例題的選取、變式及拓展
——以“解三角形”和“空間幾何體的表面積及體積”為例

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(象賢中學 廣東廣州 511483)

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例題的選取、變式及拓展
——以“解三角形”和“空間幾何體的表面積及體積”為例

●李偉

(象賢中學 廣東廣州 511483)

好的例題教學要教會學生“以不變應萬變”“以少馭多”，這就需要選擇的例題、變式及拓展是恰當的、有效的.在此，以“解三角形”及“空間幾何體的表面積及體積”為例，具體闡述了例題、變式及拓展的小單元整體設計過程，為好的例題教學奠定了基礎.

例題教學；微專題；解三角形；空間幾何體

1 問題背景

數學高考備考是一個永恒的話題，從市、區、校各級教育行政部門到一線教師，都在想辦法、找抓手，盡最大可能提升備考效果.如廣東省廣州市教育研究院提出了“抓基礎、抓重點、抓落實”“精選材料、分層落實、有效訓練、及時反饋”的高考備考策略，廣州市番禺區教研室提出“強化例題教學”，把廣州市的備考策略落到實處.對于例題教學，首要條件是選好題，這是“好的例題教學”的保障.

2 觀點及方式

“好的例題教學”要教會學生“以不變應萬變”“以少馭多”，這就需要所選擇的例題、變式及拓展是恰當的、有效的.筆者認為：例題、變式及拓展是相輔相成的整體，都是為實現例題教學的目標服務的,不要刻意去區分它們，但需要了解一些基本的原則及方法，而且這些變式、拓展還可以作為一種策略性知識讓學生學習，從而提升學生的數學核心素養.

對于例題的選取，要注意以下兩個原則：

1)目標定位，分層落實.實質上，在高考備考階段，由于知識的綜合性，例題已不再是單個的例題，更應是一個例題組，或者說是一個微專題.

2)入口寬泛，思維發散，按需拓展.這也是例題教學能夠達到“以少馭多”功效的一個根本原因.

例題的變式可以對問題的條件、結論進行不同的表征，也可以把問題的條件、結論交換位置等；例題的拓展有多種方式，如將靜態問題拓展為動態問題，將數學問題拓展為應用類問題，將封閉型問題拓展為開放型問題.

例題、變式及拓展的題目選取恰當，能幫助學生更好地認識問題本質，更快地形成新認知結構[1]，從而提升學生的解題能力.

3 案例及解讀

案例1“解三角形”的求值問題

用正、余弦定理求三角形邊和角的值，實質上是已知3個量求另外3個量的問題.問題的核心在于這3個量能否明確、能否分層落實.此類問題可設計3層目標：1)已知3個量，直接運用；2)已知兩個量，第3個量從外界獲得；3)已知兩個量，求取值范圍.此3層目標有一定的遞進關系，現分別給以具體論述.

1)已知3個量，直接運用.

拓展在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

圖1

(2015年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第16題)

分析如圖1，隨著點A的變化(在BE上運動)，平面四邊形ABCD存在兩個臨界狀態[2]，△FBC為最小臨界，△EBC為最大臨界.

設計意圖例1是正弦定理的直接應用；變式把邊c用S△ABC=2這種形式來表征；拓展把兩個臨界狀態的確定三角形與動態的平面四邊形做了無縫連接，在體會高考試題設計精妙的同時，深刻理解問題的本質.

2)已知兩個量，第3個量從外界獲得.

圖2 圖3

圖4

2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第17題)

分析1)略；

2)設∠PBA=θ，則∠PCB=θ，在△PAB中，

在△PCB中，

設計意圖例2的△BCD中已知兩個量BC,BD，從相鄰的△ABD(已知3個量)中得到第3個量∠BDC的值.變式與例題方法完全類似，只是所求量AD·sin∠BAD在一定程度上有陌生感，可以分開處理，也可以過點D作AB的垂線，構建所對應的幾何線段.例2及變式中所需的第3個量均可以從相鄰的三角形中獲得，但拓展中的第2)小題，發現無法從外界獲得第3個量(因為外界相關的三角形中均只有兩個量).仔細研究發現：若引入第3個量，則可確定所需三角形及相關三角形，于是大膽、自主引入第3個量，求解第4個量，用方程的思想來解決問題.

3)已知兩個量，求取值范圍.

變式1設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

1)求角B；

2)若b=2，求△ABC面積的最大值．

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第17題)

(2011年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第16題)

1)求角B的大小；

2)若a+b=1，求b的取值范圍．

(2013年江西省數學高考理科試題第17題)

案例2“空間幾何體”的體積、表面積

求“空間幾何體”的體積及表面積，實質是要明確空間幾何體的結構特征，并能進一步度量和計算長度、表面積、體積等.幾何體結構特征的復雜程度、陌生程度有效地考查了空間想象能力，依此構建3層目標，并分層落實：1)單一的簡單幾何體，以三視圖為載體進行考查，并對幾何體作切、挖、轉等處理；2)簡單幾何體的組合，并可作一定的開放性探索；3)與球體有關的組合型幾何體,主要考查球的截面的幾何性質、幾何體的外接球半徑等.具體論述如下：

1)單一的簡單幾何體.

圖5

例4如圖5，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為

( )

A．6 B．9

C．12 D．18

(2012年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第7題)

變式1一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為

( )

A. B. C. D.

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第7題)

圖6

變式2一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖6所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

( )

(2015年全國數學高考新課標卷Ⅱ理科試題第6題)

( )

A.17π B.18π C.20π D.28π

(2016年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第6題)

圖7 圖8

變式4如圖8，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為

( )

(2014年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第12題)

分析變式4有兩種解法：一是正方體切割；二是幾何體旋轉.

方法1用正方體進行切割，作線太多，易亂.按三視圖依序簡化圖形處理，具體如圖9所示.

圖9

方法2幾何體的旋轉，可以帶來三視圖的旋轉及視圖位置的改變，把不熟悉的三視圖轉化成熟悉的三視圖結構，容易還原幾何體.此題中，保持幾何體的正視方向不變，把幾何體沿順時針方向旋轉90°，側視與俯視交換位置.具體如圖10所示.

圖10

( )

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

(2015年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第6題)

設計意圖此類問題的考查主要是以三視圖為載體來進行，可以逆向考查(變式1)；也可以對簡單幾何體用平面截(變式2)；挖去一部分(變式3、變式4)，甚至可以把簡單幾何體轉動一個角度(變式4)，其中變式4是一個難點，要多角度給以突破.拓展1則把空間幾何體與數學文化(數學史知識及數學應用)作了一個很好地融合.

2)簡單幾何體的組合.

例5某幾何體的三視圖如圖11所示，則該幾何體的體積為

( )

A．16+8π B．8+8π

C．16+16π D．8+16π

(2013年全國數學高考理科試題第8題)

圖11 圖12

變式1圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖12所示.若該幾何體的表面積為16 + 20π，則r=

( )

A.1 B.2 C.4 D.8

圖13

(2015年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第11題)

拓展1在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖13所示，則相應的側視圖可以為

( )

A. B. C. D.

(2011年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第6題)

設計意圖例5與例4的考查方向、載體都相同，但會把多個“殘缺式”簡單幾何體進行組合(拼接或消融)處理，要加強對表面積、側面積等概念的理解；拓展1從正視圖、俯視圖能大概推斷幾何體的形狀，從而得出側視圖，雖不能確定，但選項可選，有一定的開放性.

3)與球有關的幾何體.

與球有關的幾何體主要考查兩個方面：球的幾何性質(球心與截面圓心的連線垂直于截面)及幾何體的外接球.緊扣球的兩個要素：球心、半徑.

(2011年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第15題)

圖14

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科試題第15題)

變式2如圖14，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為

( )

(2013年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科第6題)

拓展1已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為

( )

(2012年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科第11題)

分析若要把球畫出來，則作圖會存在困難.一個好的策略是跳出球來畫幾何體，標出球心及半徑就好.具體思維過程如圖15所示.

圖15

易得VS-ABC=2VO-ABC=

類比拓展1，嘗試對例6改編，可得：

分析如圖16，易得VS-ABCD=2VO-ABCD.

圖16

設計意圖例6及變式1、變式2通過構建球心與截面圖形構成的幾何體為載體，加強對這一幾何性質的考查；拓展1則把這類幾何體的頂點由球心拓展到了球面，若沒有看透本質，則問題識別會有困難，形成解題障礙.

分析以下3種解法的思維過程如圖17所示：

圖17

解法1補形成長方體，易知四面體的外接球即長方體的外接球.

解法2翻折圖形的對稱性，過△ACD的外心O1作垂線l1，同時過△ABD的外心O2作垂線l2,且l1∩l2=O,易得點O到點A，B，C，D的距離相等，即點O為外接球心.

解法3先找外心再定球心，屬常規解法.過△ACD的外心O1作垂線l1，則球心O必在l1上，只要OB=OD即可.

變式1設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

( )

(2010年全國數學高考新課標卷Ⅰ理科試題第10題)

(2016年江西省南昌市第二次模擬考試試題)

拓展1四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長為3，記四面體ABCD的體積為F(x)，則函數F(x)的單調增區間是______，最大值為______；當該四面體體積最大時，經過這個四面體所有頂點的球的表面積______.

(2015年北京市西城區第一次模擬考試理科試題第14題)

設計意圖例7的選取很重要，該幾何體不同的結構特征對應多種不同的思維方式.如該幾何體可以補形成長方體，轉化成長方體的外接球來求；可以根據翻折幾何圖形的對稱性直接找到球心；還可以用先找外心再定球心的方式來算出半徑.變式1～3對這幾種方法作了一定的鞏固、提升，其中變式1是解法1的基礎鞏固與本質提煉，變式2用解法1和解法3都可以解決，變式3是解法2的鞏固和提升.拓展1實質上是對變式3的二面角A-BD-C做了一個動態處理(體積最大，意味著該二面角為直二面角)，加大了思維量.

4 思考感悟

例題、變式及拓展的設計，決定因素在于教師.教師要跳進題海，追本溯源，總結問題的變式及拓展，并加深對問題本質的認識，重構更完善的知識網絡結構.

例題、變式及拓展的設計，目標意識是關鍵，其次要有小單元整體設計思路.這樣才能夠引導學生自覺進入深度學習，提升數學核心素養.

當然，這些都要結合學情去思考才有價值，才能讓學生的基礎、能力得到同步提升，提高解題能力，提升備考效果.

[1] 李慧娟,傅海倫,權奎.數學學習的碎片化與整體化[J]．中學數學雜志，2016(11)：7-9．

[2] 教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明(理科)[M]．北京：高等教育出版社,2016．

[3] 李偉.全國卷形勢下數學備考的策略[J].課程教學研究,2015(12):60-63.

2017-02-20；

2017-03-21

李 偉(1976-)，男，江西臨川人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-13-05