一類含絕對值函數最值問題解法探究

安徽省樅陽縣宏實中學(246700) 江保兵

一類含絕對值函數最值問題解法探究

安徽省樅陽縣宏實中學(246700) 江保兵

在數學解題的過程中,簡潔、高效的解法一直是數學學習者追求的目標.一道試題,一個簡潔的解法會使我們眼前一亮,而不按套路出牌的“巧解”更使得我們備感興奮與快樂.“巧解”是對問題本質、內在客觀規律的深刻揭示,巧妙展現.本文通過一類含絕對值函數最值問題“巧解”的探究,揭示試題的本質以及它的解題規律,供大家參考.

誰說華山一條道—高考試題的巧解與質疑

例1(2016天津高考文數20)設函數f(x)=x3?ax?b, x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的單調區間;

(II)若f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=0;

(III)設a＞0,函數g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區間[?1,1]上的最大值不小于

本題的是函數與導數的綜合性試題,難度較大,特別是第三問.第三問正常的解題方法是分類討論,個個擊破,解法冗長繁鎖.在教學中,筆者遇到了一種別致的解題方法.

質疑這種解題方法相對命題者提供的標準解答,可謂別具一格,即簡潔明快,又讓人耳目一新.但這種不按套路出牌的方法,又讓人莫明其妙.首先,這種解題方法從何而來?其次,為什么要選擇與M作比較?選擇其它的函數值與M作比較行不行?本題研究對象是三次函數,那么對二次函數來說有沒有類似的結論與解法呢?我們來看一個二次函數的案例以及的它的解題方法.

(II)求曲線y=f(x)上斜率為c的切線與該曲線的公共點;

(III)記g(x)=|f′(x)|(?1≤x≤1)的最大值為M,若M≥k對任意的b,c恒成立,試求k的最大值.

問渠那得清如許—追尋巧解背后的規律

我們看到,相關的結論在二次函數中也成立,解題方法還是那么另類與獨特.從有效解題的角度來說,對試題的求解過程進行回顧與總結,尋找解題方法背后隱藏的數學本質,是數學學習的核心內容.那么這類試題與它的另類解題有什么深層次的秘密?我們的探究先從二次函數入手.

定理1設二次函數f(x)=ax2+bx+c,如果對任意x∈[?1,1]均有|f(x)|≤ 1,則|a|≤ 2,當且僅當f(x)=2x2?1時a=2;當且僅當f(x)=?2x2+1時a=?2.

證由于x∈[?1,1],故可設x=cosθ,θ∈[0,π].當2θ=0,π,2π時,cos2θ=2cos2θ?1取得最值,這時對應的x=cosθ=1,0,?1.注意到,4≥|f(1)|+|f(?1)|+2|f(0)|≥|f(1)+f(?1)?2f(0)|=|2a|,得到:|a|≤2.當且僅當1=|f(1)|,1=|f(?1)|,1=|f(0)|,且f(1),f(?1),?2f(0)同號時,等號成立.即f(1)=1,f(0)=?1,f(?1)=1時,此時a=2,b=0,c=?1,f(x)=2x2?1,或者f(1)=?1,f(0)=1,f(?1)=?1時,此時a=?2,b=0,c=1,f(x)=?2x2+1.

定理2設三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d,如果對任意x∈[?1,1]均有|f(x)|≤1,則|a|≤4,當且僅當f(x)=4x3?3x時a=4;當且僅當f(x)=?4x3+3x時a=?4.

這個定理的證明只要考慮cos3θ=4cos3θ?3cosθ取最值時自變量x=cosθ,θ∈[0,π]所對應的值(即3θ=0,π,2π,3π),再利用絕對值不等式證明即可,具體證明請讀者完成.不管是二次函數還是三次函數f(x),f(x)絕對值在區間[?1,1]上的最大值M(即|f(x)|≤M)總可以轉化為函數使得g(x)絕對值在區間[?1,1]上的最大值為1(即|g(x)|≤1).這樣由上面的證明,我們可以得到更為一般的結論:

一般地,首項系數為正數的n次多項式函數f(x)當?x∈[?1,1]時,|f(x)|的最大值M取得最小值時所對應的多項式Tn(x)滿足Tn(cosθ)=cosnθ,例如n=2,cos2θ=2cos2θ?1,這時它所對應的多項式為:T2=2x2?1;n=3,cos3θ=4cos3θ?3cosθ,這時它所對應的多項式為:T3=4x3?3x.在證明時,我們先構造函數再選擇n+1個數的函數值與1作比較,再利用絕對值不等式證明即可.我們代入的n+1個數恰好就是cosnθ取最值時自變量x=cosθ,θ∈[0,π]所對應的值(即nθ=0,π,2π,...,nπ).一個疑問:如果函數的自變量的范圍不是x∈[?1,1],而是x∈[p,q](p＜q),如下題的第三問.那么這個問題又該怎么辦呢?

例3. (2016天津高考理數 20)設函數f(x)=(x?1)3?ax?b,x∈R其中a,b∈R.

(I)求f(x)的單調區間;

(II)若f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;

[1]江保兵.在錯解、爭論、辨析中悟道[J].中學數學研究(上半月), 2016,11.

[2]黃加衛.摭談數學教學中結構不良問題的解決策略[J].數學通報, 2009,5.

[3]羅增儒.數學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社,2008.

[4]波利亞.怎樣解題[M].上海:上海教育出版社,2001.