探析含絕對值函數 關注數學核心素養

福建省惠安第三中學(362100) 江志杰

探析含絕對值函數 關注數學核心素養

福建省惠安第三中學(362100) 江志杰

含絕對值的函數通常是指有自變量或關于自變量的代數式包含在絕對值符號之內的一類函數,簡稱絕對值函數.縱觀近幾年高考試題,有關含絕對值函數的最值問題層出不窮,它與方程、不等式、分段函數等密切交匯,立意新穎、綜合性強、能力要求高、解題難度大,常以壓軸題的形式出現,彰顯數學重要思想方法,在高考命題中獨占鰲頭、經久不衰.由于絕對值概念簡單熟悉,再加上絕對值本身具有非負特性以及表示距離的幾何特征,可移植性強,其與初等函數模型結合有助于開拓學生思維品質,培養學生創新思維和遷移能力,能較全面地考查學生的基本數學素養.然而我們在高三復習中,由于缺乏對經典題型進行解法探究與歸類,導致在該類熱點問題上往往出現思維混亂、解答困難的局面.為此,筆者擬對含絕對值的函數圖像和性質進行梳理,并對此類題型的常用求解策略進行例析,僅供參考.

一、運用絕對值的幾何意義

我們知道:在數軸上,|a|表示實數a對應的點與原點之間的距離,|a?b|表示實數a對應的點與實數b對應點之間的距離.說明很多含絕對值的函數蘊藏著“距離”的幾何特征,我們可憑借其幾何意義來化解問題.比如函數f(x)=|x?2|+|x+1|可形象地理解為:數軸上“動點x”與“定點2”、“定點?1”的距離之和,易得f(x)min=3.甚至以此可推廣出:諸如函數f(x)=|g(x)?a|±|g(x)?b||的最值問題,可代換為|t?a|±|t?b|的形式借助絕對值的幾何意義來解決.

類似地,對于一次含多個絕對值的和型函數f(x)=|x?a1|+|x?a2|+...+|x?an|,也可理解“動點x”與一系列“定點”(即各絕對值對應的“零點”)的距離之和,憑借幾何直觀可以發現:其最小值應在一系列“零點”排序后的“中位數”處取得.

例1(2015年重慶高考理16)若函數f(x)=|x+1|+ 2|x?a|的最小值為5,則實數a=___.

解析因為f(x)=|x+1|+|x?a|+|x?a|,將其“絕對值零點”從小到大排序:

1)若a≥?1時,?1,a,a的中位數為a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=4;

2)若a＜?1時,a,a,?1的中位數為a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=?6.故a的值為4或?6.

二、利用絕對值三角不等式

在絕對值三角不等式“||a|?|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”的結構中,當a±b為定值時,可求得|a|+|b|的最小值,或可求得||a|?|b||的最大值(需注意等號成立的條件).對照該不等式的結構,我們常以此來求某些絕對值函數的最值,如關于x的函數f(x)=|mx+c|±|nx+d|或f(x)=|mg(x)+c|±|ng(x)+d|(其中m,n,c,d為常數,并且|m|=|n|),也就是當“變量部分”的系數相等或相反時,利用該重要不等式模型求最值無疑顯得極為簡明、快捷!

例2(2016年全國高考新課標III卷文理)已知函數f(x)=|2x?a|+a.

(I)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;

(II)設函數g(x)=|2x?1|.當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.

解析(I)略;(II)依題意得|2x?a|+|2x?1|≥3?a在R上恒成立,由絕對值三角不等式得|2x?a|+|2x?1|≥|a?1|,故得左邊的最小值為|a?1|.從而|a?1|≥3?a,解得a≥2.

例3(2016年浙江高考理15)已知向量|b|=2,若對任意單位向量e,均有則a·b的最大值是____.

解析本題雖是以平面向量的數量積為背景,卻離不開絕對值三角不等式的關鍵性轉換,依題意得兩邊平方得|a|2+2a·b+|b|2≤6,解得即得a·b的最大值是在此絕對值三角不等式儼然是個功能強大的數學模型,絕對起到了工具性的作用,而且不知不覺地遷移滲透在數學其他領域.

三、借助絕對值函數的圖像

上述運用絕對值三角不等式求最值時,我們很關注絕對值函數“變量部分”的系數是否相等(或相反),倘若系數不具備如此特征或不符合絕對值三角不等式的結構時,則絕對值三角不等式失效,此時可通過作出絕對值函數的圖像,考慮從數形結合角度來求解問題,比如函數f(x)=|x?2|+|3x+1|的最小值可通過作出其分段函數的圖像直觀求得.值得一提的是形如y=f(|x|)或y=|f(x)|的函數圖像可由y=f(x)的圖像經過適當的“翻折”變換得到的,其有助于我們快速精準把握圖像的關鍵特征.

例4(2013年全國高考 (課標 I)理 11)已知函數若|f(x)|≥ax.則a的取值范圍是( )

A.(?∞,0] B.(?∞,1] C.[?2,1] D.[?2,0]

解析本題關鍵分析函數y=|f(x)|的圖像與直線y=ax的位置關系(如圖),利用導數知識求得左側曲線在原點處的切線斜率為?2,依題意得到a∈[?2,0],故答案選D.

圖1

四、逐一進行分段或分類討論

含絕對值的函數本身就是分段函數的“縮影”,為了簡化絕對值函數的結構和全面掌握絕對值函數的性質特征,我們經常對其逐一進行分段研究,或就其所含參數變化引發的各種可能情況(如圖形位置的不確定性)進行分類討論,體現了將數學問題化整為零、化繁為簡的解題原則,應該說絕對值函數就是培養分類整合、數形結合等重要數學思想的上佳素材.

例5(2016年全國高考 (新課標 III)理 21)設函數f(x)=acos2x+(a?1)(cosx+1),其中a＞0,記|f(x)|的最大值為A.

(I)求f′(x);(II)求A;(III)證明:|f′(x)|≤2A.

解析(I)易得f′(x)=2asin2x?(a?1)sinx;(II)注意到f(x)可化為關于cosx的二次函數:

且|g(1)|=2?3a＞a=|g(?1)|.故A=2?3a;

(III)由絕對值三角不等式可得:|f′(x)|=|?2asin2x?(a?1)|≤2a+|a?1|,鑒于A是關于a的分段函數,要證|f′(x)|≤2A,即證2a+|a?1|均不大于2A的各段函數.只要作差構造函數

易得φ(a)≥0在(0,+∞)上的各段均成立,從而不等式得證.

點評上述解法思路始終遵循高中數學的通性通法,如第(II)小題研究二次函數在閉區間上的最值,以及第(II)、(III)小題通過作差法來比較大小或證明不等式,其注重知識方法的基礎性又兼顧問題的綜合性,充分展現問題的檢測與選拔功能,有效考量學生在數學運算、數學建模、數學抽象、直觀想象等方面的核心素養.

例6(2016年浙江高考理 19)已知a≥3,函數F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},其中

(I)求使得等式F(x)=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍;

(II)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

解析(I)依題意得x2?2ax+4a?2≤2|x?1|(其中a≥3),該不等式可化為:

(II)(i)由(I)得

其中當x∈(?∞,2)∪(2a,+∞),在x=1處函數2|x?1|取到最小值0;當x∈[2,2a],在x=a處函數x2?2ax+4a?2取到最小值為?a2+4a?2.令?a2+4a?2＞0(a≥3)得故

五、圍繞絕對值函數的最值特征

若連續函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值為M、最小值為m,則其對應的絕對值函數y=|f(x)|在區間[a,b]上的最大值為max{|M|,|m|}.這說明要研究|f(x)|max,關鍵是先明確原函數的f(x)min,f(x)max從而才能切中絕對值函數最值問題的要害之處.

例7(2016年天津高考理20)設函數f(x)=(x?1)3?ax?b,x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的單調區間;

(II)設a＞0,函數g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區間[0,2]上的最大值不小于

解析(I)由f′(x)=3(x?1)2?a,且注意到3(x?1)2≥0. i)當a≤ 0時,f′(x)≥0,f(x)的單調遞增區間為(?∞,+∞),無單調遞減區間;

ii)當a＞0時,

點評本題求|f(x)|max的關鍵是討論三次函數f(x)在閉區間上的最值情況,尤其是極值與區間端點函數值的大小不確定性,是我們引發分類討論的“根源”.合理利用導數將“原函數”的圖像性質研究透徹,自然就為研究絕對值函數的性質架設了基礎“橋梁”!

結束語通過以上含絕對值函數最值問題的例析,可以看出其在高考中獨樹一幟、常考常新,解決該類問題的有效途徑歸根結底在于分類討論、作圖觀察.分類討論可以培養思維品質的條理性、縝密性、概括性,其當仁不讓成為高考必不可少的熱點.對于該類函數而言,引發分類討論的主要原因不外乎以下若干情形:1)由絕對值概念引起的;2)由數學運算引起的;3)由性質定理公式的限制引起的;4)由圖形的不確定性引起的;5)由參數的變化引起的.只有充分理解掌握分類根源,方能使探析討論過程線索清晰、有條不紊.另外,絕對值函數圖像是研究該類函數性質的直觀載體,其具有化難為易、事半功倍之效,簡潔明快之感,常見作圖方法有:1)折線法(適合于一次絕對值函數);2)翻折法(如y=f(|x|))或y=|f(x)|);3)分段法(將原函數等價轉化為分段函數后作圖).熟練掌握絕對值函數作法技巧,有助于我們形象把握函數的本質特征或快速找到解決問題的切入點.可以說,解決含絕對值函數最值問題就是要恰如其分地發揮分類整合、數形結合等數學思想,其有利于促進學生形成數學抽象、直觀想象、數學運算、推理論證、數學建模等方面的核心素養.