無可取代的二次函數(shù)

闕連芳

摘 要 二次函數(shù)（）=++（≠0）是中學(xué)數(shù)學(xué)的最重要的一種函數(shù)，它貫穿著高中數(shù)學(xué)的整個(gè)階段，無所不在，是任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都無可取代的。二次函數(shù)隨處可見，更重要的是它的圖像在解題中起著非常直觀的作用，能將一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為能直觀理解的數(shù)學(xué)文圖，是高中數(shù)學(xué)數(shù)型結(jié)合思想的最具體的一類應(yīng)用。二次函數(shù)的無所不在及其不可取代體現(xiàn)在：（1）必修一函數(shù)單調(diào)性奇偶性，在函數(shù)的定義域及最值里面的體現(xiàn)，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)。（2）必修五數(shù)列中在等差數(shù)列前n項(xiàng)和以及在一元二次不等式及其解法中體現(xiàn)的淋淋盡在。（3）在選修里的與圓錐曲線的綜合題無處不在以及與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合更是精彩。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 無可取代

中圖分類號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我們來介紹下二次函數(shù)在各部分的精彩表現(xiàn)。

首先我們先來看下中學(xué)階段二次函數(shù)（）=++（≠0）的主要知識(shí)點(diǎn)：①二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸：直線=；② 二次函數(shù)圖像的開口方向：a>0時(shí)開口向上：a<0時(shí)開口向下；③二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）；④二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，）；⑤二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)情況由△=4的符號(hào)決定。當(dāng)△>0兩個(gè)交點(diǎn)（1，0），（2，0）；當(dāng)△=0時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）；當(dāng)△<0時(shí)沒有交點(diǎn)；⑥二次函數(shù)方程++=0（≠0）根與系數(shù)的關(guān)系：1+2= 1€I62=

通過多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，遇到應(yīng)用二次函數(shù)解題的一些題型，有的題目如果不用二次函數(shù)圖像學(xué)生很少會(huì)解出來，若用二次函數(shù)圖像求解，問題不僅直觀，而且顯得很簡(jiǎn)單。

二次函數(shù)的圖像如圖1（下面是>0，<0的時(shí)候開口向下）。

接下來我們看看二次函數(shù)在我們高中階段是如何無處不在的。

1 二次函數(shù)在函數(shù)性質(zhì)里面的體現(xiàn)

在函數(shù)單調(diào)性、最值以及奇偶性中的體現(xiàn)：

人教版必修一在講函數(shù)單調(diào)性的新課時(shí)候首先是讓學(xué)生觀察二次函（）=圖像（圖2）。

圖像在y軸左側(cè)“下降”，也就是說，在區(qū)間（∞，0]上（）隨著的增大而減小；圖像在y軸的右側(cè)“上升”，也就是說，在區(qū)間[0，+∞）上（）隨著的增大而減大。從而引出本節(jié)課的重點(diǎn)（也是高中階段函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)之一）——函數(shù)的單調(diào)性。

也就是說學(xué)生需要對(duì)函數(shù)（）=的熟知情況下才能順利的往下學(xué)這節(jié)課。

（2）如圖3所示，動(dòng)物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長(zhǎng)是30m，那么寬x（單位：m）為多少才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？

二次函數(shù)的重要性，我們通過教材的編寫就可以很直接的體會(huì)。

2二次函數(shù)在數(shù)列中的體現(xiàn)

等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和的公式：=+=+（）也就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)

必修5課本第44頁(yè)例3：已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為=+，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是它的首項(xiàng)和公差分別是什么？

在這里數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)。

接下來就45頁(yè)的探究：一般地，如果一個(gè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和=++，其中，，為常數(shù)，且≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

經(jīng)過研究我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=0時(shí)數(shù)列{}是首項(xiàng)=+公差的等差數(shù)列。當(dāng)≠0時(shí)，數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列

例 已知等差數(shù)列5，4，3的前項(xiàng)和，求使得最大的序號(hào)的值。

分析：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可以寫成=+（），所以可以看成函數(shù)=+（）（∈N*）當(dāng)=時(shí)的函數(shù)值，另一方面，容易知道是的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)。因此，我們可以利用二次函數(shù)來求的值。

我們可以畫出的圖像（圖4），驗(yàn)證上述的結(jié)論

3應(yīng)用二次函數(shù)圖像及其方程解決一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。我們可以有函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)一元二次方程的根的關(guān)系，先求出一元二次方程的根，再根據(jù)函數(shù)圖像與軸相關(guān)位置確定一元二次不等式的解集。我們可分三種情況來討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。

二次函數(shù)在高中必修課本里面真所謂無處不在，以上舉出的例題及其原理都必須掌握可見其重要性無可替代。接下來筆者繼續(xù)介紹二次函數(shù)在選修中又是如何體現(xiàn)其的重要性。

4 二次函數(shù)在圓錐曲線中的地位

眾所周知，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象，那么它考查跟我們二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)又有什么聯(lián)系呢？

分析：這題的第二步聯(lián)立直線與曲線的方程消元化簡(jiǎn)后得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程。接下來根據(jù)二次函數(shù)方程++=0（≠0）根與系數(shù)的關(guān)系：+=€I6=得到+=，€I6=，這一步起到至關(guān)重要的作用，若是沒有這個(gè)接下來題目也就沒法往下解答。縱觀近幾年高考，不管是全國(guó)卷還是各省自己命題的試卷只要有考直線與圓錐曲線都離不開應(yīng)用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系來解答。也就是說，二次函數(shù)在平面解析幾何中也起到了至關(guān)重要的作用。

5 二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的體現(xiàn)

二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的題目里面出現(xiàn)也是不容小覷的，無論是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性還是最值的題目里二次函數(shù)隨處可見。可以說二次函數(shù)就是橋梁，它把新的知識(shí)和舊知識(shí)聯(lián)系在一起。

分析：這是一個(gè)最高次為三次的導(dǎo)數(shù)題目，其導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)。接下來就是應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)來解題。 >0單調(diào)遞增， <0 單調(diào)遞減，也就相當(dāng)于是解一元二次不等式。所以總歸還是跟二次函數(shù)脫離不了關(guān)系。

二次函數(shù)，它不僅有豐富的內(nèi)涵和外延，而且作為最基本的初等函數(shù)，可以用它作為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，也可以編寫出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握以及體現(xiàn)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)。特別是可以從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。所以二次函數(shù)在高中階段的學(xué)習(xí)中是無可取代的。