“折紙做60°，30°，15°的角”教學設計

王鑫

[摘 要] 數學活動課在實際教學課堂中能培養學生的動手操作能力，發展學生的幾何直觀，加深學生對數形結合的理解. 運用“活力課堂”教學模式，能培養學生的學習習慣和思維品質，通過教學反思與評價，能達到教學相長.

[關鍵詞] 數學活動課；幾何直觀；教學模式

教材分析

本節課位于人教版義務教育教科書《數學》八年級下冊第十八章平行四邊形數學活動1“折紙做60°，30°，15°的角”. 在此之前，教材已呈現折角平分線，折紙研究軸對稱、全等等活動. 通過折紙，發展學生的幾何直觀，既是對學生之前所積累的數學活動經驗和數學活動能力的鞏固和提升，也是為學生進一步學習幾何變換和幾何論證、進一步強化動手操作能力奠定基礎. 在傳統教學中，本節數學活動課往往被教師們所忽視甚至省略，難以呈現在課堂教學中，然而在課程標準中，“綜合與實踐”部分具有加深了解所學知識之間的聯系，進一步理解相關知識，發展應用意識和能力的作用.

教學目標

知識技能 （1）能折出60°，30°，15°等特殊度數的角；（2）加深對前面所學的軸對稱變換、全等的性質、垂直平分線、三角形、矩形等知識的綜合應用.

數學思考 通過折紙觀察，加深“數與形”的緊密結合，讓學生經歷“觀察、實驗、猜想、證明、綜合應用”的過程，發展學生的幾何直觀與推理能力.

問題解決 （1）學生從不同的角度分析問題和解決問題，發展創新意識；（2）提高學生的實踐能力，初步形成評價與反思的意識.

情感態度 （1）積極參與數學活動，激發學生的好奇心與求知欲；（2）感受數學活動與實際生活的聯系，在活動中獲取成功的體驗.

學情分析

有利因素 筆者所教班級的學生基礎好，思維活，學生已經基本具備運用所學知識解決問題的能力.

不利因素 （1）操作和探究的經驗欠缺，歸納能力尚需提升；（2）從數學的幾何直觀到抽象的數學語言描述轉化能力不夠強，嚴密的推理能力還有待進一步提高.

重難點

重點 讓學生通過讀書學會折紙做特殊角.

難點 從幾何直觀折圖到抽象的數學語言描述，用多種方法推理證明所折的角為30°角.

教法學法

本堂課通過筆者所在學校“活力課堂”的教學模式，采用學生“動手三讀”來獲取簡單的知識結構，再運用“兩說合作”來實現對所學知識的完整理解，最后通過“三個追問”來打開學生思維的廣度和深度.

教學過程

（一）情境導入——感受數學與生活

教師活動 折紙是一門藝術，動物、花、船和人等都是折紙的創作題材，折的過程中會用到很多數學知識，比如如何折出特殊的角度，這就需要我們通過數學知識來解決這個問題，下面我們就來具體學習一下如何通過折紙折出特殊的角度.

教師提出問題，并引發學生思考.

問題1：在一張矩形紙片上，你怎么折出一個45°的角？

問題2：用一張矩形紙片你還能折出哪些度數的角？

問題3：具有倍數關系的60°，30°，15°的角，你能否用折紙的方法折出呢？怎樣折？

學生活動 用矩形紙片動手折紙，并回答問題.

預設 把矩形紙片的90°角折疊成三等份，那么每一等份就是30°，由此，60°，15°也容易得到.

設計意圖 讓學生感受數學與生活的聯系，激發學習興趣，感受折紙可以得到具有倍數關系的角. 問題由淺入深，增強學生對新舊知識的聯系，突出所學知識的整體性、系統性.

（二） 動手三讀 ——自主學習新知識

教師活動 設置教材中有關的基礎知識、基本思想和方法等問題，引導學生動手三讀.

學生活動 閱讀教材，動手折紙，完成導學案上的問題.

1. 對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：如圖1，第一步，______矩形紙片ABCD，使AD與______重合，得到折痕______，再把紙片展平；第二步，再一次折疊紙片，使點A落在______上，并使折痕經過點______，得到折痕______，同時得到線段______.

2. 演示折疊過程，你能試試嗎？

3. 觀察并猜想∠ABM，∠MBN和∠NBC的大小關系：______________.

預設 準確回答上述3道題.

設計意圖 問題引領，以具體問題引導學生帶著目的和興趣來閱讀，增強學生的積極性和主動性，培養學生的自主學習能力.

（三）兩說合作 ——自己解決新問題

教師活動1 提出問題，引發思考：猜想出來的結論需要理論證明其正確性.

為什么∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°？教師參與學生活動，傾聽并指導學生交流.

學生活動1 學生先獨立思考，再進行小組合作學習，最后用數學語言寫出證明過程.

對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作過程如下：

第一步，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，再把紙片展平.

第二步，再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到了線段BN.

求證：∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

設計意圖 合作學習應該為每個學生提供“學了以后馬上應用、講給別人聽”的機會（一說），還應該為更多學生提供對別人所說的內容進行評價的機會（二說），通過評價使合作學習成為一種比較學習. 合作學習能培養學生動腦動手動口的能力，提高學習效率，能培養學生良好的合作品質和學習習慣. 學生寫出嚴密的推理過程，還能培養其推理證明的邏輯思維能力.

教師活動2 對學生代表的表現進行總評，總結解題要點，對本課的知識要點進行總結.

學生活動2 各組選派代表進行全班交流，其他組的同學也可以發表見解.

預設 （方法1）如圖2，連接AN，由折疊可知EF垂直平分線段AB，所以AN=BN. 由折疊知AB=BN，所以AN=BN=AB. 所以△ABN是等邊三角形. 所以∠ABN=60°. 由折疊知△ABM≌△NBM，所以∠ABM=∠NBM=30°. 所以∠NBC=90°-∠ABN=90°-60°=30°. 所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°.

設計意圖 把課堂真正還給學生. 在同學講解的過程中，發表自己的意見，虛心向他人請教，使合作學習成為一種比較學習，讓學生學會正確地評價自己和他人，讓班級形成民主和諧的合作氛圍，有利于學習的順利發展. 教師要總結解題要點，發展學生的歸納總結能力.

（四）三個追問——進行深層探索

教師活動 提出問題，引發思考.

追問1 用矩形紙片ABCD折出30°的角，還有其他方法嗎？

學生活動 動手折紙，學生代表上臺展示新的折疊方法.

設計意圖 讓學生對所學知識認識更為清晰，能對知識間的聯系融會貫通，體現數學學習的靈活性. 問題引導，不斷追問當前認識的問題還能不能從別的角度去認識，還有沒有別的方法可以解決，追問更多新角度，打開學生思維的深度、廣度和創新度，形成良好的思維品質，讓學生逐步形成一種新的思維方式和習慣.

追問2 用矩形紙片ABCD怎么折出60°的角？

追問3 用矩形紙片ABCD怎么折出15°的角？

設計意圖 呼應課題，從而完成教學目標.

（五）總結測評——共享學習快樂

（1）用矩形紙片折疊能折出哪些度數的角？__________________

（2）用矩形紙片折30°角的方法的共同之處是__________________.

（3）數學活動是經歷設計并解決具體問題的方案，同時加以實施，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中嘗試發現和提出問題，會參與活動的全過程，同時進行交流，進一步獲得數學活動經驗.

教師活動 引導學生從所學知識、方法、獲得的數學思想進行自我總結，并展示中考題供學生欣賞.

中考鏈接 1. 如圖7，將正方形對折后展開（圖④是連續兩次對折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半. 這樣的圖形有（ ）

A. 4個 B. 3個

C. 2個 D. 1個

2. 對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：

第一步，先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；

第二步，再一次折疊，使點A落在MN上的點A′處，并使折痕經過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA′，EA′，展開，如圖8；

第三步，再沿EA′所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，得到折痕EF，同時得到線段B′F，展開，如圖9.

（1）證明：∠ABE=30°；

（2）證明：四邊形BFB′E為菱形.

學生活動 完成導學案，自我總結當堂課的收獲.

設計意圖 知識、方法、數學思想的總結，能充分發揮學生的自我總結能力，并突出重點，抓住關鍵. 課程標準中對數學活動課的要求是，能擴大學生的視野，調動學生的積極性、主動性，能讓學生體驗到成功的喜悅. 中考鏈接能讓學生感受數學折紙活動在中考中的地位，并將其布置成課后作業，讓學生獨立思考，不斷追求新知，通過發現問題、提出問題、分析，創造性地解決問題.

（六）教學評價

筆者以“情境導入——動手三讀——兩說合作——三個追問”為主線，讓每位學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗. 回顧這節課，成功之處主要有如下幾點.

1. 情境引入巧妙. 一開始讓學生欣賞折紙花，繼而欣賞折紙藝術的圖片，從而把學生的思緒帶進特定的學習情境中，激發了學生濃厚的學習興趣和強烈的求知欲.

2. 扶放把握適度. 折紙做60°，30°，15°的角是本課重點，教師課前深鉆教材，課中引導得當、扶放適度，使每位學生都有最大的收獲.

3. 體現課改精神. 通過填空抓住關鍵詞，實現全體同學參與，再通過同學間的相互提問、答疑，人人掌握證明方法；通過全班交流，體會證明方法的多樣性，提升思維廣度. 教師適時點撥方法，提煉方法關鍵詞，為學生后續學習提供幫助，真正做到“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者”.

本節課設計的理念是：以面向每個學生、服務每個學生為原則，讓人人動手，讓每位學生在不同層次上得到發展. 具體來說，本節活動課體現了一個“探”字，落實了一個“動”字，突出了一個“趣”字，提倡了一個“放”字，讓學生自主探究問題，在活動中動腦、動手、動口，培養學生的合作交流意識，發展想象能力、創新能力.