從一道概率調研題反思“古典概型”的教學

江蘇省鎮江市丹徒高級中學(212133) 劉佳 范習昱

從一道概率調研題反思“古典概型”的教學

江蘇省鎮江市丹徒高級中學(212133) 劉佳 范習昱

原題再現(南通市2013屆高三第二次調研測試第12題)設數列{an}滿足:a3=8,(an+1?an?2)(2an+1?an)=0(n∈N?),則a1的值大于20的概率為____.

1.引子從整個試卷來看,本題并不是填空題中的難題,然而從我校高三學生得分情況看,卻是填空題得分最低的.我校強化班的學生甚至得分在130以上(不含附加)的尖子生也在此題上栽了跟頭.是什么原因導致的呢?我不禁思考起來……,先看看學生的典型錯解.

2.典型錯解若an+1?an?2=0,即an+1?an=2,故數列{an}成等差數列,且公差為2.由于a3=8,故a2=6,a1=4.若2an+1?an=0,故數列{an}成等比數列,且公比為又a3=8,故a2=16,a1=32.所以a1的值大于20的概率為

3.錯解分析學生的解答貌似正確,其實不然,錯誤隱蔽性極強.(an+1?an?2)(2an+1?an)=0意味著an+1?an?2=0或2an+1?an=0,但這并不意味著a1的值只有兩個,即基本事件總數不是2.細看學生的解答過程,他們至少犯了三個錯誤:(1)將概率問題完全當成數列問題求解,無視概率問題求解的特殊性;(2)默認數列是等差數列或等比數列,邏輯推理不嚴謹;(3)樣本空間不明,基本事件個數求錯,思維不嚴密.事實上,由a3= 8求解a2時,數列成等差還是等比是等可能的,分別為 6和16.再由a2= 6求解a1時,同樣有兩個值 4和 12;再由a2=16求解a1時,也有兩個值 32和 14. 因此a1的值有四個,即基本事件總數為4.如圖給出列表.a1的四個取值都是等可能的,由“古典概型”求解原理容易求得a1的值大于20的概率

_a__ _ 3a2__ __a1__ ____ ___86_ __4_ ____ ___86__ _12_ __8 16_ _32_ ____ _816_ _14_

不是很難的概率題學生為什么大面積犯錯?撇開學生因素,我們教師是否在講授概率新課時存在某些方面的偏差或不足?我繼續思考……

4.對“古典概型”教學的反思

4.1 正確理解“古典概型”等相關概念在解決有關概率問題時,學生常常由于對概念理解不深刻,經常會產生錯算基本事件個數的情況.這時,首先應該讓學生注意題目給出的是要做一種怎樣的實驗,這是計算基本事件個數的一個關鍵.在計算“古典概型”的概率時,要根據問題的實際情況認真分析研究問題的條件,弄清基本事件空間是什么,只有這樣才能正確地算出基本事件的總數及所研究事件中包含基本事件數,才能在計算中保證不出錯誤或者少出錯誤.

本題中學生失誤根本原因在于沒有弄清題目給出的背景是要做一種怎樣的實驗,導致計算基本事件總數出錯.事實上,本題之所以符合隨機試驗在于由a3=8去求a2的值時(由a2求a1也一樣),可以隨機地由an+1?an?2=0或2an+1?an=0去求,即本題是這樣一個實驗:已知a3=8,尋找a1使(an+1?an?2)(2an+1?an)=0,不難理解a1的值出現多少次(并非是a1的值的個數)就有多少個基本事件.如果能明白這一點,就不會僅僅按等差或等比數列去求a1的值了.

再者,教師心中需要對基本事件的特征有清楚的認識,即基本事件有兩個本質特征:互斥性和可表示性.這兩個特征保證了可以用基本事件或基本事件的并(和)表示該隨機試驗中的每一隨機事件(除了不可能事件),而“不能再分”不是基本事件的特征.假設修改本題條件求得a1的值是4,12,12,32共四個值,那答案依然是

4.2 注重“古典概型”問題的知識結構和求解模式(1)首先明確“古典概型”的定義:一類隨機現象是否符合古典概型,要求隨機試驗滿足兩個條件:a.樣本空間中含有有限個樣本點;b.每個基本事件發生的可能性相等.

(2)“古典概型”的概率公式:事件A包含的基本事件的個數m,基本事件的總數n,則P(A)=

(3)求古典概率的一般步驟:a.弄清題目的背景材料,題目蘊含著一種怎樣的實驗;b.判斷是否為等可能事件,設出所求事件A;c.分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m;d.用公式P(A)=求出事件A的概率.

本題中學生失誤的直接原因在于沒有深刻領會“古典概型”問題的求解原理和模式,而是當成了數列討論題求解,沒有考慮到概率問題求解的特殊性.我想,教師有沒有嚴格按照上述模式示范給學生呢?

4.3 新課程要求“古典概型”教學中應貫徹列舉法基于計數原理、排列組合知識要求的下降(江蘇高考理科要求降低,文科取消),江蘇高考對“古典概型”的考查已經摒棄繁雜的計算,回歸概念的理解和列舉法的運用.教師在教學中應貫徹列舉法解決“古典概型”的基本方法,特別是教會學生圖表法這一具體操作技巧,有效防止學生漏寫或重復一些基本事件.

圖表法,就是用圖表的形式把“古典概型”的某次試驗的所有等可能的基本事件利用圖表的形式都呈現出來,并從圖表中找出某一事件所包含的基本事件個數.從而利用“古典概型”求概率的公式得到該事件的概率.圖表法處理“古典概型”問題,既快又準,簡潔明了,是教師優先也是重點教給學生的方法.在教學實踐中,列表法和樹狀圖是圖表法最為學生容易接受的.

本題中學生失誤的間接原因在于沒有按照概率問題的求解模式依據題意實施列舉法枚舉基本事件.

綜上所述,“古典概型”教學中應該大力貫徹列舉法.

4.4 “古典概型”的隨機事件背景要創新當然,講授“古典概型”重點在于講解幾類基本的概率模型(如摸球模型、擲骰子模型、抽樣模型等),然而教師也要關注概率與其他知識的有機整合的問題.高中概率知識的考查離不開一定的載體背景,他除了借助生活實際情形出現之外,還可以借助其他所有高中知識命題出現.現摘錄幾道如下:

1.(2012年江蘇高考第6題)現有10個數,它們能構成一個以1為首項,?3為公比的等比數列,若從這10個數中隨機抽取一個數,則它小于8的概率是___.

2.曲線C的方程為其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},則曲線C表示其焦點位于x軸上的橢圓的概率為___..

3.將一個質地均勻的正方體(六個面上分別標有數字0,1,2,3,4,5)和一個正四面體(四個面分別標有數字1,2,3,4)同時拋擲一次,規定“正方體向上的面數字為a,正四面體的三個側面上的數字之和為b,得復數z=a+bi,求復數在復平面內對應點(a,b)滿足a2+(b?6)2≤9的概率.

[1]張利輝.關于古典概型的幾點教學體會[J].語數外學習,2012,8.

[2]歐陽昌超.一表解千愁[J].中學數學教學,2006,5.