數學文化高考題舉隅(Ⅲ)*

北京豐臺二中(100071) 甘志國

數學文化高考題舉隅(Ⅲ)*

北京豐臺二中(100071) 甘志國

2 以世界名題為背景的數學文化高考試題

2.1 3x+1問題

題目44 (2009年高考湖北卷理科第15題)已知數列{an}滿足:a1=m(m為正整數),

若a6=1,則m所有可能的取值為____.

解4,5,32.由a6=1,得a5=2,a4=4,a3=1或8,a2=2或16,a1=4或5或32.

評析題44的背景是世界數學難題、名題3x+1問題(也稱克拉茨問題、敘拉古問題、角谷猜想).

對于任意給定的正整數,連續進行如下運算:如果它是偶數,就除以2,若還是偶數,就再除以2,……直至得到奇數,如果這個奇數不是1,就把這個奇數乘以3再加上1,這樣得到的結果又為偶數,就再除以2,這樣不斷地運算下去,直至得到1為止.問題就是:對于任一正整數,進行上述運算,經過有限步后都能得到1嗎?

據說,耶魯大學有長達一個月之久,人人都在研究這個問題,但卻沒有任何實質性的進展.經過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數學家愛爾特希的說法:數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題.

下面的題45的背景也是3x+1問題.

題目45 (2013年高考湖北卷理科第12題)閱讀如圖42所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出的結果i=___.

答案5.

2.2 數學黑洞問題

題目46 (2014年高考湖北卷理科第13題)設a是一個各位數字都不是0且沒有重復數字的三位數,將組成a的3個數字按從小到大排成的三位數記為I(a),按從大到小排成的三位數記為D(a)(例如a=815,則I(a)=158,D(a)=851).閱讀如圖43所示的程序框圖,運行相應的程序,任意輸入一個a,輸出的結果b=____.

答案495.

評析題46的背景是數學黑洞問題,詳見文獻[11].2015年高考數學北京卷理科第20題的背景是數學黑洞問題[12]. 3x+1問題就是猜測其是數學黑洞問題.

圖42

圖43

2.3 充滿猜想的回文數

題目47 (2012年高考湖北卷理科第 13題)回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數. 如 22,121,3443,94249等. 顯然 2位的回文數有 9個:11,22,33,...,99. 3位回文數有 90個: 101,111,121,...,191,202,...,999.則

(1)四位回文數有___個;

(2)2n+1(n∈N)位回文數有____個.

答案(1)90;(2)9×10n.

評析雖說題47考查的是排列組合的一道簡單題目,但起到了良好的科普宣傳作用(回文數是數學家也感到很陌生的數,其中有很多世界難題等待著有識之士去攻克.詳見文獻[13].

2.4 四色問題

題目48 (2003年高考全國卷I卷理科第15題即文科第16題)如圖44,一個地區分為5個行政區域,現給地圖著色,要求相鄰地區不得使用同一顏色,現有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有___種(以數字作答).

圖44

解由題意知,可選用3種顏色或4種顏色來著色.

若用3種顏色,須先把5個行政區域分成3組且每組能用同一種顏色著色.可得只有一種分組方法:1,(2,4),(3,5).此時得著色方法共有=24(種).

若用4種顏色,須先把5個行政區域分成4組且每組能用同一種顏色著色.可得只有兩種分組方法:1,2,4,(3,5); 1,(2,4),3,5.此時得著色方法共有(種).

所以所求答案是24+48=72.

題目49 (2008年高考全國卷I理科第12題)如圖45,一環形花壇分成A、B、C、D四塊.現有4種不同的花供選擇,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數為( )

圖45

A.96 B. 84 C. 60 D.48

解B.解法全同題目48,共有種種法.

評析“地圖著色”問題的背景是四色猜想:對于任意的平面地圖或球面地圖,只需四種顏色就可把相鄰的區域區分開來.此猜想在上世紀七十年代借助計算機已給出了證明,但至今卻沒有純數學的證明,用純數學的方法只證得五種顏色足夠.所以,尋求四色猜想的純數學證明仍是數學界的努力方向.據說,愛因斯坦(Albert Einstein,1879～1955)的數學導師閔可夫斯基(Hermann Minkowski,1864～1909)就曾在課堂上給學生講述過四色猜想的證明,終因難度大而掛了黑板.

因為“地圖著色”問題有這樣的歷史背景,所以此種題型受到了命題專家的青睞,文獻[14]給出了這種問題的統一解法.

2.5 正整數等冪和

題目50 (2008年高考湖北卷理科第15題)觀察下列等式:

可以推測,當k≥2(k∈N?)時,

解可猜測歸納出答案.

評析題50是數學史上有名的正整數方冪和問題,我國著名數學家陳景潤(1933～1996)就研究過此類問題,拙著[15]也研究了這類問題.

2.6 調和級數與歐拉常數

(2)猜測數列{an}是否有極限?如果有,寫出極限的值;

(3)試確定一個正整數N,使得當n＞N時,對任意

答案(1)略.(2)有極限,且可取N=1024.

題目52 (2010年高考湖北卷理科第21題)已知函數的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=x?1.

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

2.7 伯努利不等式

題目53 (2007年高考湖北卷理科第21題)已知m,n為正整數.

(1)用數學歸納法證明:當x＞?1時,(1+x)m≥1+mx;

(3)求出滿足等式3n+4m+...+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數n.

答案(1),(2)略.(3)2,3.

評析題 53第 (1)問是伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700～1782)不等式,第(3)問是數論中的不定方程問題,它有勾股定理、費馬(Pierre de Fermat,1601～1665)大定理、埃斯柯特(Escott)猜想的背景,詳見文獻[3],[18]-[20].

題目54 (2012年高考湖北卷理科第22題)(1)已知函數f(x)=rx?xr+(1?r)(x＞0),其中r為有理數,且0＜r＜1.求f(x)的最小值;

(2)試用(1)的結果證明如下命題:

設a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數.若b1+b2=1,則(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數學歸納法證明你所推廣的命題.

注:當a為正有理數時,有求導公式(xa)′=axa?1.

題目55 (2013年高考湖北卷理科第22題)設n是正整數,r為正有理數.

(1)求函數f(x)=(1+x)r+1?(r+1)x?1(x＞?1)的最小值;

題目56 (2016年高考全國卷III文科第21題)設函數f(x)=lnx?x+1.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明當x∈(1,+∞)時,1

(3)設c＞1,證明當x∈(0,1)時,1+(c?1)x＞cx.

評析這里先給出題目56(3)的直接證明:

設h(c)=1+(c?1)x?cx(c＞1),可得h′(c)=x(c0?cx?1)＞0(0＜x＜1,c＞1)所以h(c)是增函數,得h(c)＞h(1)=0,1+(c?1)x＞cx(c＞1).

題目56(3)問的背景是伯努利不等式.

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-5·A版·不等式選講》(人民教育出版社2007年第2版)第51頁例3介紹的“貝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是:設t≥?1,則當0＜α＜1時,(1+t)α≤1+αt;當α＜0或α＞1時,(1+t)α≥1+αt.

在結論“(1+t)α＜1+αt(t＞0,0＜α＜1)”中,令t=c?1(c＞1),α=x(0＜x＜1),立得題56(3)的結論.

題54(1)及題55(1)的背景也都是伯努利不等式.

3 以濃厚的時代氣息為背景的數學文化高考試題

筆者發現有不少高考題都有濃濃的時代氣息,讓數學貼近生活、宣傳科學.實際上,這也是數學文化的一個重要方面.

下表列舉出了高考數學湖北卷中的這方面部分題目:

題號高考數學湖北卷中題目的題號該應用題的時代氣息1) 2007年理科第15題即文科第15題因當時全球流感猖獗,本題就適時介紹了預防流感而采取的一種藥熏消毒法,起到了良好的宣傳、指導作用. 2) 2008年理科第6題3) 2008年理科第10題即文科第10題4) 2009年理科第13題這三道題與2008年中國的三件大事“北京奧運會、神七升空、汶川地震”的兩件有關.普通高中課程標準實驗教科書《數學·A版·必修1》(人民教育出版社,2007年第2版)第66-67頁的例5介紹了地震的里氏震級.文獻[21]也對里氏震級予以了介紹. 5) 2008年理科第20題中國地理環境復雜,水資源缺乏,人均水資源更是奇缺,本題有此情境,也宣傳國人應當節約用水. 6) 2009年文科第4題介紹了志愿者參加公益活動這一新時代的特點. 7) 2009年理科第8題即文科第8題本題的時代氣息是“家電下鄉”這一惠農政策. 8) 2010年理科第8題本題以當年中國的大事、盛事“上海世博會”為背景,還宣傳、介紹了“志愿者服務活動”. 9) 2010年理科第17題本題以當前全世界關注的焦點問題“節能減排、低碳經濟”為背景,起到了良好的宣傳作用. 10) 2011年文科第15題當時地震頻發,本題宣傳了地震震級的有關知識. 11) 2011年理科第17題即文科第19題本題宣傳了當前城市交通的擁堵狀況,從數學角度也給出了一種解決方案.

我們再列舉幾道高考數學非湖北卷中的這方面部分題目:

題目57 (2013年高考上海卷理科第16題)錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的( )

A. 充分條件 B.必要條件

C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件

解B.“便宜?沒好貨”等價于“好貨?不便宜”.

評析這是一道源于生活的簡易邏輯題:生活就是數學,數學就是生活!

關于生活中的有趣命題,讀者還可瀏覽文獻[22].

題目58 (2016年高考上海卷文科、理科第20題)有一塊正方形菜地EFGH,EH所在直線是一條小河,收獲的蔬菜可送到F點或河邊運走.于是,菜地分為兩個區域S1和S2,其中S1中的蔬菜運到河邊較近,S2中的蔬菜運到F點較近,而菜地內S1和S2的分界線C上的點到河邊與到F點的距離相等.現建立平面直角坐標系,其中原點O為EF的中點,點F的坐標為(1,0),如圖46所示.

(1)求菜地內的分界線C的方程;

圖46

(2)菜農從蔬菜運量估計出S1面積是S2面積的兩倍,由此得到S1面積的“經驗值”為設M是C上縱坐標為1的點,請計算以EH為一邊,另一邊過點M的矩形的面積,及五邊形EOMGH的面積,并判斷哪一個更接近于S1面積的“經驗值”.

答案(1)y2=4x(0＜y＜2).

評析本題的情景也指出了數學在生活中的指導作用(詳見文獻[23]).

題目59 (2006年高考北京卷文科、理科第8題)圖47為某三岔路口交通環島的簡化模型,在某高峰時段,單位時間進出路口A,B,C的機動車輛數如圖47所示,圖中x1,x2,x3分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(假設:單位時間內,在上述路段中,同一路段上駛入與駛出的車輛數相等),則( )

圖47

A.x1＞x2＞x3B.x1＞x3＞x2

C.x2＞x3＞x1D.x3＞x2＞x1

解C.依題意,有x1=50+x3?55=x3?5,所以x1＜x3;同理x2=30+x1?20=x1+10,所以x1＜x2;同理,x3=30+x2?35=x2?5,所以x3＜x2,.得x2＞x3＞x1.

評析本題雖然能列出三個方程,但不能求出x1,x2,x3的值,說明此題編的巧妙.這道題是生活中的交通擁堵問題.

題目60 (2012年高考北京卷第文科、理科第17題)近年來,某市為促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾箱,為調查居民生活垃圾分類投放情況,現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數據統計如下(單位:噸):

廚余垃圾箱可回收物箱其他垃圾箱廚余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60

(1),(2)略;

(3)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a＞0,a+b+c=600,當數據a,b,c的方差s2最大時,寫出a,b,c的值 (結論不要求證明),并求此時s2的值.(注:其中xˉ為數據x1,x2,...,xn的平均數.)

答案(3)當a=600,b=c=0時,s2取最大值,……且最大值是80000.

評析這道概率統計高考試題真可謂不可多得:注重概念,考查本質;多考點想,少考點算.本題是生活中的垃圾分類問題.

題目61 (2013年高考北京卷第16題)圖48是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖,空氣質量指數小于100表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.

圖48

(1)(理)求此人到達當日空氣重度污染的概率;(文)求此人到達當日空氣質量優良的概率;

(2)(理)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望;(文)求此人在該市停留時間只有1天空氣重度污染的概率;

(3)(文理)由圖48判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大?(結論不要求證明)

答案(1)(理)

(2)(理)X的分布列及期望分別為:

X0 1 2P5 4 4 13 13 13

(3)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.

評析本題緊扣時代脈搏,是首都北京當前極為關注的空氣質量問題.

下面,我們再來欣賞筆者編擬的四道原創數學文化高考模擬題:

題目62 中國自古便有十天干(即甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸)與十二地支(即子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥).天干地支紀年法,是把天干中排奇數號的(即甲,丙,戊,庚,壬)與地支中排奇數號的(即子,寅,辰,午,申,戌)任意搭配,但天干在前地支在后(比如甲子,甲寅等等);或把天干中排偶數號的(即乙,丁,己,辛,癸)與地支中排偶數號的(即丑,卯,巳,未,酉,亥)任意搭配,也是天干在前地支在后.

(1)在天干地支紀年法中,共有___種情形;

(2)人們還發明了由公元紀年(不包括公元3年以前的情形)計算出其天干地支紀年的方法:先用公元紀年數減去3后再除以10所得的余數就是所對應的天干(對應法則是1, 2,3,4,5,6,7,8,9,0分別對應甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸),再用公元紀年數減去3后再除以12所得的余數就是所對應的地支(對應法則是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0分別對應子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥).用這種算法可得公元2017年也是丁酉年.已知G先生生于公元1972年2月某日,請問G先生生于天干地支紀年中的____年.

解(1)60.由分步乘法計數原理可知,奇數號的搭配是5×6種情形,偶數號的搭配也是5×6種情形.所以所求答案是5×6×2=60.

(2)壬子.

題目63 在我國的二十四節氣(春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連,秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒)中,單數的叫節氣,雙數的叫中氣,并按中氣的順序確定月序,比如第一個中氣是雨水,所以凡是有雨水的月就是正月;第二個中氣是春分,所以凡是有春分的月就是二月.二十四節氣的公歷日期是比較穩定的,比如雨水在2月18～20日,春分在3月20日～22日,夏至在6月21日～22日.有雨水的月是正月,但雨水在正月的哪一天并不是固定的.從理論上來說,雨水可以在正月中的任意一天.請問:從理論上來說,春節的公歷日期范圍是____月____日～____月____日.

解1,20,2,20.若正月初一是雨水,則可得公歷最晚的春節是2月20日(1920年和1985年的2月20日都是春節,并且又是雨水);若正月三十是雨水,則可得公歷最早的春節是元月20日(正月三十是雨水2月18日,正月十三是2月1日,正月十二是元月31日,正月初一是元月20日;筆者在文獻[24]中查得:在1920～2040年中,公歷最早的春節是1966年元月21日,這一年2月19日是雨水,也是正月30).

(關于此題的背景可詳見拙文[25].)

題目64 18位身份證標準在國家質量技術監督局于1999年7月1日實施的GB11643-1999《公民身份號碼》中做了明確的規定.身份證號碼共18位數字,前六位數字是地址碼(其中頭兩位數字是省級行政區的代碼,中間兩位數字是地級行政區的代碼,最后兩位數字是縣級行政區的代碼),接下來的八位數字是出生日期碼(其中頭四位數字是出生的年份,再兩位數字是出生的月份,最后兩位數字是出生的日期),再接下來的三位數字是順序碼(是計算機隨機產生的,但男性的這三位數字的最后一位是奇數,女性的則是偶數),最后一位數字是校驗碼.校驗碼是由前面的十七位數字計算出來的.具體的算法是:先用前17位數字分別與7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2(這幾個數分別是217,216,215,214,213,212,211,210,29,28,27,26,25,24,23,22,21除以11所得的余數)相乘再求和,再求出求得的和被11除所得的余數,最后由下面的表格找到這個余數對應的數,該數就是該身份證的校驗碼:

余數0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10校驗碼1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2

班主任G曾遇到了不少學生在填表時不知道自己身份證號碼的最后一位的情形,并且教他們用上面的方法都輕松解決了.比如,g同學只知道自己身份證前17位號碼是42032420010125,則g同學身份證號碼的最后一位號碼是____;l同學只知道自己身份證前17位號碼是11010619970214035,則l同學身份證號碼的最后一位號碼是____.

解X,9.

第一空:先用g同學身份證號碼的前17位數字分別與 7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2相乘再求和: 4×7+2×9+0×10+3×5+2×8+4×4+2×2+0×1+0×6+ 1×3+0×7+1×9+2×10+5×5+0×8+0×4+1×2=156.再求出求得的和156被11除所得的余數是2,最后由上面的表格找到余數2對應的數是X,得X就是g同學身份證的校驗碼即最后一位號碼.

第二空:同理可求.

(關于此題的背景可詳見拙文[26];關于書號、刊號的校驗碼,讀者還可瀏覽[27].)

最后,再略談一下關于數學文化高考試題的備考策略:

(1)要重視閱讀理解.比如老師在教學時要帶領學生讀題、摘錄題目已知條件,做好審題環節,而審題的第一步又是讀題,但要研讀、精讀,絕不是語文中的“大閱讀”、“快速瀏覽”,這樣只會把題目做錯.

(2)要做有心人.若有時間的話,盡可能的瀏覽一點中國古代數學名著,做一點歷年的數學文化高考試題,關注一些生活問題,特別是社會熱點:垃圾分類、交通擁堵等等.

(3)要有平常心.一般來說,數學文化高考試題都是中檔題,不會太難為考生,把這些問題提煉后都是常見的數學問題,這也說明數學文化高考試題與其他數學高考試題沒有本質的區別,所以若時間很緊的話,就不必要刻意準備.

[1]張奠宙.多一點數學文化的考題[J].數學教學,2015(9):封底

[2]甘志國.高考壓軸題(上)[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社, 2015.28-29

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[13]甘志國.充滿猜想的回文數[J].中學數學教學,2012(5):58-59

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*該文為連載文章,共有三個部分,這是其中的第III部分—編者注.