“交軌法”形式背后的內容

廣東廣雅中學(510160) 賴淑明

“交軌法”形式背后的內容

廣東廣雅中學(510160) 賴淑明

本文從兩道高考題探究“交軌法”,獲得形式背后的本質內容其實是有心曲線的第三定義及第三定義的逆用,借助第三定義逆用的推廣拓展交軌法進一步的應用.

交軌法作為求曲線軌跡方程的一種方法被高中的教師和學生所熟識,相信很多老師在講授這一方法時會很強調交軌法使用的特定形式:求兩條過定點的直線的交點的軌跡.強調交軌法使用的關鍵:兩條直線方程相乘,借助曲線方程消參.但是,這一強調并沒有起到引起學生重視和提高學生應用“交軌法”的能力.那么,什么是交軌法?顧名思義,交軌法就是求交點的軌跡的一種方法,命名來自于軌跡形成的形式,那“交軌法”形式背后的內容是什么呢?讓我們一起從兩道高考題研究交軌法的實質.

例1(2010廣東高考理數20題)已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x1,y1),Q(x1,?y1)是雙曲線上不同的兩個動點.

(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;

(2)從略.

題目分析E是兩條動直線的交點的軌跡,這兩條動直線都過一個定點和一個動點,定點為已知雙曲線的頂點,動點為雙曲線上關于x對稱的兩個點.

解設點M(x,y)是直線A1P與A2Q的交點,因為A1、M、P三點共線,所以

點評交軌法的特點是求兩條動直線的交點的軌跡方程,操作形式是相乘消參思考:為什么相乘能消參?

問題分析相乘是為了消參,而本題的參數是點P和點Q的坐標,即x1和y1.而①和②的右邊相乘即這不禁讓筆者聯想到有心曲線的定義,即圓錐曲線的第三定義及其逆用性質.

本質關聯1:有心曲線的第三定義

平面內一個動點分別與兩個定點的連線的斜率乘積為定值e2?1,當0＜e＜1時,軌跡為去掉兩個定點的橢圓.

當e＞1時,軌跡為去掉兩個定點的雙曲線.

當e=0時,軌跡為去掉兩個定點的圓.

本質關聯2:有心曲線第三定義的逆用這是雙曲線第三定義的逆用.同時,動點E滿足

即滿足橢圓的第三定義E與兩定點A1,A2的斜率的乘積為定值故E的軌跡為橢圓,剔除某些點.由此可見,例1實質上是利用雙曲線的第三定義的逆用性質,構造了滿足橢圓第三定義的動點軌跡.由雙曲線構造橢圓,那么逆向也必然成立,因此,我們可以獲得以下變式.

變式1已知橢圓的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x1,y1),Q(x1,?y1)是橢圓上不同的兩個動點.求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程.(答案:

2012年遼寧高考題考查的正是變式1

如圖,橢圓C0:1(a＞b＞0,a,b為常數),動圓其中b＜t1＜a.點A1,A2分別為C0的左,右頂點,C1與C0相交于A,B,C,D四點.(I)求直線AA1與直線BA2交點M的軌跡方程;(答案:

圖1

由橢圓構造圓、由雙曲線構造圓也成立,如下列變式

變式2已知橢圓的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x1,y1),Q(x1,2y1)是橢圓上不同的兩個動點.求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程.(答案:

我們知道有心曲線第三定義的逆用有更一般性的性質:

本質拓展有心曲線第三定義的拓展性質

P(x,y)為圓x2+y2=r2上的動點,A(x1,y1),B(?x1,?y1)為圓的直徑的兩個端點,則直線PA和PB的斜率乘積為定值?1,即kPA·kPB=?1,其中e2?1=?1.

而2015年廣州一模考查的正是這個定義逆用的拓展應用.

(2)求點Q的軌跡方程;

(3)從略.

交軌法形式上是相乘消參,是參數法求軌跡的一種形式.而交軌法應用的實質是有心曲線的第三定義和第三定義的逆用以及第三定義逆用的推廣.掌握了交軌法應用這一本質問題也就揭開了交軌法神秘的面紗,就解決了何時使用交軌法,怎樣使用交軌法的問題.

[1]劉宗海.交軌法求軌跡到底應該注意什么.數學通訊[J],2005(24): 5-6.

[2]謝鵬作.有心二次曲線的一個性質[J].河北:河北理科教學研究, 2013(5):48-49.

[3]李信任.有心圓錐曲線的第三定義及其在高考中的應用[J].教育教學論壇,2013(10):96-98.