利用建系法巧解三角形問題

摘 要：在解多個三角形問題時，撇開運用正弦定理、余弦定理的求解方法，嘗試在三角形中建立直角坐標系，將解三角形問題轉化為解析幾何中的直線問題來求解，思路清晰，運算量減少，學生容易掌握，為廣大學生開辟另類解三角形方法。

關鍵詞：建系法 解三角形 轉化思想 解析幾何

人教版高中數學必修5第一章《解三角形》介紹了運用正弦定理、余弦定理解三角形問題。運用正弦定理、余弦定理解單個三角形的解三角形問題時，直接代入公式即可解決問題，通俗易懂，但是在解多個三角形問題時，已知條件較多，要多次運用正弦定理、余弦定理，過程繁瑣，運算量較大，學生解起來比較吃力，不容易掌握。筆者嘗試在三角形中適當建立直角坐標系，表示三角形各頂點坐標，進而表示三角形各邊所在直線方程，將其轉化為解析幾何中的直線問題來求解，思路清晰，運算量減少，學生容易掌握，為廣大學生開辟另類解三角形方法。這也是數學教學的目的所在，教會學生遇到問題要善于思考、分析問題、解決問題、構建模型，尋找不同知識塊之間的聯系，運用“轉化思想”將問題進行轉化求解，最終提升學生“數學建模”的數學素養。

首先通過例1介紹兩種解法的對比，充分彰顯建系法在解多個三角形問題的優勢，接著利用建系法巧解兩道解三角形問題，其中一道為歷屆高考試題。

[例1]如圖，為測量河對岸A、B兩點的距離，在河的這邊取C、D兩點觀察，測得CD=km，∠ADB=450，∠ADC=300，∠ACB=750，∠DCB=450，A、B、C、D在同一平面，求A、B兩點間的距離。

解法（一）分析：在△BCD中，已知兩角和一邊，據正弦定理可求得BC邊;在△ACD中，已知兩角和一邊，據正弦定理可求得AC邊;在△ABC中，已知兩邊和夾角，據余弦定理求得AB邊，問題得到解決。

解：在△BCD中，∠CDB=∠ADC +∠ADB =750，

∠CBD=1800-∠CDB-∠DCB =600， CD=，

據正弦定理得：

在△ACD中，∠ACD=∠ACB +∠DCB =1200，∠CAD=1800-∠ACD-∠ADC =300， CD=，

由∠CAD=∠ADC=300，得AC=CD=

在△ABC中，AC=，，∠ACB=750，據余弦定理得：

解法（二）分析：若以D為原點，以DC為x軸建立直角坐標系，可求得BD、AD、BC、AC邊所在的直線方程，進而通過直線相交可求得A、B兩點的坐標，據兩點間距離公式求得A、B兩點的距離。

解：如圖，以D為原點、DC為x軸建立直角坐標系，則D（0，0），C（，0）

由，得直線AD方程為：由，得直線BD方程為：

由，得直線BC方程為：

由，得直線AC方程為：

由

由

[例2]如圖所示，在△ABC中，，

（1）BC的長度;（2）△ABD的面積

（3）sinC的值

解：如圖，以B為原點、BC為x軸建立直角坐標系，設C（m，0），A（x1，y1），（其中m>0）則

∴∵BD為AC邊上的中線∴

∴，得m=2，∴BC=2

（3） ∵，C（2，0）? ? ∴

[例3]（2010陜西高考理科）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？

解：如圖，以A為原點、AB為x軸建立直角坐標系。由已知可得B（，0），，

∴直線AD方程為y=x ，直線BD方程為

聯立上述兩個直線方程解得D（，）。設C（x1，y1），由∠CBA=900-600=300，BC=得

，即C（，）

∴救援船到達D點需要時間為：30÷30=1（小時）。

通過上面例1兩種解法的比較，發現解法一要多次運用正弦定理、余弦定理來解三角形，運算量大，關系復雜，特別例2中還要設兩個未知數，運算量更大，學生不易掌握。而解法二思路條理清晰，直觀易懂，該方法運算量明顯簡便很多，好用又好懂。那么如何適當建立直角坐標系呢？一般以三角形的頂點且對應角的度數或其三角函數值已知的為坐標原點，以該頂點所在的邊為x軸，建立直角坐標系，這樣有利于表示各頂點坐標和各邊所在直線方程。

利用建系法解三角形問題，為學生開辟了另類解三角形的方法，同時也培養了學生數學建模轉化解決問題的能力，在今后的教育教學中，可引導學生思考其他數學問題之間是否可以相互轉化，真正把這種能力遷移上升為“科技轉化為生產力”的數學素養。

作者簡介

楊衛乾，男，1974年1月出生，學歷本科，理學學士，中共黨員，1996年8月參加工作，現任教于福建省漳州市薌城中學，在高中數學研究中取得一定成果，在同行中具有較高聲譽。