為學生創造“微探究”的機會

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(南京市第二十九中學 江蘇南京 210036)

●龍艷文

(南京市教學研究室 江蘇南京 210018)

●劉權華

(南京市教育科學研究所 江蘇南京 210002)

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為學生創造“微探究”的機會

●郭建華

(南京市第二十九中學 江蘇南京 210036)

●龍艷文

(南京市教學研究室 江蘇南京 210018)

●劉權華

(南京市教育科學研究所 江蘇南京 210002)

文章通過采取弱化條件、以退求進、編制相似題組等策略，為學生創造微探究的機會，以此激發學生的學習興趣，激活學生的思維，達到破解難題的目的，將微探究落在實處.

交流互動；激活思維；微探究；提升能力

微探究是以問題為導向，以學生已有的知識和經驗為基礎的教學探究活動.微探究切入點的選擇必須微小而有探究的價值，要能在激活學生思維處設問，要具有操作的可行性，關鍵還在于探究的“微化”處理.教師要為學生創造“微探究”的機會，要讓微探究成為學生將知識轉化為能力的重要載體.特別是對于一些思維量較大的題目，教師更應該為學生創造微探究的機會，同時積極引導學生進行反思，將相似題組的教學融合到習題講評中，改變傳統的習題講評形式，從而激發學生的興趣，激活學生的思維，活躍課堂的氣氛，以此培養學生的合作精神和創新能力.用教師的教學智慧讓習題講評課堂變為開放的課堂和靈動的課堂，實現師生思維交流，實現共同發展目標．筆者以江蘇省南京市高二期末檢測卷中一道函數試題的微探究教學為例，作了一些新的嘗試和探索，整理成文與讀者共饗.

1 問題提出

題目已知t>0，函數

本題以分段函數為背景，以復合函數的零點個數問題為載體，蘊含了等價轉化、數形結合、函數與方程等數學思想，并非怪題、偏題，其背景熟悉平和，表達簡潔清楚，考生們很容易接受.本題實現了對基礎知識、基本技能和基本數學思想的考查，能較好地甄別學生的思維水平和提升學生的數學核心素養.本題的命題特色如下：一是動靜結合，化動為靜；二是化繁為簡，實現質的突破.這2點既是本題的亮點，也是難點.

2 考情分析

筆者所任教的班級共有58名學生，據統計顯示只有10名學生做出正確答案.因此，教師要認真分析學生存在的問題，并以此制定適合學生的教學設計，為學生創造“微探究”的機會，培養學生研究和解決問題的能力.

教師應充分了解學生解決該問題的知識儲備和方法掌握情況，調查學生的典型解法和錯誤，分析解法形成的思維過程和錯誤產生的根源.學生解答本題的障礙主要有以下兩個方面：一是心理障礙，認為最后一道填空題肯定比較難，因此心存畏懼感，有部分學生甚至沒去思考就放棄了；二是運算能力，運算能力差在學生中比較普遍.為了真實地了解學生解題時的思維軌跡，為了讓習題教學更有效，讓更多的學生做到思維上的參與，教師要求學生在試題講評之前還原自己的想法，并嘗試做出正確答案或者做出更好的解法，并在課堂上交流.

3 試題講評

試題講評時教師要引導學生對求解目標進行多視角分析，不斷為學生搭建思維的平臺，讓更多的學生參與到課堂中.借助師生對話，激活學生思維，引發認知沖突，讓學生的認識由感性上升到理性，以此溝通知識間的聯系.同時在互動交流中發現問題和提出問題，用數學的方式思考問題和解決問題，提煉數學思想方法，在學生的“最近發展區”內引導探究，達到“解一題，通一類”的效果[1]，使數學學習成為再發現和再創造的過程.

3.1 創造探究機會，以退求進

數學課堂設計借試題“發揮”，采取以退求進的策略，將題目化難為易，消除學生對難題的畏懼感，其目的是擴大其“最近發展區”，為順利解題做好鋪墊，為學生思維搭建腳手架，讓學生嘗試成功的喜悅，同時調動學生探究的積極性，拓展學生的思維，提高習題講評效率.

3.1.1 化動態為靜態，促進理解

探究1已知函數

則函數g(x)=f(x)-1的零點個數為______.

師：大家對分段函數還是比較熟悉的，應該能畫出它的函數圖像，請大家思考什么是函數的零點？

(教師給學生充分的時間進行思考，讓他們回歸基本概念，然后讓學生回答.)

生1：一般地，我們把使函數y=f(x)的值為0的實數x稱為函數y=f(x)的零點.

師：還有其他的表述方式嗎？

生2：函數y=f(x)的零點也是方程f(x)=0的實根，從圖像上看，它也是圖像與x軸交點的橫坐標.

師：如何求解呢?

生2：顯然要畫出函數y=f(x)的草圖，令g(x)=f(x)-1=0，即f(x)=1，然后求直線f(x)=1與函數圖像交點的橫坐標即可.

評注在講評難題時，首先要弄清題目所涉及的基本概念和思想方法，然后降低問題的重心，為學生搭建思維的臺階，讓所有的學生都參與進來，體會成功的快樂，增強他們破解難題的信心和勇氣.有了一個突破，再實現更大的突破，以便取得實質性的進展.通過編制相似題組的形式組織教學，在思維對話中加深學生對問題本質的理解，真正讓學生的思維“活”起來.

3.1.2 編制相似題組，深化理解

探究2已知t>0，函數

若函數g(x)=f(x)-t恰有兩個不同的零點，則實數t的取值范圍是______.

生3：借助剛才的函數圖像，觀察發現只要令t=0或t=4即可.

師：很好，還可以怎樣改編這道題？請大家說說.

生4：已知t>0，函數

若函數g(x)=f(x)-t恰有一個零點，則實數t的取值范圍是________.

師：很好.只要肯動腦一定會找到解題的突破口，還有其他的改編途徑嗎？

生5：目標也可以設置為：若函數g(x)=f(x)-t恰有3個不同的零點，則實數t的取值是______.

師：函數g(x)=f(x)-t零點的個數會超過3個嗎？

生6：令g(x)=f(x)-t=0，則函數y=f(x)與y=t的圖像至多只有3個不同的交點.

師：怎樣改編才能使得函數g(x)=f(x)-t的零點個數超過3個？

此時，學生們興奮不已，他們對這個問題還是比較感興趣的，教室里的氣氛相當活躍，于是筆者干脆放手讓學生們去討論，解決的關鍵是如何將靜態問題變為動態分析.教師巡視觀察，了解學生的思維動向，有的學生從函數圖像的角度分析，有的學生從參數的角度分析等.另外,教師在一定程度上給予思維存在困難的學生以引導和幫助，讓學生有充裕的時間思考，然后展示他們的成果.

生7：若將函數改為

則可以做到.

師：很好，從改變函數圖像的角度分析，還有其他想法嗎？

生8(興奮地站起來)：老師，也可調整目標函數的類型，將g(x)=f(x)-t改為二次形式g(x)=f2(x)+tf(x)+t，即若函數g(x)=f2(x)+tf(x)+t恰有6個不同的零點，求實數t的取值范圍.

師：很好，請你說說是怎么想到該改編.

生7：由零點的定義想到的，函數y=f(x)的零點也是方程f(x)=0的實根，從方程的角度考慮，只要目標對應的方程為高次方程，才可能產生多個不同的根，即存在兩條平行于x軸的直線與函數圖像相交，因此想到構造二次形式.

師：非常棒，大家明白了吧，我們又取得了新的突破，那么應該如何求解呢？

評注只有深刻理解題意，才能做到多角度、多方位的思考，才能突破思維定式的束縛，才能實現創新思維和求異思維.教師要為學生創造探究的機會，調動學生的積極性，以學生的認知水平設計一些螺旋上升的問題引領學生思考，在教師的指導下用數學的方式分析和解決問題，以此提升學生的數學核心素養.

生8：先令m=f(x)進行換元，轉化為一元二次函數問題，結合函數y=f(x)的圖像，再利用一元二次方程根的分布求解t的范圍.

教師投影生8的解題過程：

師：生8的解答告訴我們如何處理復合函數零點的個數問題，以及二次函數所對應的根的分布問題.請同學們思考求解該類型題的關鍵是什么？

生9：換元是求解本題的關鍵.

評注教師讓學生們分組討論求解該問題的方法和技巧，從認知策略的角度引導學生進行反思，從而讓學生經歷自主探究的過程.在分析問題和解決問題的過程中，充分發揮教師的主導作用，激發學生的主觀能動性，讓學生的思維躍上更高的層次.

3.2 探究求解途徑，水到渠成

生9：受生8的啟發，也可以改成另外一種復合函數的形式“若函數g(x)=f[f(x)-t]恰有6個不同零點，求實數t的取值范圍”，也就是用換元法求解.

師：這樣的改編與原題很相近了，該改編與原題的差異在何處？

生10：老師，只要將引進的參數的位置改變一下就可以了，讓分段函數自變量的分界點變成參數就達到目的了.

師：那么如何求解呢？

生10：利用導數畫出函數y=f(x)的圖像，借助于換元法將原問題轉化為研究目標函數所對應的方程根的問題.令m=f(x)，即f(m-1)=0，由函數圖像易得m-1=0或m-1=t，即f(x)=1或f(x)=t+1，然后用直線y=1和y=t+1去截函數的圖像即可.

師：有了前面的鋪墊，解這道題便水到渠成了.

教師投影學生10的解題過程：

解之得3

學生們的疑惑終于解決了，教室里響起一片掌聲……

3.3 反思解題路徑，舉一反三

師：下面通過一道練習題，來鞏固剛才大家的學習成果.

練習1已知函數f(x)=x3-3x，設h(x)=f(f(x))-c，其中c∈[-2,2]，求函數y=h(x)的零點個數．

4 教學啟示

4.1 通過為學生創造“微探究”的機會教會學生學會選擇

有研究表明，中學生的數學學習選擇能力是影響學習成績的重要因素，二者有著比較高的正相關，并且相關性顯著[2]．通過對試題的分析，找到學生的薄弱點和知識缺陷，選擇恰當的學習材料進行彌補，采取弱化題設條件來分解目標；通過改編相似題組，層層遞進設問，以致各個擊破.在解題中教會學生選擇思考問題的視角、選擇恰當的解題策略、選擇簡潔的運算路徑等，使學生對自己的薄弱環節進一步強化.在教師的引導、指導和幫助下，讓學生學會選擇，通過相似題組的設計和講評，讓學生掌握的不是一道題而是一類題，以此達到在以后的解題中對知識和方法的提取、整合和選擇.通過教師的精心備課和巧妙設計，最大限度地激發了學生的學習熱情，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.

著名教育家葉圣陶先生曾說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學.”如何教會學生選擇是我們要思考的問題，教師的精心備課是前提，找到合適的抓手是手段.教師要教會學生學會選擇，讓學生逐漸成長為一個獨立的學習者，讓微探究教學更具有價值和意義.

4.2 通過為學生創造“微探究”的機會提升核心素養

如何設計試題講評課才能更好地提升學生的數學核心素養？首先，要降低教學的重心，把知識問題化；其次，要充分了解學生的知識結構和認知水平；最后，要立足維度(即要考查哪些主干知識和技能)，立足梯度(即考查要有遞進性，具有提升學生思維的功能)，立足相關度(即相似題組的設計要具有知識上的交匯性，解題方法上的選擇性等).

課堂上教師應盡量尊重學生的想法，充分暴露他們的思維，通過為學生創造“微探究”的機會，激活其原有認知結構中適當的觀念和感性經驗，調動學生有意義的學習傾向[3].這樣做不僅讓學生獲得了具體問題的解法，而且讓他們體驗了數學思想方法，加強了學生對知識和解題方法的掌握.習題講評課的設計要為學生服務，更重要的是應站在學生的角度設計問題，調動學生學習的主動性和積極性，在以相似題組為載體的習題講評課中提升數學核心素養.

[1] 郭建華.對一道江蘇高考試題的解法賞析和變式探究[J]．中學教研(數學)，2017(1):38-41.

[2] 徐利治.徐利治談數學哲學[M]．大連：大連理工大學出版社，2008.

[3] 郭建華.習題變式教學在思維對話中進行[J]．中學教研(數學)，2016(10):6-9.

筆者從一道常見的選擇題出發，對它進行多角度的思考與挖掘，以提升學生思維的廣度和深度，從而達到培養數學核心素養的目的.

( )

A．(0,1) B．(1,2]

C．(-1,0) D．[-2,-1)

思路1(坐標法)本題的條件是平面向量形式，借助于平面直角坐標系，可以將平面向量“坐標化”，將平面向量的運算轉化為代數運算，從而將抽象問題具體化，陌生問題熟悉化.

圖1

得

從而

進而

故

-2≤x+y<-1.

評注在充分理解運算對象的基礎上，選擇了用坐標表示向量的合理方法，將雙變量的范圍問題轉化為單變量的三角函數的范圍問題，從而利用三角這一強大的工具來解決問題，有利于培養數學運算核心素養.

思路2(數量積法)同上所述，解決本題的關鍵是如何將雙變量問題轉化為單變量問題，那么，除了上述方法，還有別的途徑嗎？學生們注意到題目的條件是向量，那么能否通過向量運算來消元呢？

式(1)+式(2)，得

以下同思路1.

評注利用條件本身的結構形式，構造出新的相關條件，從而找到了較為簡便的方法.學生們從事實出發，依據邏輯規則，找到一些重要信息，如式(1)和式(2).這是得到數學結論、構建數學體系的重要方法，是數學嚴謹的基本保證.

圖2

思路3(共線法)題設條件與平面向量中三點共線的向量形式相似，因此有學生運用三點共線的關系來求解.

1<|x+y|≤2，

又△ABC是為銳角三角形，故

-2≤x+y<-1.

評注平面向量本身具有幾何的特性，它的加、減、數乘及數量積的運算均具有幾何意義.而學生面對復雜的問題，若能透過現象看本質，從知識之間的聯系，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，則有利于培養邏輯推理核心素養.

即 1=x2+y2-xy.

(3)

根據式(3)的結構特征，又有以下3種思路:

思路4(基本不等式法)因為式(3)中同時含有x2+y2和xy，所以可以考慮用基本不等式來求解.

將式(3)配方，得

1=(x+y)2-3xy，

從而

因為x<0，y<0，所以

1<(x+y)2≤4,

即

-2≤x+y<-1.

思路5(三角換元法)因為式(3)可以配成平方和等于1的形式，所以可以考慮三角換元.

將式(3)配方，得

故

-2≤x+y<-1.

評注思路4和思路5通過對新命題“x2+y2-xy=1”的研究，設計出了合理的運算程序，探究出了合理的運算方向(配方、三角換元)，從而得到了合理的運算方法.養成程序化思考問題的習慣，這就是數學運算核心素養.

思路6(曲線與方程的思想)方程x2+y2-xy=1表示一條曲線，而x+y=t表示一條直線，因而可利用直線與曲線有交點來思考本題.

令x+y=t，消去y得

3x2-3tx+t2-1=0.

因為x<0,y<0，所以方程在(t,0)上有解，從而

于是

-2≤t<-1，

即

-2≤x+y<-1.

評注由于平面向量的幾何屬性，使得其與解析幾何有著不可分割的聯系.學生能在實際情景中提出問題，運用已有知識解決問題，有利于提升應用能力，增強創新意識.

思路7(特例法)俗話說：“八仙過海，各顯神通.”如果對以上6種方法都不太在行，那么就大膽地用特例來甄別答案吧.

評注本著小題不大做的原則，確實可采用特例來排除，從而得到正確答案.雖然思路不嚴謹，但對四選一的數學選擇題來說還是管用的，而且作為核心素養的邏輯推理，確實也需要提升從特殊到一般的推理能力.

圖3

評注本思路涉及斜坐標系的規劃問題，可能學生是湊巧用截距的方法做對了(因為斜坐標系下的截距與直角坐標系下是一致的，而斜率就不一樣)，這里學生能發現問題，并建立數學模型解決，這對提升數學建模能力是大有裨益的.

由此，可以這樣認為：一方面,數學核心素養具有數學的基本特征；另一方面,它是后天形成的，而且可以通過數學學習過程培養的能力與思維品質.數學核心素養主要體現在情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思中，它是在過去“三大能力”的基礎上逐步發展形成的.

參考文獻

[1] 林崇德．面向21世紀的學生核心素養[M].北京：北京師范大學出版社,2016.

江蘇省南京市教育科學“十三五”規劃2016年度課題(L/2016/076)；江蘇省教育科學“十三五”規劃2016年度“教師發展研究專項”課題(J-c/2016/12)

郭建華(1982-)，男，安徽宿州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-07-04