一題一惑 一探一獲
——利用曲線的公切線研究函數不等式

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(單縣第一中學 山東單縣 274300)

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一題一惑一探一獲
——利用曲線的公切線研究函數不等式

●衛小國

(單縣第一中學 山東單縣 274300)

將函數不等式的求參與證明問題，利用分離函數的方法，轉化為兩條曲線的公切線進行解答.文章給出一種新的解題思路，在減少運算的同時，培養學生數形結合與轉化化歸思想的靈活運用.

不等式；公切線；數形結合

含參函數不等式問題，因其是考查學生問題轉化能力、數學運算能力和創新解題意識的好載體，而成為各地考試命題的熱點.筆者結合一次教學中學生對所提供解法的釋疑，提出一種利用曲線的公切線解函數不等式的方法，與大家共研.

例1已知函數f(x)=ax2-lnx(其中a>0)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.

學生在課堂上提供了兩種解法，解題切入點不同，但都屬于常規方法.

1 一題多解

解法1求得導函數

故

評注解法1從導數的應用入手，結合函數的單調性、極值與最值，研究函數的性態，掌控解題的關鍵(函數的最小值決定零點的個數)，整個解題過程自然[1]；解法2借助輔助函數g(x)的零點，是典型的數形結合思想,相比解法1似乎更巧妙，但本質上與解法1異曲同工.

2 一解有惑

有學生也獲得正確的結論，但是給出了不同的解答，過程如下：

圖1

設g(x)=ax2，h(x)=lnx,可知兩個函數圖像只有1個公共點.設該公共點為(x0,y0)，則滿足

圖2 圖3

筆者針對這種“公切線分隔法”，提煉出一般解題思路為：證明或求解f(x)

3 一探有獲

筆者運用“公切線分隔法”研究近幾年數學高考試題中的類似問題,發現此類問題可進一步分為“公切線共切點”和“不共切點”兩種情況，或者曲線分別處于切線同側和異側兩種位置關系.近幾年考查此類問題的高考題有：2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科第21題、2014年遼寧省數學高考理科第11題、2014年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科第11題、2015年山東省數學高考理科第21題第2)小題.筆者以前兩道高考試題為例，簡單闡述不共點同側與共點同側這兩類題型的解法.

例2已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，當m≤2時，證明：f(x)>0.

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第21題)

分析當m≤2時，

f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),

只需證

ex-ln(x+2)>0.

易知y=ex與y=ln(x+2)的圖像沒有公共點，如圖4，結合函數不等式知ex≥x+1(其中y=ex與y=x+1僅相切于點(0,1)，且除公共點外，前者在后者的上方).另外，函數不等式x+1≥ln(x+2)類似的幾何特征為：y=ln(x+2)與y=x+1僅相切于點(-1,0)，此外前者在后者的下方.即y=ex與y=ln(x+2)分別處于公切線y=x+1的兩側，由圖4知f(x)>0顯然成立.

圖4 圖5

例3已知函數f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍為

( )

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

(2014年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第11題)

x1=-1，a=-2,

進而求得公切線為6x+y+4=0.當a=-2時，

F(x)=g(x)-h(x)=-2x3-3x2+1=

(1-2x)(x+1)2,

評注將不等式轉化、設計成兩個函數的不等關系；輔以簡圖分析，直觀呈現對應曲線間的位置，為數形結合解決不等式問題提供依據.選取特殊情形(曲線的相切)為突破，巧妙獲取參數的范圍,并推理論證，使得該不等式求參問題獲得合理解決.從以上試題的解答中，可見關鍵是將不等式拆分為兩個常規的基本函數的不等關系.從函數圖像上易于發現兩者位置上的關系，進而確定化歸的可能與類型；輔以數形分析，會使得解答相對簡捷[3].

4 解后有疑

以上例題中在切點附近，其中一條曲線始終在另一曲線的上方，而2015年山東省數學高考理科第21題的第2)小題卻略有不同.

例4設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R．

1)略.

2)若對任意x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍．

(2015年山東省數學高考理科試題第21題)

圖6

分析令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x)，如圖6，當a≥0時才有

ln(x+1)+a(x2-x)>0.

易知g(x)與h(x)相交于點(0,0)，由g′(0)=1,h′(0)=a知g(x)與h(x)存在共點的公切線,此時a=1且公切線為y+x=0.

當a=1時，

F(x)=g(x)-h(x)=ln(x+1)+x2-x,

當x>0時，F′(x)>0，則F(x)在(0,+∞)上單調遞增,即F(x)>F(0)=0恒成立.

綜上所述，當a=1時，在y軸的右側兩條曲線的位置關系為:g(x)的圖像恒在h(x)的上方.由圖6知a<1也滿足，故a∈[0,1].

將復雜的不等式問題簡化為函數的大小問題，水到渠成地運用數形結合思想，將其化歸為曲線位置關系的研究.解題過程簡潔，運算難度降低，解法略顯簡捷，以特殊化解決問題，展示了較高的創新意識和辨析能力.

有興趣的讀者，可繼續研究下面兩道高考試題：

例5當x∈[-2,1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是

( )

C.[-6,-2] D.[-4,-3]

(2014年遼寧省數學高考理科試題第11題)

(2010年天津市數學高考文科試題第20題)

反思導數解不等式問題的基本方法是構造函數模型，如何構造、怎樣運算、何時分類討論都是難點.通過此類題可以考查學生的綜合數學素養，因此參考答案更多的是構造函數解決，利用導數與單調性知識求最值.若考生熟練掌握常見曲線的幾何特征，則能“以形助數，以數解形”，運用直觀的方式呈現不等關系，從而在模式化的解法基礎之上，又提供了一種新的思路.如此是試題的巧解還是解答的巧合，亦或是命題人的有心，值得品味！

[1] 霍福策，曹軍.轉化與化歸在不等式恒成立中的應用[J].數學教學研究.2014(1)：45-48.

[2] 李金興,許興銘．函數與導數專題[J]．中學教研(數學)，2017(2)：33-38．

[3] 陳曉明.問題到底出在哪兒呢——對一道導數試題解法的探究[J].數學教學，2017(1)：12-13.

2017-02-25；

2017-03-26

衛小國(1979-)，男，湖北武漢人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

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：1003-6407(2017)07-21-03