一道數(shù)學(xué)題兩種不同解法合理性的思考

陳冠基

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)在“數(shù)學(xué)直覺”這一方面教育學(xué)生，為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展做好鋪墊，本文就筆者與小學(xué)數(shù)學(xué)科組長(zhǎng)們?cè)赒群關(guān)于一道數(shù)學(xué)題兩種不同解法討論中出現(xiàn)的兩個(gè)不同答案究竟哪個(gè)答案合理進(jìn)行的思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)題；不同解法；合理性；思考

最近，在我們區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教師群，一位老師的問題引來老師們的熱議，以下是這位老師的問題和老師們的相關(guān)討論：師1、師2……代表不同教師）

師1：請(qǐng)問各位老師：

鋪一個(gè)長(zhǎng)6米，寬5米的長(zhǎng)方形客廳，用邊長(zhǎng)為0.3米的方磚來鋪，至少需要多少塊這樣的方磚？

方法一： 方法二：

（6×5）÷（0.3×0.3） （6÷0.3）×（5÷0.3）

=30÷0.09 ≈20×17

≈ 334（塊） =340（塊）——實(shí)際上就需要這么多。

請(qǐng)問哪種方法更合理？

師2：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我覺得是方法一比較合理。

師3：題中的關(guān)鍵字“至少”，選擇方法一，在實(shí)際鋪的話也是可以實(shí)現(xiàn)的。

師4：

師5： 如果采用方法一的話：長(zhǎng)邊可以放20塊方磚，短邊由于不是方磚邊長(zhǎng)的整倍數(shù)，放16排后還留有0.2米的空隙。這時(shí)還剩334-320=14塊。把這14塊都鋸掉0.1米，鋪上。還有6個(gè)空位，每個(gè)空位鋪上鋸下來的0.3*0.1兩個(gè)，最后還剩兩個(gè)0.3*0.1細(xì)條。

方法一的確夠鋪，可是難看，我想誰(shuí)家都不會(huì)這樣鋪吧。所以現(xiàn)實(shí)生活中往往會(huì)選擇方法二。

師6：學(xué)生兩種方法都正確，但是方法二更合理。附效果圖

師7：建議把客廳改為長(zhǎng)6米，寬5.1米。

師8：需要多少塊是可以切割瓷磚的，所以用方法一就好。

……

一番熱議，這個(gè)題目究竟哪個(gè)答案正確，或者兩個(gè)答案都可以？在部分老師的心目中還是不明確的，數(shù)學(xué)答案大多客觀性強(qiáng)，在實(shí)際教學(xué)中如果這個(gè)答案可，那個(gè)答案也可，實(shí)際上是模棱兩可，留在學(xué)生的腦中的，將會(huì)是什么？亞里士多德認(rèn)為：“真理不掌握在老師手里，掌握在討論中。”對(duì)這兩種解題方法究竟哪一種合理且正確進(jìn)行探究顯得十分必要。

一、從小學(xué)數(shù)學(xué)思維的角度思考

鄭毓信教授指出：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)在“數(shù)學(xué)直覺”這一方面教育學(xué)生，為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展做好鋪墊。師一所問這道題的內(nèi)容屬于北師大版小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)長(zhǎng)方形、正方形的面積《鋪地面》的知識(shí)的應(yīng)用，要求鋪地用方磚的塊數(shù)，將總面積除以單位面積即可求得，學(xué)生在遇到此類問題采用這種方法解決，我想這就是此類問題解題的數(shù)學(xué)直覺。

例如以上老師討論的這道數(shù)學(xué)題，我認(rèn)為從這樣的角度去理解，因?yàn)榉酱u是可以切割的，只要小方磚的總面積等于或稍大于長(zhǎng)方形客廳的面積即可實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)客廳的鋪設(shè)。方法一將客廳的總面積除以一塊方磚的面積利用進(jìn)一法得到至少334塊的答案，我想就是學(xué)生解題的“數(shù)學(xué)直覺”其正確性不用懷疑。

二、從小學(xué)生認(rèn)知角度思考

小學(xué)數(shù)學(xué)思想應(yīng)該是“就簡(jiǎn)不容繁、好教不難學(xué)、直來直去不繞彎、好聽易懂不求全，由已知開頭，常識(shí)鋪路、順理成章”。從小學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知角度分析，方法二相信絕大部分學(xué)生的理解應(yīng)該是：“6除以0.3表示客廳長(zhǎng)是方磚邊長(zhǎng)的20倍，5除以0.3表示客廳的寬約是方磚邊長(zhǎng)的17倍”，兩個(gè)倍數(shù)相乘得出塊數(shù)會(huì)讓他們迷惑，而小學(xué)數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)要求我們應(yīng)當(dāng)充分重視小學(xué)數(shù)學(xué)的特殊性，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，特別是所有的教學(xué)活動(dòng)都不應(yīng)脫離小學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平。

根據(jù)數(shù)學(xué)的理性精神，什么是數(shù)學(xué)的理性精神？借用一個(gè)事實(shí)來說明：“從中小學(xué)課程中，兒童們認(rèn)識(shí)到他們所做的大多數(shù)事情是憑個(gè)人見解來判斷的，文章的質(zhì)量、繪畫的質(zhì)量或外語(yǔ)發(fā)音的好壞都是如此。甚至是明顯是以事實(shí)為基礎(chǔ)的學(xué)科，如歷史，也只得不予深究地加以接受。只有在數(shù)學(xué)中可驗(yàn)證其確定性。告訴一個(gè)學(xué)生 第二次世界大戰(zhàn)持續(xù)十年，他會(huì)相信；告訴他兩個(gè)4的和為10，就會(huì)引起爭(zhēng)論了，借助已有的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生們知道什么是對(duì)的，什么是錯(cuò)的，同時(shí)還能自己驗(yàn)證”。“至少需要要多少塊這樣的方磚？”拋開“美觀”這個(gè)角度（本道題其實(shí)也沒有從美觀這個(gè)角度作出要求）師6所述答案可以是334，也可以是340，是矛盾的，既然334塊夠鋪，顯然335塊、336塊……340塊（或者更多的塊數(shù)都?jí)蜾仯?34塊至340塊這7個(gè)數(shù)量中選一個(gè)最少的數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)的理性精神我想學(xué)生會(huì)正確選出，因有“至少”這個(gè)要求，所以這道題答案應(yīng)該是多少塊就顯而易見了。

三、從美觀的角度思考

數(shù)學(xué)來自于生活服務(wù)于生活，新課標(biāo)要求課堂教學(xué)內(nèi)容注重緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，切實(shí)反映學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，改變學(xué)生生活和現(xiàn)實(shí)世界相脫節(jié)的狀況，師4從美觀的角度來考慮這道題兩個(gè)不同答案的合理性是有一定道理的。但令人反思的問題是我們聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)真的還不夠深入，還停留在習(xí)慣性思維，不假思索，想當(dāng)然地認(rèn)為鋪設(shè)完整塊方磚后將切割出來的方磚碎塊鋪設(shè)在客廳的一角，（見圖一）這樣鋪出來的效果當(dāng)然不美觀，現(xiàn)實(shí)生活中，如果就給334塊這樣的方磚讓裝修師傅鋪設(shè)這個(gè)客廳，我想有經(jīng)驗(yàn)的裝修師傅也不會(huì)就這么簡(jiǎn)單的將完整的方磚鋪完后，將切割出來的方磚碎塊鋪設(shè)在客廳的一個(gè)角落完事，他總會(huì)找設(shè)計(jì)人員“因材制宜”先設(shè)計(jì)一番再動(dòng)工，以求裝修效果的美觀。

因?yàn)榭梢郧懈罘酱u，要實(shí)現(xiàn)一定的審美效果，根據(jù)數(shù)學(xué)與無(wú)限的關(guān)系，點(diǎn)組成線、線組成面，用無(wú)限的思想去考慮，只需將方磚無(wú)限切割成線、切割成點(diǎn)，就一定能實(shí)現(xiàn)客廳鋪設(shè)效果的整齊劃一。用這樣特殊化的方法，這道題只要將所有整塊方磚切割成0.1乘以0.3的小方條即可實(shí)現(xiàn)用最少的334方磚鋪設(shè)出整齊或一的效果。當(dāng)然現(xiàn)實(shí)生活中沒有誰(shuí)會(huì)這樣做，但受此特殊化方法的啟發(fā)，我們只需將鋪設(shè)長(zhǎng)6乘以0.2米的空隙的磚塊全部切割成的0.3*0.1細(xì)條，均勻而藝術(shù)地用來作為間隔線即可實(shí)現(xiàn)鋪設(shè)效果的美觀。

綜上所述，方法一既符合題目用最少的方磚塊數(shù)，經(jīng)過設(shè)計(jì)又能實(shí)現(xiàn)鋪設(shè)效果的美觀，師1所提的問題用方法一解答我認(rèn)為是正確且合理的。

參考文獻(xiàn)：

鄭毓信.《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》[M].南京：江蘇教育出版社，2008.8

（作者單位：廣東省深圳市龍崗區(qū)教育局平湖教研中心 518111）endprint