最優(yōu)化視角下對(duì)數(shù)學(xué)線性規(guī)劃內(nèi)容的拓展

周如俊

摘 要：從最優(yōu)化視角對(duì)高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃內(nèi)容進(jìn)行拓展，借助線性規(guī)劃作圖解決最值思想，從一個(gè)新的角度對(duì)高考有關(guān)線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標(biāo)函數(shù)最值問題“模型構(gòu)建”進(jìn)行引申歸類，形成“LC-LF”類、“LC-NLF”類、“NLC-LF”類、“NLC-NLF”類四種模型，并提出相應(yīng)“破解”之策.

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；拓展；高考題；類型分析

《全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中關(guān)于線性規(guī)劃內(nèi)容提到：線性規(guī)劃是最優(yōu)化的具體模型之一.在高中數(shù)學(xué)中，線性規(guī)劃問題都是最簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 （Linear Programming，簡(jiǎn)稱LP） 問題，即線性約束條件下線性（目標(biāo)）函數(shù)最優(yōu)化問題.其數(shù)學(xué)思想在高考解題中具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，核心是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助平面圖形，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題[1].

綜觀最近幾年高考約束條件下目標(biāo)函數(shù)最值考題，其內(nèi)容都是對(duì)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的引申與深化.這涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)中最優(yōu)化（Optimization）問題，其模型一般包括變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)三要素.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件性質(zhì)，對(duì)最優(yōu)化問題作進(jìn)一步分類：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，則稱線性規(guī)劃；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束中有一非線性函數(shù)時(shí)，則稱非線性規(guī)劃；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是二次的，而約束是線性時(shí)，則稱為二次規(guī)劃.

筆者基于當(dāng)前高考有關(guān)考題與命題趨勢(shì)，從最優(yōu)化視角對(duì)高考有關(guān)最值考題的約束條件與目標(biāo)函數(shù)作表1所示分類，嘗試對(duì)高中數(shù)學(xué)教材有關(guān)線性規(guī)劃內(nèi)容拓展.其中線性約束條件一般是指二元一次不等式組；非線性約束條件一般是指一個(gè)二元非一次不等式（組）（有時(shí)也可能是表示曲線或圓的函數(shù)）；線性函數(shù)關(guān)系是指直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是指非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等.適當(dāng)對(duì)線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標(biāo)函數(shù)問題“模型構(gòu)建”，利用其函數(shù)的幾何意義，借助作圖解決高考最值問題，這是從一個(gè)新的角度對(duì)求最值問題的理解.

一、“LC - LF”最值類

“LC - LF”最值類問題，即指線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題.一般這類考題線性約束條件是一個(gè)二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元一次函數(shù)，可行域就是線性約束條件中不等式所對(duì)應(yīng)的方程組所表示的直線所圍成的區(qū)域，在可行域解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最優(yōu)解.

【解題本質(zhì)】這類考題的解決，重要在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形， 通過目標(biāo)函數(shù)[z=ax+by（a≠0）]中直線[l：ax+by=0]的平移法，利用直線[y=-abx+zb]的縱截距[zb]解決最值問題（當(dāng)[b]為正值時(shí)將直線[l：ax+by=0]向上平移使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，反之[b]為負(fù)值時(shí)向下移動(dòng)使目標(biāo)函數(shù)取得最小值）；當(dāng)線性目標(biāo)直線的斜率與約束條件的邊界相等時(shí)，最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè).解題過程中關(guān)鍵是突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、 “移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優(yōu)解）.這種求最值的方法也稱“角點(diǎn)法”[2].

二、“LC-NLF” 最值類

參考文獻(xiàn)：

[1]潘曉春.運(yùn)用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃思想理解求最值問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)， 2006（4）：25-27.

[2]張金龍，錢軍先，李文斌.線性規(guī)劃方法的本質(zhì)：多元函數(shù)最值問題的圖象解法[J].新高考：高三數(shù)學(xué)，2013（1）：24-26，35.

[3]李劍.運(yùn)用線性規(guī)劃的思想解決多元變量求最值[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：高三版，2013（8）：49-50.

[4]張瓊.利用線性規(guī)劃的思想求無理函數(shù)的最值[J].高中數(shù)理化，2011（17）：20-21.