由貝特朗概率悖論得到的一個有趣現象

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(溫州華僑職業中等專業學校 浙江溫州 325000)

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由貝特朗概率悖論得到的一個有趣現象

●徐新

(溫州華僑職業中等專業學校 浙江溫州 325000)

文章通過對貝特朗概率悖論分析，發現這樣的概率模型，其樣本空間可以是一維直線的區間，也可以是二維平面的區域.究其原因，是因為隨機變量函數具有特殊的性質，構造出類似的隨機變量函數，可以得到類似的概率模型.

貝特朗概率悖論；幾何概型；隨機事件；樣本空間

貝特朗概率悖論(下文簡稱悖論)由貝特朗于1889年提出，它說明這樣一個原理：解決一個實際問題的時候，必須建立無歧義的概率模型[1].事實上，因為該悖論對問題的表述含糊，從而造成理解上的歧義，所以其本身并不能直接求解.為此，我們必須先將其含糊的表述加以明確，得到確定的隨機試驗，從而建立無歧義的概率模型，再對相應的概率模型進行求解.

通常對“在圓內任作一弦”進行明確，可得到多種不同的隨機實驗[2].筆者討論以下兩種情況的概率模型：1)弦的兩個端點都是在圓周上隨機地取；2)弦的一個端點固定在圓周上，另外一個端點在圓周上隨機地取.

圖1 圖2

解如圖1所示，依據圓的參數方程，設A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，其中α,β∈[0,2π],從而樣本空間為[0,2π]×[0,2π].由題意，

對應區域是圖2中的陰影部分.由幾何概型的定義，得

解法1依據圓的參數方程，設A(cosα0,sinα0)，B(cosβ,sinβ)，α0是區間[0,2π]上取定的值.由點B的隨機性，知β∈[0,2π]，因此樣本空間是[0,2π]．此時，

下面根據β的取值范圍求解:

圖3 圖4 圖5

模型2的解法1與模型1的解法形成比較，表述較為復雜，下面給出模型2的簡潔解法.

圖6

在模型1的解法中，記

η=f(α,β)是隨機變量，α,β是[0,2π]上均勻分布的隨機變量.類似模型1的求解，可求得其概率分布函數

在模型2的解法中，記

不難看出，上述兩個概率分布函數是同一個函數.

因此，如果在悖論中將“在圓內任作一弦”明確為“在圓周上取兩點任作一弦”，就可以得到確定的概率模型，即下面的模型3.

模型3有兩種解法：1)參照模型1的解；2)參照模型2的解.如果把悖論中“在圓內任作一弦”錯誤地理解為“在圓周上取兩點任作一弦”，那么就會認為該悖論有解.這就使悖論更具迷惑性.

值得注意的是：所得概率值相同，并不意味著概率模型一定可以放到兩個不同維數的樣本空間上.

模型4甲和乙兩人相約在上午8～9點之間在某地見面，問甲、乙到達某地的時間差的絕對值落在區間(20,40)上的概率.

圖7

如果在區間[0,60]上任意取定一個值x0，y依然是[0,60]上的均勻隨機變量，則得到下面的模型4′.

模型4′ 甲和乙兩人相約在上午8～9點之間在某地見面，現已知甲在x0時刻到達了某地，問甲、乙到達某地的時間差的絕對值落在區間(20,40)上的概率.

事實上，在上述模型4中，只要甲、乙到達某地的時間差的絕對值所在區間關于30對稱，那么相應的隨機事件在模型4和模型4′中，計算所得的概率值相等.如果時間差的絕對值所在的區間不關于30對稱，比如(10,40)，那么相應的隨機事件在模型4和模型4′中，計算所得的概率值就不會相等.在模型4中，令z=|x-y|(其中x,y∈[0,60])，那么可得到其概率分布函數是

在模型4′中，令

x0是[0,60]上取定的一個值，則可得到其概率分布函數是

顯然，這兩者的概率分布函數不是同一個函數.因此，盡管計算所得的概率值相同，但模型4的樣本空間只能是區域[0,60]×[0,60]，模型4′的樣本空間只能是區間[0,60].

兩個模型中的概率分布函數是

同樣，在離散的情況下也有類似現象.

模型6將一枚色子投擲兩次，記第一次得到的點數為α，第二次得到的點數為β，求g(α,β)=-||α-β|-3|+3的值大于1的概率.

樣本空間是我們所熟知的36個數對構成的集合，對應的概率分布列如表1所示.

表1 36個數對構成的樣本空間所對應的概率分布列

(注：這里的分式沒化成最簡分式，是為了與下面的分布列作比較.)

2017-04-09；

2017-05-10

徐 新(1979-)男，江西鄱陽人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122

：A

：1003-6407(2017)07-24-04