對(duì)橢圓、雙曲線中兩直線斜率乘積為定值的探究

浙江省杭州市蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué)(311261) 陳斌

云南省昆明市尋甸縣柯渡鎮(zhèn)柯渡中學(xué)(655212) 楊彩清

對(duì)橢圓、雙曲線中兩直線斜率乘積為定值的探究

浙江省杭州市蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué)(311261) 陳斌

云南省昆明市尋甸縣柯渡鎮(zhèn)柯渡中學(xué)(655212) 楊彩清

圓錐曲線問題一直都是浙江高考中的核心內(nèi)容之一,圓錐曲線對(duì)于多數(shù)考生來說基本上都是有解題的思路,但往往都是計(jì)算到中途時(shí)擱淺或結(jié)果出錯(cuò).究其原因,主要是學(xué)生沒有運(yùn)用好題中所給的條件或者曲線已有的一些性質(zhì),導(dǎo)致方法選擇不當(dāng)或運(yùn)算不合理,解題策略欠佳.因此,本文通過一道課本題的思考題引發(fā)對(duì)橢圓、雙曲線中兩直線斜率乘積為定值的思考及探究,通過對(duì)這些猜想的論證,得出問題的本質(zhì).

橢圓 雙曲線 斜率乘積 定值

一、問題呈現(xiàn)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》(選修2-1)人教A版P55的探究題

如圖1,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是試求點(diǎn)M的軌跡方程,并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀.

問題1.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值(負(fù)數(shù)),則該點(diǎn)的軌跡還是橢圓嗎?

問題2.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值(正數(shù)),則該點(diǎn)的軌跡是什么?

問題3.以上問題它們的實(shí)質(zhì)是什么?為什么會(huì)有這樣的結(jié)果?

二、初入云霧

問題1.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值(負(fù)數(shù)),求該點(diǎn)的軌跡方程?

解建立直角坐標(biāo)系,以兩定點(diǎn)所在直線為x軸,兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn),過原點(diǎn)且垂直于x軸為y軸,不妨設(shè)兩定點(diǎn)A(a,0),B(?a,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y),定值為?p(p＞0).由題意,得?p,化簡(jiǎn)整理,得由于直線AM,BM的斜率必須存在,則x/=±a.即點(diǎn)M的軌跡方程是從上述方程可知當(dāng)p=1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是圓(去掉與x軸相交的點(diǎn));當(dāng)p/=1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是橢圓(去掉與x軸相交的點(diǎn)).

圖2

問題2.由問題1,可得點(diǎn)M的軌跡方程是1(x/=±a),從上述方程可知點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(去掉與x軸相交的點(diǎn)).、

問題3.由問題1、2,我們發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積為定值(定值是非零實(shí)數(shù)),則該點(diǎn)的軌跡是橢圓或雙曲線.我們知道橢圓可以由仿射變換,令得x′2+y′2=1.此時(shí)如右圖所示,kA′M′kB′M′=?1.即對(duì)于雙曲線來說,我們有

圖3

上述描述的仿射圓的直徑是在x軸上,且由直徑所對(duì)的圓周角是直角,所以才有斜率乘積為?1(兩直線的斜率都存在的前提下),從而我們得到上述kAMkBM為定值.筆者不禁思考,是否只要圓中兩直線的斜率乘積為?1(圓中兩直線垂直),對(duì)應(yīng)的橢圓、雙曲線也有類似的斜率乘積為定值的性質(zhì)?為了研究的方便,不妨假設(shè)下面提及的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)都在x軸上.

問題4.已知在圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角,若兩直角邊所在的直線斜率存在,則兩直角邊的斜率乘積為?1,即kAMkBM=?1.那么對(duì)于橢圓、雙曲線是否也有類似的結(jié)論:

圖4

圖5

圖6

問題5. 已知在圓中具有垂徑定理,若此時(shí)直徑和弦長(zhǎng)所在的直線斜率存在,則這兩直線的斜率乘積為?1,即kAMkBM=?1.那么對(duì)于橢圓、雙曲線是否也有類似的結(jié)論:

圖7

圖8

圖9

問題6.已知在圓中切線與對(duì)應(yīng)的半徑相互垂直,若切線和對(duì)應(yīng)的半徑所在的直線的斜率存在,則這兩直線的斜率乘積為?1,即kOMkl=?1.那么對(duì)于橢圓、雙曲線是否也有類似的結(jié)論:

圖10

圖11

圖12

三、撥開云霧

對(duì)于上述由圓中直角的特點(diǎn),引發(fā)的對(duì)橢圓、雙曲線中類似性質(zhì)的猜想,即問題4、5、6這三類猜想,以下筆者逐一給出證明.

四、云開霧散

五、一覽眾山

上述的定理一至三在數(shù)學(xué)高考中都有著非常重要的作用,若能熟練運(yùn)用這些性質(zhì),可以給學(xué)生解圓錐曲線中弦長(zhǎng)中點(diǎn)問題、點(diǎn)到直線距離最遠(yuǎn)(近)問題、曲線中三角形、四邊形面積最大等問題帶來極大的優(yōu)勢(shì),具體題型的應(yīng)用本文由于篇幅有限,不在一一舉例了.解析幾何一直都是高考數(shù)學(xué)中的重中之重,掌握一些常用的技巧是快速解題、取得高分的關(guān)鍵.