千年古圖蘊藏題庫
——阿基米德三角形演繹高考題

2017-07-01 22:12:15

中學教研(數學) 2017年7期

關鍵詞：拋物線數學

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(南頭中學廣東深圳 518052)

千年古圖蘊藏題庫
——阿基米德三角形演繹高考題

●方亞斌

(南頭中學廣東深圳 518052)

作者介紹：湖北省特級教師，湖北省教育科研百佳個人之一，廣東省南粵優秀教師，深圳市首批名師工作室主持人，深圳市政府特殊津貼專家,深圳市地方級領軍人才, 深圳市首批中小學教師繼續教育課程建設專家庫入庫專家，深圳市南山區高三數學名師工作室主持人.主持廣東省、深圳市教科研課題3個，出版個人論著10余本，在30余家中學數學學科專業雜志上發表教育教學論文200余篇，其中10余篇被中國人民大學書報資料中心全文轉載.多次獲湖北省、廣東省數學競賽優秀教練員、深圳市高考先進個人稱號.曾被聘為《中學數學》、《學科教育》等多家雜志社特約編輯、第2～4屆“希望杯”全國數學邀請賽命題委員會委員.

文章以兩個定理及推論的形式歸納出有關阿基米德三角形中點、線、面積的8條常用性質，從17個角度歸納出由阿基米德三角形衍生的5種類型的高考試題，探究同宗同源問題的命題規律和解題規律.

阿基米德三角形;高考題；性質；應用

1 阿基米德三角形的性質

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，稱為阿基米德三角形.

阿基米德三角形的得名，是因為阿基米德本人最早利用逼近的思想證明了如下結論：

圖1

為了后文的應用方便，我們先對阿基米德三角形相關性質做些歸納.下面的討論，我們僅以拋物線x2=2py(其中p>0)為例，拋物線上兩個不同的點A，B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，以A，B為切點的切線PA，PB相交于點P，我們稱弦AB為阿基米德三角形△PAB的底邊(如圖1所示).

2)底邊AB所在的直線方程為

(x1+x2)x-2py-x1x2=0；

證明1)過點A,B的切線方程分別為

2)直線AB的斜率為

故直線AB的方程為

化簡得

(x1+x2)x-2py-x1x2=0.

3)由定理1的1)，2)可得點P到直線AB的距離為

可得△PAB的面積

圖2 圖3

推論11)阿基米德三角形底邊上的中線平行(重合)于拋物線的對稱軸.

2)若點P的坐標為(x0,y0)，則底邊AB的直線方程為x0x-p(y+y0)=0.

證明1)如圖2，設點Q為底邊AB的中點，由定理1可知，點P與點Q的橫坐標相同，故PQ與y軸平行或重合．

2)將定理1結論2)中直線AB方程(x1+x2)x-2py-x1x2=0化為

可得

代入即得直線AB的方程為x0x-p(y+y0)=0.

從而

同理可得

于是

即

S△CAE=λS，

同理可得

所以S△EAB=S△PAB-S△PCD-S△CAE-△DBE=

從而

圖4

2)設C是阿基米德三角形△PAB的邊PA的中點，過點C作拋物線的切線，切點為E，CE交PB于點D.由定理2，可得|CE|=|ED|，|PD|=|DB|.設Q為AB的中點,則點P,E,Q共線,且|PE|=|QE|.這表明在阿基米德三角形中，與底邊平行的中位線是拋物線的一條切線，且切點就是這條切線與底邊上中線的交點(如圖4).根據此結論，可知

同理可得

對阿基米德三角形△AEC和△BED，分別作與底邊平行的中位線，有與上面相同的結果，……類似這樣無限操作下去，拋物線和弦AB圍成的面積就等于無限多條邊的凸多邊形的面積，且可無限分割求和[1]，即

2 阿基米德三角形的應用

自公元前3世紀至今，歷經了兩千多年的風霜雨雪，阿基米德三角形尤如一顆閃爍的明珠，以其深刻的背景、豐富的內涵產生出了無窮魅力，在數學發展的歷史長河中不斷閃爍出真理的光輝.這個兩千多年的古老圖形，如同一個題庫，里面蘊藏著各級各類考試命題和高考命題的素材.由阿基米德三角形衍生出的高考題，主要有以下5種類型：

2.1 線段長度問題

因此

視角2現考慮n個過拋物線x2=4y焦點F的阿基米德三角形△PiAiBi(其中i=1,2,…,n)，計算這n個三角形的頂點Pi到焦點F的距離之和，根據上面的結論，得

為了方便求和，不妨給定Ai的橫坐標為xi=2i(其中i=1,2,…,n)，由等比數列求和公式得

|FP1|+|FP2|+…+|FPn|=

(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1.

從視角1和視角2切入,可編擬：

圖5

題1如圖5，對每個正整數n，An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交一點Bn(sn,tn).

1)試證：xnsn=-4(其中n≥1)；

2)取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點，試證：

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

(2006年重慶市數學高考文科試題第22題)

視角4若再考慮阿基米德三角形△PAB的底邊AB的長，則由定理1的證明過程可知

從視角3和視角4切入,可編擬:

圖6

題2如圖6，設拋物線方程為x2=2py(其中p>0)，M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A,B．

1)求證：點A,M,B的橫坐標成等差數列；

(2008年山東省數學高考理科試題第22題)

2.2 軌跡問題

視角5設阿基米德三角形△PAB底邊AB的中點為Q，考查AB的中點Q的坐標與頂點P的坐標之間的關系.

2x2-2py,

從視角4和視角5切入,可編擬:

圖7

1)求p的值；

2)當P在C2上運動時，求線段AB的中點Q的軌跡方程(當A,B重合于O時，中點為O).

(2013年遼寧省數學高考理科試題第20題)

視角7設阿基米德三角形△PAB的重心為G，考查重心G的坐標(x,y)與點P的坐標之間的關系，易知

于是

x-(4x2-3y)-2=0，

即

圖8

顯然kFA′·kPA=-1，從而FA⊥PA，由拋物線定義，得|AA′|=|AF|，故AP是線段A′F的中垂線，得

|PA′|=|PF|, ∠PA′A=∠PFA,

同理可證 |PB′|=|PF|, ∠PB′B=∠PFB,

從而

|PA′|=|PB′|=|PF|,

即

∠PA′B′=∠PB′A′，

于是 ∠PA′A= ∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=

∠PB′B,

即

∠PFA=∠PFB.

從視角7～9切入,可編擬：

題4如圖8，設拋物線C:y=x2的焦點為F，動點P在直線l:x-y-2=0上運動，過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB，且與拋物線C分別相切于點A,B.

1)求△APB的重心G的軌跡方程；

2)證明：∠PFA=∠PFB.

(2005年江西省數學高考理科試題第22題)

2.3 切線問題

視角10[3]考查阿基米德三角形△PAB在底邊AB過y軸上定點C(0,y0)的條件下頂點P的軌跡.

設P(x,y)，則由定理1知

x1+x2=2x,x1x2=2py，

將C(0,y0)的坐標代入定理1中直線AB的方程可得

(x1+x2)·0-2py0-x1x2=0，

從而

x1x2=-2py0，

即

2py=-2py0，

根據推論1,阿基米德三角形底邊上的中線平行(重合)于拋物線的對稱軸，設Q為阿基米德三角形△PAB底邊AB的中點，則過點Q且垂直于x軸的直線與直線l:y=-y0的交點就是阿基米德三角形△PAB的頂點P.

視角11[3]反之，若垂直于x軸的直線與AB和直線l:y=-y0分別交于點Q,M，可證明當MA是拋物線的切線時，點M就是阿基米德三角形△PAB的頂點，點Q也是△PAB底邊AB的中點.

再代入切線MA的方程，可得

題5如圖9，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于點A，B，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于點Q,P.

1)若Q為線段AB的中點，求證：PA為此拋物線的切線.

2)試問第1)小題的逆命題是否成立？說明理由.

(2007年江蘇省數學高考試題第19題)

圖9 圖10

視角12[3]如圖10，考查兩條共頂點的拋物線y2=2px與x2=2py，假定拋物線y2=2px的內接△A1A2A3的邊A1A2，A2A3所在的直線分別與拋物線x2=2py相切于點A，B，根據射影幾何極點極線相關知識(共線點的極線必共點，共點線的極點必共線)，可知A1，A3相應于拋物線x2=2py的兩極線(即過點A，B的切點弦)必共點，即△A1A2A3的邊A1A3所在的直線與拋物線y2=2px相切于點C.

從視角12切入，可編擬：

題6拋物線y2=2px的內接三角形有兩邊所在的直線與拋物線x2=2py相切，證明這個三角形的第三邊所在的直線也與x2=2py相切.

(1982年全國數學高考理科試題第8題)

2.4 最值問題

即

x1x2=-p2,

故PF⊥AB.

視角14設Q為AB的中點，根據推論1知PQ⊥x軸，于是

從視角13和視角14切入，可編擬：

2)設△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值.

(2006年全國數學高考卷Ⅱ理科試題第21題)

2.5 面積問題

視角15給定拋物線x2=2py上關于y軸對稱的點A(-2,1)，B(2,1)，可求得其方程為x2=4y,且拋物線x2=4y在點A,B處的切線方程分別為y=-x-1，y=x-1，兩切線的交點坐標為P(0,-1)，由推論2可知：若拋物線弧AB上任一點Q處的切線與PA,PB都相交，交點分別為D，E,則△QAB與△PDE的面積之比是常數2.

從視角15切入，可編擬: