源于教材 高于教材
——平面向量中的兩個重要的恒等式及應用

浙江慈溪滸山中學(315300) 褚金芬 施利云

源于教材 高于教材
——平面向量中的兩個重要的恒等式及應用

浙江慈溪滸山中學(315300) 褚金芬 施利云

中學數學中存在著大量的等量關系,如完全平方公式,立方和差公式,兩角和與差公式,平行四邊形兩對角線平方和等于兩鄰邊的平方和的兩倍等等.在高中數學中常常可以看到這些等量關系的運用,但有些等量關系課本上沒直接給出,需要我們教師去挖掘,去拓展;并在課堂上引導學生參與到探究之中,讓他們自己發現并加以積累,然后會靈活地去解決相關問題,它往往可以起到立竿見影的效果,甚至可以起到“秒殺”的效果.以下筆者舉例說明.

1 極化恒等式

1.1極化恒等式設a,b是兩個非零向量,則a·b=

1.2出處人教版必修4 P109頁2.5.1平面幾何中的向量方法的例1,可以進一步探究得到.

1.3 幾何意義兩個非零向量的數量積等于以這兩個向量鄰邊的平行四邊形的“和對角線”和差對角線平方差的四分之一.特殊地,△ABC中,其中AD為△ABC的BC邊上的中線.極化恒等式建立了向量與幾何長度之間的橋梁,實現了向量與代數、幾何的巧妙結合.

1.4 極化恒等式的應用

點評向量a,b是在e上的投影確定的兩個變化量,利用極化恒等式巧妙地把雙變量的問題轉化為了單變量問題,于是就迎刃而解了.類似地有2013年浙江省理科高考題第7題,2013年浙江省高中數學學聯賽試題(這兩題從略),2016年浙江六校聯考第8題,2016年新高考研究聯盟二模第13題等.

點評此題如果通過建系,利用點P的坐標,根據得到關于點P橫坐標的方程,根據點P的位置分四種情況討論方程各有二解時的取值范圍,最后取它們的交集,計算量明顯較大,而利用極化恒等式大大簡化了計算.

點評利用極化恒等式很快地找到了動點P的運動軌跡,比通過建系得到點P的軌跡方程的方法簡潔了許多.

例4 (2016年浙江高考15題)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有則

2 數量積的余弦定理式

例8 (2016年鎮海最后卷第15題)如圖,在平面四邊形ABCD中,已知E、F、G、H分別是棱AB、BC、CD、DA的中點,若|EG|2?|HF|2=1,設 |AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,則的最大值是

圖10

點評此題首利用四邊形EFGH為平行四邊形,結合平行四邊形法則及共線向量定理把條件轉化為再轉化為4個向量數量積,利用數量積的余弦定理式可以得到x,y,z的關系.

3 幾點反思

(1)這兩個恒等式源于教材又高于教材.所以在平時的教學中,我們要深入,挖掘教材,必要時要進行一些拓展和提高.

(2)用這兩個恒等式處理具有三角幾何背景的問題尤為簡單,讓“秒殺”向量問題成為一種可能.

(3)向量是既有大小又有方向的量,大小是向量的“血肉”,方向是向量的靈魂,它同時具有代數形式、幾何形式的雙重身份,是數形結合的典范.浙江的一些經典考題或模擬題,其深刻厚重的幾何韻味,無不讓人心曠神怡,拍手叫絕!這兩個恒等式把向量的數量積問題用形象、直觀的幾何圖形表現地淋漓盡致.