在其中起著決定性作用.希望大家在運(yùn)算的實(shí)踐中不斷地磨煉和提升，積累體驗(yàn)，獲取經(jīng)驗(yàn)，把導(dǎo)數(shù)壓軸題解好.

[1] 龍正武，譚國(guó)文.怎樣更好地做好導(dǎo)數(shù)大題的答題準(zhǔn)備[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育:高中版，2012(1/2)：67-83．

[2] 教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015：50-53.

[3] 教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明[M].北京：高等教育出版社，2015：131-132.

[4] 教育部考試中心.高考理科試題分析[M].北京：高等教育出版社，2015:135-138.

2017-03-15；

2017-04-16

徐 波(1964-)，男，四川大竹人，新疆自治區(qū)特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-30-04