例析“放縮法”巧證函數(shù)不等式

廣州市廣東廣雅中學(xué)(510160) 徐廣華

例析“放縮法”巧證函數(shù)不等式

廣州市廣東廣雅中學(xué)(510160) 徐廣華

1 證明函數(shù)不等式恒成立的三種思想方法

一般來(lái)說(shuō),證明函數(shù)不等式f(x)＞g(x)恒成立,有如下三種思想方法:

方法一“移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法”:設(shè)F(x)=f(x)?g(x),則f(x)＞g(x)恒成立,等價(jià)于F(x)＞0恒成立,若F(x)存在最小值,則等價(jià)于F(x)min＞0.

說(shuō)明盡管F(x)存在最小值,但有些時(shí)候方程F′(x)=0的根(極值點(diǎn))解不出來(lái),此時(shí)往往借助零點(diǎn)存在性定理和F′(x)的單調(diào)性,先證明方程F′(x)=0有唯一實(shí)根x0,然后用“設(shè)而不求”的方法,證明F(x)min=F(x0)＞0,這里要利用F′(x0)=0進(jìn)行轉(zhuǎn)化替換.

方法二“放縮法”:先證f(x)＞h(x)恒成立,再證h(x)＞g(x)恒成立,則有f(x)＞h(x)＞g(x),故f(x)＞g(x)恒成立.

說(shuō)明若f(x)≥h(x)恒成立,h(x)≥g(x)恒成立,且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立的話,顯然也有f(x)＞g(x)恒成立.放縮法證明的關(guān)鍵是找到一個(gè)介于f(x)與g(x)之間的“中介”函數(shù)h(x),這里我們稱h(x)是函數(shù)f(x)與g(x)的“隔離”函數(shù).

方法三轉(zhuǎn)化為證其充分條件:若f(x)存在最小值,g(x)存在最大值,且有f(x)min＞g(x)max,則f(x)＞g(x)恒成立.

說(shuō)明f(x)min＞g(x)max是f(x)＞g(x)恒成立的一個(gè)充分不必要條件.若f(x)min=g(x)max,f(x)min=f(x1),g(x)max=g(x2)且x1≠x2,顯然也有f(x)＞g(x)恒成立.若f(x)不存在最小值,或g(x)不存在最大值,可將不等式f(x)＞g(x)適當(dāng)移項(xiàng)變形,等價(jià)轉(zhuǎn)化為φ(x)＞ψ(x)恒成立,若φ(x)min＞ψ(x)max,則f(x)＞g(x)恒成立.方法三也可看作是方法二的特例,其證明流程是:f(x)≥f(x)min＞g(x)max≥g(x),故有f(x)＞g(x)恒成立.這里,f(x)min和g(x)max是函數(shù)f(x)與g(x)的兩個(gè)“隔離”常函數(shù).

以上三種方法中,方法一是通法,思路自然,但極值點(diǎn)解不出來(lái)時(shí)就比較麻煩;方法二、方法三是巧法,技術(shù)含量較高,找“隔離”函數(shù)、適當(dāng)移項(xiàng)變形是難點(diǎn).

2 放縮法證明函數(shù)不等式中常用的重要不等式

一般情況下,我們常利用如下重要結(jié)論對(duì)函數(shù)進(jìn)行放縮,尋找合適的“隔離”函數(shù):

推論1-1＜ln(x+1)＜x(x＞0).

推論1-2 1?≤lnx≤x?1(x＞0),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立.

②ex≥x+1(x∈R),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

推論2ex＞x+1(x＞0).

③ex≥ex(x＞0),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立.

推論3-1

推論3-2

以上結(jié)論及其推論都可利用“移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法”容易證明.(證明過(guò)程略)

證法一 數(shù)學(xué)歸納法.(證明過(guò)程略)

證法二 商比較法.(最優(yōu)解法)

將不等式右邊除以左邊,作商構(gòu)造函數(shù)

則當(dāng)x＞0時(shí),F(x)單調(diào)遞減,故F(x)＜F(0)=1,故④左邊＞右邊.

⑤ex＞lnx+2(x＞0).

略證 放縮法,先證:當(dāng)x＞0時(shí),ex＞x+1(推論2);再證:x+1≥lnx+2,即lnx≤x?1(推論1-2),故有ex＞lnx+2(x＞0).

熟練記憶以上重要結(jié)論及其推論,很有必要,因?yàn)橛辛诉@些知識(shí)積累,才有可能縮短思維的長(zhǎng)度,從而快速找到放縮法證明函數(shù)不等式的“隔離”函數(shù).

3 關(guān)于常見函數(shù)最值的重要結(jié)論

熟悉以上常見函數(shù)的最值結(jié)論(知識(shí)儲(chǔ)備),可以幫助我們快速想到如何將函數(shù)不等式適當(dāng)移項(xiàng)變形,然后轉(zhuǎn)化為用方法三來(lái)證明等價(jià)變形后的不等式恒成立.

4 例析放縮法證明函數(shù)不等式

例1.(2010全國(guó)理20)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?x+1.

(I)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;

(II)證明:(x?1)f(x)≥0.

分析(I)略.

②當(dāng)x=1時(shí),f(x)=0;③當(dāng)0＜x＜1時(shí),由推論1-2得:f(x)＜(x+1)(x?1)?x+1=x(x?1)＜0.綜上, (x?1)f(x)≥0.

例2.(2012遼寧理21)設(shè)曲線y=f(x)與直線在(0,0)相切.

(I)求a,b的值;

(II)證明:當(dāng)0＜x＜2時(shí),

分析(I)a=0,b=?1.(過(guò)程略)

例3.(2014福建理20)已知函數(shù)f(x)=ex?ax在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為?1.

(I)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;

(II)證明:當(dāng)x＞0時(shí),x2＜ex;

(III)證明:對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,使得當(dāng)x∈(x0,+∞),恒有x2＜cex.

(I)求a,b;(II)證明:f(x)＞1.

分析(I)a=1,b=2(過(guò)程略).(II)

評(píng)注從上可知,這道2017廣州一模文、理壓軸21題的題源就是2014全國(guó)課標(biāo)I卷理21題.

例5.(2016山東卷理20)已知f(x)=a(x?lnx)+

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

等號(hào)成立),故要證(??)成立,只要證

且等號(hào)不在x=1時(shí)取得.去分母,只要證:當(dāng)1≤x≤2時(shí),3x3?6x2?2x+4≤ 0,左邊分解因式,只要證(3x2?2)(x?2)≤0.因?yàn)?≤x≤2,所以3x2?2＞0,x?2≤0,故(3x2?2)(x?2)≤0,且x=2時(shí)取等號(hào),得證!

例6. (2016廣州一模理 21)已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值;

(II)當(dāng)m≥1時(shí),證明:f(x)＞g(x)?x3.

分析(I)略.(II)f(x)＞g(x)?x3等價(jià)于ex+m＞ln(x+1)+2.當(dāng)m≥1時(shí),ex+m≥ex+1(簡(jiǎn)單放縮),故只要證ex+1＞ln(x+1)+2.令t=x+1＞0,則只要證et＞lnt+2.

評(píng)注顯見此題的題源是:

(2013全國(guó)卷II理21)已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m).

(I)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;(II)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)＞0.

分析(I)略.(II)當(dāng)m≤2時(shí),ln(x+m)≤ln(x+2)(簡(jiǎn)單放縮),則f(x)≥ex?ln(x+2),故要證f(x)＞0,只要證ex＞ln(x+2).用放縮法,先證ex≥x+1(x＞?2),當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào);再證x+1≥ln(x+2)(x＞?2),當(dāng)x=?1時(shí)取等號(hào)(過(guò)程略);從而ex＞ln(x+2).

例7. (2016佛山二模理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b?xlnx(a＞0),g(x)=若直線y=e?x是曲線C:y=f(x)的一條切線,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),且f(1)=1.

(I)求a,b的值;(II)設(shè) 0＜n＜m＜1,證明:f(m)＞g(n).

分析(I)a=1,b=0(過(guò)程略).(II)由(I)知,f(x)=x?xlnx,則f′(x)=1?(1+lnx)=?lnx,當(dāng)0＜x＜1時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)?＜n＜m＜1,所以f(m)＞f(n).故要證0＜n＜m＜1時(shí)f(m)＞g(n),只要證0＜n＜1時(shí)f(n)＞g(n)(利用單調(diào)性放縮).

則當(dāng)0＜n＜1時(shí),F(n)單調(diào)遞減,故F(n)＞F(1)=0,即f(n)＞g(n)成立,得證!

例8.(2016武漢四月理21)已知函數(shù)f(x)=x2ex?lnx.

(I)當(dāng)x≥1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;

(II)證明:當(dāng)x＞0時(shí),不等式f(x)＞1恒成立.

分析(I)略.(II)思路一:當(dāng)x＞0時(shí),不等式

思路二:當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1?x2ex?lnx?1＞0.易證:ex≥ex(x＞0),故x2ex?lnx≥ex3?lnx,設(shè)h(x)=ex3?lnx(x＞0),可得:

而當(dāng)x∈(0,m+1]時(shí),h(x)max=h(m+1)=m+2≤所以g(x)min＞h(x)max,故g(x)＞h(x)恒成立,從而f(x)＞x恒成立.

例10. (2016邯鄲一模理21)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx+b,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y?2=0.

(I)求y=f(x)的解析式;(II)證明:

分析(I)f(x)=(x?2)lnx+1.(過(guò)程略)(II)易證ex＞x+1(x＞0),故等價(jià)于

因?yàn)閤?ex＜?1,所以只要證(x?2)lnx＞?1(x＞0).①當(dāng)x≥2時(shí),(x?2)lnx≥0＞?1,不等式顯然成立.②當(dāng)0＜x＜2時(shí),只要證

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí),g′(x)＞0;當(dāng)1＜x＜2時(shí),g′(x)＜0;所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)max=?1＜0,故g(x)＜0,則(1)成立,得證!另法:根據(jù)推論1-2:lnx≤x?1,要證只要證只須證

通過(guò)以上的例子我們不難發(fā)現(xiàn),不等式的證明常作為高考、模擬考中函數(shù)導(dǎo)數(shù)的壓軸題,雖然有一定的難度,技巧性較高,但我們將證明數(shù)列不等式中的“放縮法”遷移到證明函數(shù)不等式后,依然可見其“四兩撥千斤”般強(qiáng)大的“威力”.至于如何才能做到精妙準(zhǔn)確的放縮,這需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中重視知識(shí)的儲(chǔ)備和方法的積累,通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s和轉(zhuǎn)化,化繁為簡(jiǎn),達(dá)到事半功倍的效果.