高三數學復習用好課本的幾點思考
——源于課本的求軌跡方程高考題

東莞高級中學(523128) 劉心華

高三數學復習用好課本的幾點思考
——源于課本的求軌跡方程高考題

東莞高級中學(523128) 劉心華

高中新課程倡導“用教材教”,而不是“教教材”,其目的就是要求教師能夠靈活地、創造性地使用教材.但是在高三的復習迎考中,相當多的教師認為課本沒有什么好講,老師不太喜歡使用課本中的例習題,學生也覺得課本沒有什么好做,認為課本中的例習題過于簡單,對訓練數學思維并沒有多大幫助,而是從一些教輔資料中選擇例題與習題或者干脆使用高考題.

實際上,教材中的例習題是編者精心挑選,再三醞釀后挑中的,具有典型性、示范性和針對性,既可以幫助學生理解基礎知識、進行思維訓練,又可以幫助學生掌握數學思想方法,培養發展能力.高三數學復習應重視課本的例習題,把分散在課本中的相關例習題聚結串聯起來,可以加深一類問題的深刻理解;把課本中的一些例習題織網匯面,形成知識模塊,可以獲得求解一類問題的通性通法;對課本中例習題及隱含于其中的方法進行連片整理總結,可以提煉一類問題的數學思想方法.本文以人教版《數學》選修2-1中的例習題為例,結合近幾年高考中的求軌跡方程問題,談談自己對高三數學復習用好課本的幾點思考.

一、結成點—熟練基本技能

高三數學復習的目的在于熟練基本技能,提高學生解決問題的能力.將課本中的形異質同的例習題聚結成點,揭示知識與方法的聯系,加深學生對知識的理解與方法的內化,提高學生解決問題的基本技能.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第36頁例3)已知一條直線l和它上方的一個點F,點F到直線l的距離是2.一條曲線也在l的上方,它上面的每一點到F的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當的坐標系,求這條曲線的方程.

問題2(教科書第47頁例6)點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到直線l:x=的距離的比是常數求點M的軌跡.

問題3(教科書第50頁習題2.2B組第3題)點M與定點F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比是1:2,求點M的軌跡方程,并說明它是什么圖形.

問題4(教科書第59頁例5)點M(x,y)與定點F(5,0)的距離和它到直線的距離的比是常數求點M的軌跡.

問題5(教科書第62頁習題2.3B組第3題)求到定點F(c,0)和它到定直線l:距離之比是)的點M的軌跡方程.

本組課本中的例習題運用直接法不難求出動點的軌跡方程,從問題2到問題5,以上題組可以統一為:到定點距離與到定直線距離之比等于定值(大于1、等于1、小于1)的點的軌跡問題.高三復習課中將課本中的這些問題集中到一起解決,一方面使學生掌握解決這類問題的基本方法,另一方面可以讓學生了解圓錐曲線的統一定義,學生可以更好的認識圓錐曲線的有關概念,這樣既符合學生認知規律,又有利于學生整體上的提高.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題(2013年陜西高考文20)已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.(1)求動點M的軌跡C的方程;(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.

二、串成線—總結解題規律

高三數學復習的目的在于總結解題規律,提高學生綜合解題的能力.由于高一、高二學生所學的知識是零散的,高三復習的一個重要任務就是把相對零散的知識串聯起來,形成有機的知識鏈,一方面加深學生對數學規律和本質的理解,另一方面讓學生以更高的觀念審視數學,以更靈活的方法解答問題.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第41頁例 3)如圖 1,設點A,B的坐標分別為(?5,0),(5,0),直 線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是求點M軌跡方程.

圖1

問題2(教科書第 55頁探究)如圖2,點A,B的坐標分別是(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是試求點M軌跡方程.

圖2

問題3(教科書第 42頁練習 4)點A,B的坐標分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點M軌跡是什么?為什么?

圖3

問題4(教科書第74頁B組第3題)已知點A,B的坐標分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2,求點M的軌跡方程.

問題5(教科書第80頁A組第10題)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(?5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m/=0),試探求頂點C的軌跡.

問題6(教科書第81頁復習參考題B組第5題)已知點A,B的坐標分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之和是2,求點M的軌跡方程.

課本中本組例習題要解決的是動點與兩定點連線斜率的和、差、積(正數、負數)、商的軌跡問題,運用直接法,求出的軌跡為橢圓、雙曲線、拋物線等曲線方程.若對問題1與問題2進行一般推廣,還可以得到橢圓與雙曲線的另外一種“定義”方式.高三復習課教學中要充分利用課本中的這些例習題,把握問題間的聯系,尋找一般解法,總結解題規律.掌握了解答此類問題的基本方法,可以解決以下求軌跡方程的高考題:

三、織成網—完善知識網絡

高三數學復習的目的在于完善知識網絡.運用知識之間的交叉、滲透和組合,在知識網絡的交匯點設計問題是高考命題的特點.高三數學復習中要利用好課本中的例習題,挖掘知識點間橫向聯系,抓住起支撐作用的主干,完善知識網絡,促進知識的融會貫通.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第35頁例2)設A,B兩點的坐標分別是(?1,?1),(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.

問題2(教科書第37頁習題2.1A第2題)求和點O(0,0),A(c,0)距離的平方差為常數c的點的軌跡方程.

問題3(教科書第37頁習題2.1A第3題)兩個定點的距離為6,點M到這兩個定點的距離的平方和為26,求點M的軌跡方程.

問題4(教科書第54頁例2)已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,且聲速為340 m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.

問題5(教科書第62頁習題2.3B組第2題)相距1400 m的A,B兩個哨所,聽到炮彈爆炸聲的時間相差3 s,已知聲速為340m/s,問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上,為什么?

問題6(教科書第41頁例2)如圖2.2-5,在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么?為什么?

問題7(教科書第74頁B組第1題)從拋物線y2=2px(p＞0)上各點向x軸作垂線段,求垂線段中點的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

問題8(教科書第50頁習題 2.2B組第1題)如圖,DP⊥x軸,點M在DP的延長線上,且當點P在圓x2+y2=4上運動時,求點M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.與例2相比,你有什么發現?

圖4

課本中本組例習題的解決可以運用直接法、定義法、相關點法、幾何法,針對課本例習題不同的類型,在知識網絡中尋求問題解決的途徑.數學知識本身系統性很強,把握好知識的交匯點,才能溝通知識間的縱橫聯系,完善知識網絡,促進知識與方法的融會貫通,進而靈活運用.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題1(2014年福建高考文21)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=?3的距離小2.

(1)求曲線Γ的方程;

(2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點M,N.以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B,試探究:當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度是否發生變化?證明你的結論.

問題2(2014年湖北高考理21)在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y軸的距離多1,記點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2)設斜率為k的直線l過定點P(?2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍.

四、匯成面—領會數學思想

新課程高考顯著特點是在考查基礎知識的基礎上,突出對數學思想與核心能力的考察.教師應在關注通性通法的前提下,交匯成面,重視問題中數學思想的滲透,幫助學生領會數學思想,提高學生的數學素養.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第37頁練習第3題)如圖,已知點C的坐標是(2,2),過點C的直線CA與x軸交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B,設點M是線段AB的中點,求點M的軌跡方程.

圖5

問題2(教科書第37頁習題2.1A組第4題)過原點的直線與圓x2+y2?6x+5=0相交于A,B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程.

問題3(教科書第37頁習題2.1B組第1題)過點P(3,4)的動直線與兩坐標軸的交點分別為A,B,過A,B分別做兩軸的垂線交于點M,求點M的軌跡方程.

問題4(教科書第37頁習題2.1B組第2題)一動圓截直線3x?y=0和3x+y=0所得弦長分別為8,4,求動圓圓心的軌跡方程.

問題5(變式題)設A1,A2是橢圓的長軸兩個端點,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端點,求直線A1P1與A2P2的交點的軌跡方程.

課本中本組例習題的解決可以運用相關點法、幾何法、參數法、交軌法,特別是數形結合、轉化化歸、函數方程、分類討論的思想貫穿本組問題的解題整過過程.數學思想蘊含在數學基礎知識之中,它與數學知識的形成同步發展,教師應充分挖掘課本例習題的潛力,引導學生積極思考,探索問題的解決途徑,發展學生的數學思維,領會數學思想.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題1(2015年廣東高考文理20)已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2?6x+5=0相交于不同的兩點A,B.

(1)求圓C1的圓心坐標;

(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;

(3)是否存在實數k,使得直線l:y=k(x?4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

問題2(2014年全國新課標1文20)已知點P(2,2),圓C:x2+y2?8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.

(1)求M的軌跡方程;

(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.

問題3(2013年全國新課標II文20)在平面直角坐標系xOy中,己知圓P在x軸上截得線段長為在y軸上截得線段長為

(1)求圓心P的軌跡方程;

(2)若P點到直線y=x的距離為求圓P的方程.

問題4(2013年陜西高考理20)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(2)已知點B(?1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

問題5(2016年全國新課標1理20)設圓x2+y2+2x?15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(2)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

五、連成片—提升思維能力

數學教學是以培養和發展學生的思維能力為目的,能力考查也是高考的重點和永恒主題.高三數學復習要實現知識向能力的轉化,就要充分發揮課本例習題的價值,把一些“不起眼”例習題連片歸納推廣,挖掘課本例習題的內涵和外延,提升思維能力.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第49頁A組第7題)如圖6,圓O的半徑為定長r,A是圓O內一個定點,P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?

圖6

問題2(教科書第62頁A組第5題)如圖7,圓O的半徑為定長r,A是圓O外一個定點,P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?

圖7

問題3(教科書第50頁習題2.2B組第2題)一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時與圓x2+y2?6x?91=0內切,求動圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

問題4(教科書第 50頁B組第 4題)如圖 8,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點,R,S,T是線段OF的四等分點,R′,S′,T′是線段CF的四等分點.請證明直線ER與GR′,ES與GS′、ET與GT′的交點L,M,N都在橢圓

圖8

課本中本組例習題的解決可以運用定義法、相關點法、參數法、交軌法,但如果就題講題,本組例習題應有的功效就沒有發揮出來,對于問題4可以從多個角度,運用不同的方法求解,在常見中求新意,在平凡中見奇效.對問題4的多角度多方法求解,解決以下高考題中的求軌跡方程問題就顯得駕輕就熟:

問題1(2013年全國新課標 I理 20)已知圓M: (x+1)2+y2=1,圓N:(x?1)2+y2=9,動圓P與M外切并且與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程;

(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.

問題2(2013年福建高考理18)如圖,在正方形OABC中,O為坐標原點,點A的坐標為(10,0),點C的坐標為(0,10).分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,...,A9和B1,B2,...,B9,連結OBi,過Ai做x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N?,1≤i≤9).

圖9

(1)求證:點Pi(i∈N?,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;

(2)過點C做直線與拋物線E交于不同的兩點M,N,若△OCM與△OCN的面積比為4:1,求直線的方程.

高考試題源于課本.課本在高三數學復習中占據無可替代的作用.課本的例習題蘊含著豐富的知識點、解題技巧、數學思想方法.我們若能對課本中的例習題進行認真地研究,挖掘其內在的潛能,在高三復習中合理地再利用,不僅可以幫助學生擺脫“題海”,也有利于提高高三數學復習的質量.

[1]劉紹學.數學選修2-1[M].人民教育教育出版社,2014,6.

[2]徐愛勇.教材:高考復習的“根據地”[J].中學數學月刊,2012,3.