“正弦定理”的教學設計、實踐與反思

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(寧波市第二中學 浙江寧波 315000)

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“正弦定理”的教學設計、實踐與反思

●韓蕾

(寧波市第二中學 浙江寧波 315000)

“正弦定理”是《數學(必修5)》的第1節課，文章通過融入數學文化史進行定理的引出、證明、賞析和應用.

正弦定理；歷史發展；核心素養

2017年3月，筆者所在學校舉行了以“關注核心素養，關注課堂教學”為主題的同課異構活動.筆者有幸參加了這次活動，與另一位來自重慶南開中學的教師分別執教了“正弦定理”這節課.現將本堂課的教學設計、實踐與反思作一呈現，期待與同行交流.

1 教學過程

1.1 追根溯源，引入定理

師：昨天，夜空迎來了一次奇妙的天象：雙星伴月.不知有沒有同學見證了這一時刻呢？人民網上發布了一張照片：金星、火星和月亮近距離相聚，形成一張美麗的笑臉.當我帶著孩子仰望夜空時，孩子問我：媽媽，月亮離我究竟有多遠呢？這是一個不可及物體距離的測量問題.類似這樣的實際問題你們能舉出例子來嗎？

生1：測量我們學校旗桿與月湖里女神像間的直線距離(筆者所在學校處在美麗的月湖風景區).

生2：測量高樓大廈建筑物的高度.

生3：測量海上兩個島嶼間的距離.

樣本空間是色子的6個點數構成的集合，對應的概率分布列如表2所示.

表2 6個點數構成的樣本空間所對應的概率分布列

比較兩個分布列可以看出，表1中任何一個隨機變量對應的概率值的分子正好是表2中對應隨機變量概率值的分子的6倍.而前者樣本空間中的等可能性事件的個數也正好是后者樣本空間中等可能性事件個數的6倍.這就使得兩個分布列中對應隨機變量的概率值始終相等.

貝特朗概率悖論促進了概率公理化體系的建立.再次分析該悖論，仍然讓我們有所啟發.

[1] 伯特瑟卡斯， 齊齊克利斯.概率導論[M].2版.鄭忠國,童行偉，譯.北京:人民郵電出版社,2016.

[2] 單墫.高中數學教學參考書·數學3(必修)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

[3] 嚴士健,劉秀芳.測度與概率[M].2版.北京:北京師范大學出版社,2006.

師：解決這些問題，我們現有的幾何知識夠用嗎？在這一章，我們將要學習的“解三角形”就可以用來解決這些問題，它一般研究三角形邊與角之間的關系，屬于“三角學”的范疇.古往今來，許多數學問題的產生也是來源于觀測天體、航海、地理現象等等，最初的三角學就是起源于天文學.古希臘的天文學家在研究天體運動中推動了“球面三角”的萌芽，隨著航海和地理的發展，人們在研究球面三角的過程中得到了一個副產品“正弦定理與余弦定理”.這兩個定理非常重要，它們為建立平面三角奠定了基礎[1].我們這一章要學的就是這兩個重要的定理.今天我們先來學習第1個定理：正弦定理.

設計意圖從“雙星伴月”的天文奇象引出關于不可及物體的距離測量問題，讓學生感覺自然親近，也調動了課堂氣氛.本節課是章首課，因此有必要介紹這一章要學什么，為什么要學.穿插簡單的數學史，讓學生感受正弦定理并非只是冰冷的公式，它和人類生命一樣，是一個美麗的產物.

1.2 歸納猜想，證明定理

師：在Rt△ABC中，用銳角三角函數來表示邊與角的關系.記AB=c,AC=b,BC=a，如何用邊來表示角？

師：這兩個等式都有一個共同的分母，能否利用這一特點將兩個等式合并成一個等式呢？

師：很好.你們感受到了這個等式的特點嗎？

生(部分)：分子為邊長，分母為邊所對角的正弦值.

師：有沒有美中不足呢？

生6：少了關于另一條邊的式子.

師：完美！通過對直角三角形邊與角的研究，我們歸納出了一個形式對稱的式子.請大家猜想：這個式子能適用于斜三角形中嗎？

生(眾)：應該可以.

師：那好，接下來我們試著在斜三角形中進行證明.

先在銳角三角形中進行證明，由于學生事先已經預習過，因此大部分學生都能較快地找到方法(作高).

生8：如圖1，在△ABC中作高AD，構造出兩個直角三角形，通過計算AD得到式子

圖1

師：將銳角三角形分割成兩個直角三角形，這是“化斜為直”的解決方法，通過對同一個對象進行“算兩次”的方法，建立起了邊與角的關系，非常好.

雖然有刺激性氣味可能不環保，但沒有刺激性氣味也不等于環保。除了甲醛，室內還有苯、氨、TVOC、放射性氡等多種有害氣體，其中放射性氣體氡是無色、無味、無法察覺的惰性氣體。因此最真實有效的辦法就是請專業機構用專業儀器檢測。

師：在鈍角三角形中的證明，留給同學們課后自己去完成.這就是我們今天要學習的正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

設計意圖通過“歸納—猜想—證明”的過程，讓學生體會從特殊到一般的學習方法.在證明過程中，滲透“化斜為直”“算兩次”的解題方法.

1.3 “圓”來如此，賞析定理

生(眾)：直角三角形的斜邊長.

師：那么在斜三角形中呢？這個比值還會是c，抑或是其他的值？

通過師生共同努力，利用外接圓法，找到了比值為三角形外接圓的直徑，從而得到

然后利用思維導圖的形式(如圖2)，引導學生將正弦定理進行了深度賞析.

圖2

師(PPT展示圖片)：我們只用了約20分鐘賞析了該定理，可是正弦定理的發展并不是如此一帆風順的.最早是阿拉伯的數學家阿布爾提出了平面三角的正弦定理，然后在1030年，另一位數學家阿爾畢魯尼首次對定理進行了證明.又過了400多年，在1464年，德國數學家雷格蒙塔努斯在他的著作《論各種三角形》中清晰地將定理展示出來.當然，又過了很漫長的一段時間，人們才慢慢地接受并應用正弦定理[2].歷史的發展賦予了正弦定理以內在美，公式本身又向我們呈現出它的形式美.接下來讓我們繼續探究正弦定理的應用價值.

設計意圖通過引入圓來得出正弦定理的幾何意義，滲透數形結合的思想.介紹正弦定理簡單的發展歷史，讓學生在冰冷的數字背后感受到正弦定理的生命力和數學的內在美，體現數學的核心素養.1.4 知識拓展，應用定理

例11)在△ABC中，已知A=45°,B=60°,c=1,求C,a,b.

課后探究對課前問題“測量學校旗桿與月湖里女神像之間的直線距離”提出測量方案.

設計意圖例1中的3個小題是針對正弦定理的基礎訓練，其中第2)和第3)小題是兩邊一對角的類型，一題為兩解，一題為一解.留給學生課后思考三角形個數的問題，為下一節課作好鋪墊.對測量實際距離提出測量方案，讓學生感受到數學知識可以服務于生活，是一門有用的學科.

1.5 總結反思，感悟定理

師：請大家說說本節課中你學到了什么，對于數學學習有哪些體會呢？

師生共同總結：

一個定理：正弦定理；

兩種方法：化斜為直、算兩次方法；

三種思想：類比轉化、從特殊到一般、數形結合思想.

布置作業(略).

2 課后感悟

“正弦定理和余弦定理”并不是在學生用量角器、刻度尺、計算器測量任意三角形的邊與角中產生的，它們的產生和三角學的發展息息相關.因此就有了以上的融入數學史的教學設計.

2.1 滲透歷史，體會數學之美

有人將一堂課比作一道菜，這道菜的味道如何，一方面取決于廚師的廚藝，另一方面還取決于食材是否豐富.對于正弦定理，本身是一個冰冷的公式，于學生而言，學習的目的似乎就是為了應付考試，會算即可.如果僅僅從直角三角形的找邊角關系引入，或是從某一個實際問題的計算引入，那么學生就感受不到定理本身的內涵美.

筆者從三角學的發展歷史入手，簡單地介紹了正弦定理產生的過程.在賞析定理的過程中，再次提出正弦定理漫長的發展過程，讓學生感受到：正弦定理并不是一個冰冷的公式，它也是有生命的，是一個美麗的公式.滲透數學的歷史文化，讓這節課顯得不那么單調，上課的“食材”也就顯得豐富多元.

2.2 聯系實際，凸顯定理價值

在課的開始與結尾，筆者都提出了不可及物體距離的測量問題，前后呼應.在應用定理環節，除了讓學生完成常規的解三角形題型外，還留給學生課后探究的練習題，以凸顯正弦定理的應用價值，也讓學生感受到數學可服務于生活，從而培養他們的應用意識.

2.3 關注學生，體現核心素養

數學的核心素養是數學教與學過程中應當特別關注的重點.在本節課中，筆者的設計遵循兩條線：一條明線為“引入定理—證明定理—賞析定理—應用定理—感悟定理”；一條暗線為正弦定理的簡單發展歷史.讓學生從中不斷地經歷推理論證、定理內涵的挖掘，從知識上加深對概念、定理的理解.數學史的引入也絕非簡單的移植和嫁接，在恰到好處的地方進行數學文化史的滲透，以做到潤物細無聲.

當然，教學是一門遺憾的藝術.當我們在反思一堂課時，總會有這樣或那樣的不滿.筆者期待同行們的批評與指正，以期在課堂教學的路上走得更踏實.

參考文獻

[1] 張國定.HPM視角下的數學教學設計——從正弦定理的教學設計談起[J].數學教學研究，2010(3)：14-16.

[2] 陳克勝.“余弦定理和正弦定理”的數學思想史略[J].數學通訊，2004(21)：45-47.

2017-03-21；

2017-04-25

韓 蕾(1982-)，女，浙江舟山人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O124.1

：A

：1003-6407(2017)07-27-03