借游戲之“形” 蘊思維之“神”

馬玨

一、教學內容及設計構想

人教版小學數學教材四年級上冊有一道思考題，內容來源于著名的“漢諾塔”問題。漢諾塔（又稱河內塔）問題源于印度一個古老傳說：在一座圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針，其中一根針上自下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。根據預言，當所有的金片都從一根針上移到另外一根針上時，世界就將毀滅。因此，能否依托豐富的背景資源，將一道題拓展成一節課，讓它承載更多的教育價值呢？我們將內容進行拓展延伸，設計了“神秘的‘漢諾塔游戲”一課，借助游戲的形式，不僅僅是解決問題，更重要的是讓學生在實踐操作中感悟其中蘊含的數學思想方法和解決問題策略，獲得積極的情感體驗。

二、教學目標

1.在游戲過程中，通過動手操作，自主探索，體驗“化繁為簡找規律”解決數學問題的基本策略。

2.經歷收集有用信息、進行歸納、類比與猜測、再驗證猜測這一系列數學思維過程，發展學生的歸納推理能力。

3.在解決問題活動中，學會與他人合作，能有條理、清晰地表達自己的想法。

三、教學實錄

（一）創設情境，激發需求

1.創設情境。

師：同學們，今天我們的學習從游戲開始，這個游戲和印度的一個古老傳說有關，叫作“漢諾塔”游戲。讓我們一起來了解一下。（播放微課）

2.激發需求。

師：這個傳說是真的嗎？你怎么看？

生：我覺得不可能，因為這只是一個傳說啊！

生：我覺得也不可能，搬完這些圓片幾十年就夠了吧！世界怎么可能毀滅呢？（部分學生點頭附和）

師：搬完這些圓片到底需要多少時間呢？是不是像同學們所說的那樣呢？讓我們一起來揭開“漢諾塔”游戲的神秘面紗！（板書課題）

【設計意圖】課的一開始，就從“游戲”切入，讓學生感受到今天的數學學習與以往不同。運用微課播放，創設生動情境，介紹“漢諾塔”游戲的古老傳說，引發學生的討論，激發研究欲望，為后面的學習埋下伏筆。

（二）自主探索，發現規律

1.自主探索。

（1）化繁為簡：1個圓片的移動。

師：玩游戲前先要明確游戲規則，你能看懂嗎？

課件出示：盒內有①號、②號、③號三根桿子，你能借助②號桿子把①號桿子上的圓盤移到③號桿子上而不改變圓盤的上下順序嗎？最少移動多少次呢？

移動規則：每次只能移動一個圓盤；大圓盤不能放到小圓盤的上面。

師：如果按照傳說，應該有64個圓盤放在①號桿上？怎么樣，我們試試？

生：太多了，可以從少一點的數量嘗試，再看看有沒有規律。

師：1個圓盤要不要試？至少移動幾次？

生口答，師課件動態演示：直接將紅色圓盤從①號桿移動到③號桿上，移動1次。

（2）明確規則：2個圓盤的移動。

師：那么，2個圓盤至少移動2次嗎？

生：不行！至少3次。

生邊說，師邊課件動態演示：

② ③][第三次][第二次]

師：兩次為什么不行呢？

生：這樣大圓盤就要放在小圓盤的上面了，違反了游戲規則。所以要將小圓盤先移動到②號桿，大圓盤放到③號桿上，小圓盤再放過去。

師：也就是說，我們思考的是如何先將大圓盤放到③號桿上去，小圓盤就要先移動到其他桿上。我們用圖將剛才的操作過程記錄下來（板書演示）。

（3）親身實踐：3個圓盤的移動。

師：如果有3個圓盤呢？又至少需要移動幾次呢？拿出學具，同桌合作，邊操作邊把移動的每一步都記錄下來。看哪個組在最短的時間內將最少的移動次數找到。

生進行操作嘗試，絕大部分組都移動成功。

師：成功的請舉手！最少需要幾次？哪組同桌愿意上來給我們展示？

② ③][① ② ③]

（4）激發疑問：4個圓盤的移動。

師：3個圓盤的移動看來難不倒大家，如果增加到4個圓盤呢？再試一試！

師巡回，發現大部分學生有困難。

師：移動成功的請舉手。（只有幾組同桌舉手）有什么困難嗎？

組1：我們移著移著就不知道該怎么辦了！

組2：我們移對了，但好像是碰運氣啊！

組3：我們覺得要將大圓盤先放到③號桿，但后面怎么移還沒有完全想明白。

師：看來，需要先梳理一下！再回過頭分析一下3個圓盤的移動，看看能不能給我們帶來新的啟示。

2.發現規律。

（1）梳理思路：3個圓盤的移動過程。

師：仔細觀察移動過程，我們的思路是怎么樣的？

生：要設法先將大圓盤移到③號桿。

師：那么小圓盤和中圓盤就要移到②號桿，至少需要幾次？你怎么知道的？

生：3次，剛才2個圓盤移動時已經嘗試過了。

師：這時，大圓盤就能移動到③號桿了，又需要1次。接下來的思路是什么？

生：將小圓盤和中圓盤想辦法移到③號桿。

師：2個圓盤移到同一個桿上，至少需要幾次？

生：和剛才一樣還是3次。

師：一共是3+1+3=7次。移動3個圓盤的過程中借助了移動2個圓盤的經驗。

師：想一想，移動4個圓盤，你有思路了嗎？

生：先將上面3個圓盤移動到②號桿上，借助前面的經驗，至少需要7次；最下面的大圓盤就可以移動到③號桿上，需要1次；再將②號桿上的3個圓盤移動到③號桿上，又至少需要7次，一共是7+1+7=15次。

師：有思路了，試試看！

（2）歸納推理：多個圓盤的移動思路。

生操作，師巡回，大部分學生都移動成功。

師：成功了嗎？我們一起來看看4個圓盤移動的過程。（微課演示）

師（順勢追問）：5個圓盤呢？

生（很快口答）：借助4個圓盤的經驗，至少需要15+1+15=31次。

師（繼續追問）：6個圓盤呢？

生（很快口答）：借助5個圓盤的經驗，至少需要31+1+31=63次。

師：如果有更多的圓盤，還能繼續往下推嗎？

生（自信）：能！

【設計意圖】在研究之前，通過討論，達成可以用“化繁為簡”的思路進行研究的共識。接下來，分為三個層次，逐步推進研究進程。首先，1個圓盤和2個圓盤，借助flash動畫的課件演示，隨著學生的回答，教師自由拖動圓盤，在移動的過程中進一步明確游戲的規則。接著，3個圓盤和4個圓盤，借助學具進行操作，當學生發現4個圓盤移動有困難時，因勢利導梳理3個圓盤的移動過程，歸納出移動的一般思路。最后，依據這樣的移動思路，學生脫離實物操作，以此類推，借助n個圓盤的經驗就能推理出（n+1）個圓盤的移動次數。這一過程中，數學思考貫穿始終。

（三）深入思考，解決問題

1.深入思考。

師：讓我們再回到開頭的古印度傳說，根據我們發現的規律，現在能知道64個圓盤至少移動幾次了嗎？

生（困惑）：必須先推算出第63個圓盤的移動數，要想推算第63個圓盤的移動次數，還要推算第62個圓盤，要一直往前推算呢！

師：看來還是比較麻煩，那么有沒有更加方便的規律呢？剛才我們是縱向觀察的，橫向觀察看看，還有其他的規律存在嗎？

生：圓盤個數n，移動次數2n-1。

師：現在可以知道64個圓盤至少要移動幾次了嗎？

生：264-1。

師：到底需要移動幾次呢？請計算機來幫忙，最少需要移動“18446744073709551615” 次才能完成操作。

生發出驚嘆。

2.解決問題。

師（課件演示）：假設搬1個圓盤要用1秒鐘，就有18446744073709551615秒。1小時有3600秒，1天有24小時，1年我們以365天來計算，這樣大約是五千多億年。據現在的科學研究，宇宙從誕生至今還僅137億年，地球從誕生到現在，也才只有大約46億年的時間。看來，眾僧們耗盡畢生精力也不可能完成金片的移動。

師：現在，你們對這個印度傳說怎么看？

生：要這么多年才能搬完圓盤，這個傳說也是有可能的。

生：如果傳說是真的，也不必擔心，世界末日還遠著呢！

【設計意圖】通過研究，學生找到了遞推的規律。可是，要解決64個圓盤至少需要移動幾次時，發現還是比較困難，產生了進一步尋求橫向規律的需求。這樣“先破再立，再破再立”的環節設計，打破思維框架，將研究推向高潮。學生在解決問題后，對照課一開始時的討論，有了積極的情感體驗。

（四）提煉方法，自主建構

1.提煉方法。

師：同學們，今天我們邊玩游戲，邊探索規律，現在“漢諾塔”游戲在你心中還神秘嗎？你知道了它的哪些秘密？回顧一下，我們是怎么研究的？

根據生的回答提煉出結論：化繁為簡—借助經驗—探索規律—解決問題。

2.自主建構。

師：這樣的數學探究過程我們曾經運用過嗎？

生（恍然大悟）：烙餅問題、打電話、圖形找規律……

師：是的，數學問題有各種不同，可是解決問題的策略卻是相通的，我們要學會用數學方法去解決這一類問題。

【設計意圖】學生在“玩”游戲的過程中，有了充分的活動體驗。回顧研究過程，提煉出“化繁為簡”的解決問題策略。在教師的引導下，還能初步感悟到這一策略不僅能解決“漢諾塔問題”，還能解決這樣的一類問題，將策略進行推廣，提升學生的問題解決能力。

四、教學反思

（一）游戲背景介紹：激活思維點

將一道題拓展成一節課，就是要讓知識承載更為豐富的教育價值，驅動學生去自主探索。課一開始，通過播放微課，創設游戲情境：在神秘的音樂聲中向學生娓娓道來，“漢諾塔”游戲源于一個古老印度傳說，課堂被濃濃的人文氣息包圍，數學學習也變得生動起來。那么，古老傳說中的預言真的會實現嗎？學生的各種猜測將今天的學習聚焦到一個問題“按照規則移動64個圓盤，究竟需要多少時間呢？”在學生的歡聲笑語中，思維的火花被點燃，明確了本節課的學習目標。

（二）游戲環境支撐：提升思維力

游戲是“形”，思維是“神”，如何在玩游戲的過程中，提升學生的思維力？教學環境的有力支撐，讓思維層層遞進。1個圓盤、2個圓盤的移動是基礎，利用flash動畫，隨著學生的回答，圓盤可以隨意移動，幫助學生直觀理解游戲規則“小圓盤必須要在大圓盤的上面”，初步感知移動策略“首先要將最下面的圓盤移動到③號桿，上面的圓盤必須要先移動到其他桿上，讓開位置”。3個圓盤的移動過程是關鍵，借助實物，學生進行動手操作，用畫圖記錄移動的過程；當4個圓盤移動碰到困難時，教師再順勢引導梳理3個圓盤的移動過程，運用微課進行直觀演示，進一步感知移動策略“4個圓盤的移動可以借助3個圓盤的經驗3+1+3=7次”。多個圓盤的移動是遷移，脫離多媒體演示和實物操作，運用1～4個圓盤的活動經驗，進行邏輯推理。在這一過程中，學生的思維逐步從形象上升到抽象，歸納推理能力得到了發展。

（三）游戲方法提煉：營造思維場

數學游戲的教學目標，更重要的是方法策略的提煉和運用。在教學的最后環節，沒有止步在解決了“64個圓盤至少要移動幾次”的問題上，而是通過回顧，提煉出了解決問題的一般策略，學生對“化繁為簡”的策略有了深入的認識。這樣的解決問題策略除了解決“漢諾塔問題”，還能解決哪些問題呢？從一道習題拓展成一個問題，從一個問題推廣到一類問題，引發學生進一步思考，連點成片，感悟到數學問題雖千變萬化，數學方法卻貫穿始終，營造了更為廣闊的思維場。

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