初中數學拓展性課程的有效實施

邵文鴻+毛大平

摘 要：初中數學拓展性課程的有效實施，需要從教學目標的設定、教學內容的展開、教學模式的選取三個方面進行.拓展性教學目標更多地定位在“運用”、“探索”、“關聯結構”、“拓展抽象結構”，教學內容的展開，應從知識點、思想與方法三個方面，以及教學效果、教學效益、教學效率三個維度建構，教學模式則根據數學學科的特點，采用活動探究等多種模式結合，從而達到提升學生數學思維能力發展的目的.

關鍵詞：初中數學；拓展性課程；實施

2015年9月，浙江省教育廳發布的《關于建設義務教育拓展性課程的指導意見》，把義務教育課程分為基礎性課程和拓展性課程兩大類，基礎性課程指國家和地方課程標準規定的統一學習內容，拓展性課程指學校自主開發開設、供學生自主選擇的課程，這是義務教育課程體系建設的一大創新.它對拓展性課程的基本原則、課程的建設、課程的實施、課程的評價都提出綱領性的指導.現在筆者從教學目標的設定、教學內容的展開、教學模式的選取三個方面，例談初中數學拓展性課程開發的有效實施.

一、教學目標的設定

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中提出兩類描述教學目標的行為動詞：一類是描述結果目標的行為動詞，包括“了解”、“理解”、“掌握”、“運用”等；另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經歷”、“體驗”、“探索”等[1].澳大利亞著名教育心理學家比格斯及其同事用結構特征來確定學生應對問題、思考問題、解決問題時反應的層次水平，他們將學生的學習結果劃分為以下5種結構.（1）前結構.問題解決者沒有問題解決的相關知識，或者受其知識結構中無益于問題解決的知識干擾，因此沒有問題解決的思路，這種水平稱之為前結構.（2）單點結構.問題解決者面對問題時能基本找到解決問題的思路，但只能提取或聯系已有知識結構中的單一知識點或單一問題解決的通道.（3）多點結構.問題解決者在面對問題時可以聯系與問題相關的多個知識點或關注到多種問題解決的線索，但是不能對多個知識點或多種問題解決思路整合起來解答問題.（4）關聯結構.問題解決者解決問題時，能全面把握問題的結構特征，聯系并整合已有的知識儲備與問題解決策略，來解決較為復雜的問題情景.（5）拓展抽象結構.問題解決者不僅能夠解決問題，還能夠在原有的問題基礎上提出更多的有意義的問題，從而在解決問題的過程中能學到更多的抽象性知識[2].由于問題本身具有探索、開放的特征，其核心要義在于提供給學生有意義自主探究學習的機會，讓學生體驗問題解決后得到的成功抑或失敗的經驗，培養學生一種更高層次的學習能力.

從描述結果目標、過程目標和結構特征的三種目標分類分析，由于受教學時間與空間、教學評價體系的影響，基礎性課程教學目標都定位在比較淺的層次，如了解、理解、掌握，經歷、體驗，前結構、單點結構、多點結構的層次.拓展性課程則更多關注學生的差異性和選擇性，體現數學知識的形成過程和應用過程，關注數學思考和問題解決的評價，則將目標定位在運用、探索、關聯結構、拓展抽象結構.

案例1：《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》（八年級上冊）第2章閱讀材料

作為基礎性課程的教學目標：

（1）了解《幾何原本》第六卷命題31的內容.

（2）理解以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系.

作為拓展性課程的教學目標：

（1）經歷以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系的證明過程，體會數形結合的思想，積累面積關系證明中問題解決的經驗.

（2）在探索的過程中發現和得出規律：“在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和.”

教學評析：基礎性課程對閱讀材料的教學目標定位是比較低的，它對《幾何原本》第六卷命題31的內容僅僅要求是“了解”，它對“以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系”只需要是“理解”，達到“多點結構”的理解水平，也就是學生回答問題時能找到向外所作的三個正方形之間的面積關系，三個正三角形之間的面積關系，三個半圓之間的面積關系，但未能將所有找到的特征綜合起來，不能發現《幾何原本》第六卷命題31的結論.而這則閱讀材料作為拓展性課程進行開發時的教學目標定位要求比較高，它需要“經歷”面積證明的過程，“體會”數形結合的思想，“探索”《幾何原本》第六卷命題31的規律，達到“關聯結構”的理解水平，也就是學生能將特殊圖形的面積關系進行整合，形成完整的知識結構，發現《幾何原本》第六卷命題31的結論.

二、教學內容的展開

拓展性課程教學內容的展開需要從知識點、思想和方法這三個方面做到優質高效，優質高效的拓展性課堂需要以有效教學的三個衡量維度（教學效益、教學效果和教學效率）進行建構[3].教學效益指的是學生通過課堂教學后學到的東西是有價值的.教學效果指的是學生通過課堂教學后獲得實際的發展.教學效益指的是教學效果與時間和精力投入的比.這三者之間是環環相扣、螺旋上升的關系.教學內容的載體是拓展性課程的知識點、數學思想和數學方法.

案例2：《美妙的鑲嵌》（九年級上冊）第3章閱讀材料

問題1：通過欣賞生活中美妙的鑲嵌，請思考用一種全等的多邊形密鋪有哪些情況？

問題2：用一種正多邊形密鋪有哪些情況？

問題3：用兩種正多邊形密鋪有哪些情況？

問題4：用三種及以上正多邊形密鋪有哪些情況？

問題5：學生根據自己的特長和愛好，選擇其中的一種成果整理形式進行分享交流.

形式1：利用全等三角形或全等四邊形拼出美妙的圖案.

形式2：將問題（2）（3）（4）或（5）的分析過程整理出來，并配上相應的密鋪，形成小論文.

形式3：對問題（4）給出不同的解法.

形式4：提出新的問題，比如：（5，5，10）只滿足在一個點處密鋪，不能在平面上密鋪，并用圖例展示.

教學評析：優質高效的拓展性課堂教學需要課堂教學效益精準化，它需要教師把握《美妙的鑲嵌》課堂教學的核心知識點：平面內正多邊形的鑲嵌方案.案例通過5個問題的設計，牢牢地將學生思維的發生發展過程與平面內圖形的鑲嵌數學知識的發生發展過程結合起來，在這個過程中積累計算一種正多邊形鑲嵌，兩種正多邊形鑲嵌，三種正多邊形鑲嵌方案的問題解決經驗，學會建立方程、不等式模型解決實際問題的思想方法.課堂教學效果需要實效化，正如案例中教師通過核心問題的設計，經過學生合作交流、教師適時點撥、學生成果分享，讓學生很好地掌握平面內正多邊形組合鑲嵌方案的計算方法，起到很好的教學實效，體現教師從關注教學任務的完成度轉向關注學生學習的達成度，關注學生知識、能力和品格的實際變化.教學效益需要最優化，它通過三個課時的探究學習，學生完整經歷平面內正多邊形的鑲嵌由簡單到復雜的問題解決過程，培養學生在問題解決過程中進一步發現和提出數學問題的能力，培養學生運算和推理的能力，促進學生數學思維的發展.

三、教學模式的選取

教學模式是在一定教學思想、教學理論指導下，教學活動諸要素依據一定教學目標、教學內容及學生認知特點所形成的一種相對穩定而又簡化的教學結構.教學模式的形成和發展，有它一定的條件和原因，目前主要有以下六種教學模式：（1）以教師講授為主，系統傳授與學習書本知識；（2）圍繞學習者為中心來設計教與學的活動，讓學習者在活動中學習；（3）設置個性化的學習情境，但是嚴格控制學習者學習進程的自學輔導；（4）提供結構化的學習材料，教師作為組織者啟發學生從探索、發現中學習；（5）師生創設一定的情境活動，讓學生在情境中默會學習；（6）教師組織以行為技能訓練為主，學生在示范模仿中學習[4].拓展性課程教學更多的會選取第二種和第四種教學模式，或者是多樣綜合的教學模式.

案例3：《撲克牌的旋轉》（九年級上冊）第3章探究活動

書本探究活動：能通過圖形的旋轉，使圖形A與圖形B重合嗎？如果用兩種圖形的運動呢？比如旋轉和軸對稱，旋轉和平移等.用撲克牌試一試，說出一種方法.

教學設計：

活動一：學生利用幾何畫板進行拖動，解答上述兩個問題.

活動二：教師將兩張撲克牌分開放，問：現在能用兩次變換嗎？能將兩次變換改成一次嗎？學生在幾何畫板上拖動試驗.

活動三：在活動過程中提出問題：兩個全等的幾何圖形能否通過一次圖形變換就能重合？

活動四：得出結論：如果平面上兩個全等的圖形，方向一致時，通過旋轉使得一條對應邊重合，則其余各個角，各條線段都重合.方向相反時，有可能可以通過軸對稱變換使得重合.也就是說，在平面上的兩個全等圖形，要么經過一次全等變換，要么經過兩次全等變換就可以重合.而且，這里的三角形可以推廣到四邊形、五邊形……n邊形.

教學評析：教學模式不能單一化、程式化，由于教學活動的復雜性、教學目標的多樣性、教學內容和學生認知特點的豐富性，決定教學模式既豐富多樣又整體綜合.正如《撲克牌的旋轉》案例，作為基礎性課程的探究活動，教師會選用教學模式（1），以教師講授為主，系統傳授和學習書本知識.但作為拓展性課程的內容，則會選用教學模式（4），提供書本探究活動“撲克牌的旋轉”這個結構化材料，引導學生從“通過圖形的旋轉，使圖形A與圖形B重合”發現和提出問題：“兩個全等的幾何圖形能否通過一次圖形變換就能重合.”在探索的過程中教師既重視設計活動，引導學生主動積極地從活動中學習，也重視利用學生已有知識，在教師啟發誘導下通過動手操作、觀察、思考、討論、再實驗等途徑，研究問題，發現事物變化的起因和內在聯系，從中找出兩個全等圖形重合需要兩次或一次全等變換的規律，從而獲得知識并發展能力.在這個學習過程中也運用了教學模式（2），以學習者為中心，從活動中學習.這就是拓展性課程教學模式選取的特點，它往往需要綜合地選用多種教學模式，但我們要始終抓住數學學科教學的特點，培養學生數學思維.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：72.

[2]張祥文.《學習質量評價：solo分類理論（可觀察的學習成果結構）》簡介[J].地理教學，2016（15）：48.

[3]裴昌根，宋乃慶.基于核心素養的優質高效課堂教學探析 [J].課程·教材·教法，2016（11）：45-49.

[4]王策三.教學認識論 [M].北京：北京師范大學出版社，2002：164-165.