無可取代的二次函數

闕連芳

摘 要 二次函數（）=++（≠0）是中學數學的最重要的一種函數，它貫穿著高中數學的整個階段，無所不在，是任何一個知識點都無可取代的。二次函數隨處可見，更重要的是它的圖像在解題中起著非常直觀的作用，能將一些復雜的數學問題轉化為能直觀理解的數學文圖，是高中數學數型結合思想的最具體的一類應用。二次函數的無所不在及其不可取代體現在：（1）必修一函數單調性奇偶性，在函數的定義域及最值里面的體現，方程的根與函數的零點。（2）必修五數列中在等差數列前n項和以及在一元二次不等式及其解法中體現的淋淋盡在。（3）在選修里的與圓錐曲線的綜合題無處不在以及與導數的結合更是精彩。

關鍵詞 高中數學 二次函數 無可取代

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我們來介紹下二次函數在各部分的精彩表現。

首先我們先來看下中學階段二次函數（）=++（≠0）的主要知識點：①二次函數圖像的對稱軸：直線=；② 二次函數圖像的開口方向：a>0時開口向上：a<0時開口向下；③二次函數的頂點坐標（，）；④二次函數圖像與y軸的交點坐標（0，）；⑤二次函數圖像與x軸交點情況由△=4的符號決定。當△>0兩個交點（1，0），（2，0）；當△=0時有一個交點（0，0）；當△<0時沒有交點；⑥二次函數方程++=0（≠0）根與系數的關系：1+2= 1€I62=

通過多年的高中數學教學，遇到應用二次函數解題的一些題型，有的題目如果不用二次函數圖像學生很少會解出來，若用二次函數圖像求解，問題不僅直觀，而且顯得很簡單。

二次函數的圖像如圖1（下面是>0，<0的時候開口向下）。

接下來我們看看二次函數在我們高中階段是如何無處不在的。

1 二次函數在函數性質里面的體現

在函數單調性、最值以及奇偶性中的體現：

人教版必修一在講函數單調性的新課時候首先是讓學生觀察二次函（）=圖像（圖2）。

圖像在y軸左側“下降”，也就是說，在區間（∞，0]上（）隨著的增大而減小；圖像在y軸的右側“上升”，也就是說，在區間[0，+∞）上（）隨著的增大而減大。從而引出本節課的重點（也是高中階段函數性質的重點之一）——函數的單調性。

也就是說學生需要對函數（）=的熟知情況下才能順利的往下學這節課。

（2）如圖3所示，動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么寬x（單位：m）為多少才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？

二次函數的重要性，我們通過教材的編寫就可以很直接的體會。

2二次函數在數列中的體現

等差數列{}的前項和的公式：=+=+（）也就是說等差數列的前n項和是一個關于n的二次函數

必修5課本第44頁例3：已知數列{}的前n項和為=+，求這個數列的通項公式。這個數列是等差數列嗎？如果是它的首項和公差分別是什么？

在這里數列的前n項和是一個關于n的二次函數。

接下來就45頁的探究：一般地，如果一個數列{}的前項和=++，其中，，為常數，且≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？

經過研究我們發現，當r=0時數列{}是首項=+公差的等差數列。當≠0時，數列從第二項起是等差數列

例 已知等差數列5，4，3的前項和，求使得最大的序號的值。

分析：等差數列的前項和公式可以寫成=+（），所以可以看成函數=+（）（∈N*）當=時的函數值，另一方面，容易知道是的圖像是一條拋物線上的一些點。因此，我們可以利用二次函數來求的值。

我們可以畫出的圖像（圖4），驗證上述的結論

3應用二次函數圖像及其方程解決一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。我們可以有函數的零點與相應一元二次方程的根的關系，先求出一元二次方程的根，再根據函數圖像與軸相關位置確定一元二次不等式的解集。我們可分三種情況來討論對應的一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。

二次函數在高中必修課本里面真所謂無處不在，以上舉出的例題及其原理都必須掌握可見其重要性無可替代。接下來筆者繼續介紹二次函數在選修中又是如何體現其的重要性。

4 二次函數在圓錐曲線中的地位

眾所周知，圓錐曲線是高考的重點考查對象，那么它考查跟我們二次函數的知識點又有什么聯系呢？

分析：這題的第二步聯立直線與曲線的方程消元化簡后得到一個關于的一元二次方程。接下來根據二次函數方程++=0（≠0）根與系數的關系：+=€I6=得到+=，€I6=，這一步起到至關重要的作用，若是沒有這個接下來題目也就沒法往下解答。縱觀近幾年高考，不管是全國卷還是各省自己命題的試卷只要有考直線與圓錐曲線都離不開應用二次函數根與系數的關系來解答。也就是說，二次函數在平面解析幾何中也起到了至關重要的作用。

5 二次函數在導數中的體現

二次函數在導數的題目里面出現也是不容小覷的，無論是應用導數求單調性還是最值的題目里二次函數隨處可見。可以說二次函數就是橋梁，它把新的知識和舊知識聯系在一起。

分析：這是一個最高次為三次的導數題目，其導函數是一個關于x的二次函數。接下來就是應用二次函數知識來解題。 >0單調遞增， <0 單調遞減，也就相當于是解一元二次不等式。所以總歸還是跟二次函數脫離不了關系。

二次函數，它不僅有豐富的內涵和外延，而且作為最基本的初等函數，可以用它作為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，也可以編寫出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生對數學基礎知識的掌握以及體現學生的綜合數學素質。特別是可以從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。所以二次函數在高中階段的學習中是無可取代的。