利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)研究*
——以區(qū)間累積型產(chǎn)品為例

哈爾濱工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 呂彥昭 伍曉靜 原藝

利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)研究*
——以區(qū)間累積型產(chǎn)品為例

哈爾濱工程大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 呂彥昭 伍曉靜 原藝

利率掛鉤產(chǎn)品是市場(chǎng)上重要的結(jié)構(gòu)性金融產(chǎn)品，其公平定價(jià)是買賣雙方關(guān)注的重點(diǎn)。本文通過(guò)構(gòu)建利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的一般模式，從而為此類產(chǎn)品進(jìn)行公平定價(jià)。該產(chǎn)品定價(jià)的一般模式包括利率期限結(jié)構(gòu)的確定、產(chǎn)品現(xiàn)金流的分解與確定、產(chǎn)品的定價(jià)、產(chǎn)品價(jià)格的敏感性分析等，使用LMM市場(chǎng)利率模型和蒙特卡羅模擬估計(jì)貼現(xiàn)率和掛鉤利率的期限結(jié)構(gòu)，從而確定產(chǎn)品未來(lái)現(xiàn)金流，將產(chǎn)品現(xiàn)金流貼現(xiàn)就得出產(chǎn)品的理論價(jià)格。選取區(qū)間累積型利率掛鉤產(chǎn)品作為樣本進(jìn)行定價(jià)。結(jié)果顯示：該產(chǎn)品為折價(jià)發(fā)行，值得投資者投資；敏感性分析結(jié)果顯示，價(jià)格與產(chǎn)品期限的變動(dòng)正相關(guān)，價(jià)格與貼現(xiàn)率及其波動(dòng)率的變動(dòng)負(fù)相關(guān)。

利率掛鉤產(chǎn)品 公平定價(jià) LMM模型 敏感性分析

一、引言

國(guó)內(nèi)金融產(chǎn)品市場(chǎng)日益活躍，結(jié)構(gòu)性金融產(chǎn)品蓬勃發(fā)展。截至2014年8月底，全國(guó)商業(yè)銀行結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品發(fā)行量已達(dá)1758個(gè)。2015年，銀率網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的32家商業(yè)銀行發(fā)行的結(jié)構(gòu)性理財(cái)產(chǎn)品總量為3754個(gè)，利率掛鉤型產(chǎn)品為發(fā)行量最大的結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品之一。因此，對(duì)該類產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)研究，在投資決策、金融產(chǎn)品研發(fā)等方面具有重要意義。

二、文獻(xiàn)綜述

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在利率掛鉤型產(chǎn)品的實(shí)證研究方面有較多的成果。在國(guó)外，Chen、Taylor和Wu（2001）研究市場(chǎng)指數(shù)聯(lián)動(dòng)債券的定價(jià)，并將MITTS視為零息債券與歐式買權(quán)的組合。Sascha、Carsten和Klaus（2003）使用歐洲期貨交易所的看漲期權(quán)，運(yùn)用復(fù)制技術(shù)比較結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品的價(jià)格，并分別從產(chǎn)品類型、基礎(chǔ)產(chǎn)品、發(fā)行者方向研究這些結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品的價(jià)格差異。Szymanowska、Horst和Veld（2007）發(fā)現(xiàn)阿姆斯特丹證券交易所的反向可轉(zhuǎn)換債券有5%水平的溢價(jià)率，而反向障礙可轉(zhuǎn)換債券卻是折價(jià)發(fā)行的。Wallmeier和Diethelm （2009）運(yùn)用Chen、Chung和Yang（2002）提出的多叉樹模型研究瑞士市場(chǎng)上嵌入障礙期權(quán)的多資產(chǎn)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)，認(rèn)為產(chǎn)品的定價(jià)與債券類型相關(guān)，投資者容易低估衍生部分價(jià)值而高估固定收益部分價(jià)值。在國(guó)內(nèi)，成黎明（2009）分別用HW模型、BDT模型和BK模型對(duì)我國(guó)市場(chǎng)上的含權(quán)債券進(jìn)行了定價(jià)。劉昭文（2010）用修正的Heston模型、馬爾科夫鏈的蒙特卡羅模擬方法對(duì)觸發(fā)式利率掛鉤產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。李勇飛、侯志強(qiáng)（2013）運(yùn)用最小二乘蒙特卡羅和Libor Market Model（LMM市場(chǎng)利率模型）對(duì)美式可贖回債券定價(jià)。孫學(xué)彬和潘永泉（2014）基于未校準(zhǔn)的LMM市場(chǎng)利率模型對(duì)一款區(qū)間累積利率掛鉤產(chǎn)品進(jìn)行了定價(jià)。

大多數(shù)研究將利率掛鉤產(chǎn)品拆解成“固定收益部分+期權(quán)部分”的形式，并分別進(jìn)行定價(jià)，其中的期權(quán)定價(jià)和利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)為研究的重點(diǎn)內(nèi)容。在期權(quán)的定價(jià)方面，經(jīng)典的B-S期權(quán)定價(jià)模型并不一定能準(zhǔn)確地描述各類標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過(guò)程，在實(shí)證研究中廣泛使用的是數(shù)值分析方法，包括樹圖方法、蒙特卡羅模擬和有限差分等。對(duì)于貼現(xiàn)率及掛鉤利率的估計(jì)，若想要模擬未來(lái)的利率變動(dòng)過(guò)程來(lái)得到未來(lái)利率的估計(jì)，動(dòng)態(tài)模型比靜態(tài)模型更好，其利率期限結(jié)構(gòu)會(huì)與市場(chǎng)真實(shí)情況更相近。對(duì)于需要估計(jì)遠(yuǎn)期利率的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，以基于刻畫遠(yuǎn)期利率變動(dòng)的HJM模型和LMM模型為佳，且LMM市場(chǎng)利率模型計(jì)算的利率更加貼近實(shí)際情況（LMM有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是LMM模型上的校準(zhǔn)比較容易；二是LMM模型是建立在市場(chǎng)上可以觀察到的利率的基礎(chǔ)上）。對(duì)于結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)的研究，學(xué)者普遍從敏感性分析和避險(xiǎn)參數(shù)分析兩方面著手，但專門對(duì)利率掛鉤產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)的研究較少。本文嘗試構(gòu)建利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的一般模式，使用LMM市場(chǎng)利率模型和蒙特卡羅模擬，選取區(qū)間累積型利率掛鉤產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，并運(yùn)用敏感性分析方法來(lái)分析利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的影響因素。

三、利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的一般模式

一般情況下，結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品定價(jià)模式主要由現(xiàn)金流的分解與確定、貼現(xiàn)率的確定、產(chǎn)品定價(jià)三部分組成。而利率掛鉤產(chǎn)品需要估計(jì)收益率的掛鉤利率，這是利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)區(qū)別于其他類型產(chǎn)品定價(jià)之處，對(duì)掛鉤利率的估計(jì)與對(duì)貼現(xiàn)率的估計(jì)方法相同，可以把二者計(jì)算步驟合并。另外為探究各變量對(duì)定價(jià)的影響，應(yīng)增加敏感性分析部分。因此，本文構(gòu)建了利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的一般模式，其具體步驟包括：第一步，利率期限結(jié)構(gòu)的確定：選擇LIBOR市場(chǎng)利率模型估計(jì)出所需的掛鉤利率和貼現(xiàn)率；第二步，產(chǎn)品現(xiàn)金流的分解與確定：將產(chǎn)品未來(lái)現(xiàn)金流拆分為“固定收益證券+利率期權(quán)”的形式，分別確定兩部分的現(xiàn)金流或收益率、現(xiàn)金流發(fā)生的時(shí)間；第三步，產(chǎn)品的定價(jià)：用估計(jì)出的貼現(xiàn)率將固定收益部分和期權(quán)部分的現(xiàn)金流貼現(xiàn)，加總即得到產(chǎn)品的理論價(jià)格；第四步，敏感性分析：改變定價(jià)中各輸入變量數(shù)據(jù)，分析它們的變化對(duì)價(jià)格的影響情況。

（一）利率期限結(jié)構(gòu)的確定

（1）利率模型的選擇。利率模型選擇的標(biāo)準(zhǔn)主要是計(jì)算結(jié)果盡量與市場(chǎng)利率的期限結(jié)構(gòu)相符，并且模型盡量簡(jiǎn)單且有效。本文選用動(dòng)態(tài)利率模型，考慮利率的均值回復(fù)特性，增加了對(duì)利率動(dòng)態(tài)變化的刻畫。本文選擇Brace、Gatarek和Musiela（1997）等提出的LIBOR市場(chǎng)利率模型（簡(jiǎn)稱LMM模型或BGM模型）。其優(yōu)點(diǎn)在于：它用金融市場(chǎng)上可以直接觀測(cè)到的利率和市場(chǎng)隱含波動(dòng)率作為輸入?yún)?shù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與市場(chǎng)實(shí)際情況更加吻合；模型考慮利率的均值回復(fù)性，波動(dòng)率模型可以單獨(dú)設(shè)置；模型適用于描述遠(yuǎn)期利率的動(dòng)態(tài)變化，比同樣刻畫遠(yuǎn)期利率動(dòng)態(tài)過(guò)程的HJM（1992）模型簡(jiǎn)單實(shí)用。

（2）利率期限結(jié)構(gòu)的計(jì)算。利率期限結(jié)構(gòu)的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。首先，要確定模型所需的期初遠(yuǎn)期利率，可以用市場(chǎng)上的利率報(bào)價(jià)作為即期利率計(jì)算遠(yuǎn)期利率，也可以用國(guó)債報(bào)價(jià)計(jì)算出的國(guó)債收益率曲線作為即期利率。其次，波動(dòng)率的期初數(shù)據(jù)可通過(guò)計(jì)算歷史波動(dòng)率或隱含波動(dòng)率獲得，而由于市場(chǎng)上遠(yuǎn)期利率波動(dòng)率是時(shí)變的，需選取適當(dāng)?shù)牟▌?dòng)率模型描述未來(lái)波動(dòng)率的形式以代入利率模型。最后，由于較復(fù)雜的利率模型的方程沒(méi)有顯示解，需選用數(shù)值方法來(lái)計(jì)算，本文選擇蒙特卡羅模擬法進(jìn)行計(jì)算，該方法計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便、適合路徑依賴型期權(quán)定價(jià)。圖1描述了利率期限結(jié)構(gòu)的計(jì)算過(guò)程，其中虛線表示該過(guò)程的樣本選取與計(jì)算方法并不唯一。

圖1 利率模型的一般計(jì)算過(guò)程

一是期初利率期限結(jié)構(gòu)的確定。對(duì)于LMM模型，其期初的輸入數(shù)據(jù)是0時(shí)觀察的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，若要求得瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，則需先得出期初的即期利率曲線。

期初即期利率曲線的計(jì)算，即期利率曲線的估計(jì)主要運(yùn)用靜態(tài)利率模型。當(dāng)能夠從市場(chǎng)上獲取離散的即期利率時(shí)，可直接采用曲線擬合的方法求出即期利率曲線。由于掛鉤利率有每日市場(chǎng)報(bào)價(jià)，因而選取這種方法估計(jì)掛鉤利率的即期利率曲線。當(dāng)市場(chǎng)上不能獲取即期利率報(bào)價(jià)時(shí)，就需運(yùn)用息票剝離法計(jì)算國(guó)債市場(chǎng)的即期利率，而后運(yùn)用曲線擬合方法求出即期利率曲線，這里運(yùn)用三次樣條函數(shù)描述國(guó)債即期利率曲線。貼現(xiàn)率的即期利率用此方法計(jì)算。

期初遠(yuǎn)期利率的計(jì)算。得到期初即期利率曲線之后，就可求出相應(yīng)的期初遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)。在連續(xù)計(jì)息假設(shè)下，由即期利率計(jì)算遠(yuǎn)期利率的公式為：

其中，r1是［0，t1］期間的即期利率，r2是［0，t2］期間的即期利率，f1，2是［t1，t2］期間的遠(yuǎn)期利率。這里的利率都為連續(xù)復(fù)利計(jì)息的利率。

二是波動(dòng)率的確定。標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率是結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品定價(jià)的一個(gè)重要輸入變量。本文中掛鉤的遠(yuǎn)期利率波動(dòng)率選擇隱含波動(dòng)率，貼現(xiàn)率波動(dòng)率則選擇國(guó)債市場(chǎng)歷史波動(dòng)率。

利用利率上限期權(quán)報(bào)價(jià)（Cap）求隱含波動(dòng)率。當(dāng)市場(chǎng)上存在相關(guān)利率期權(quán)報(bào)價(jià)時(shí)，可通過(guò)它們求得隱含波動(dòng)率。由于利率上限期權(quán)（Cap）存在市場(chǎng)報(bào)價(jià)，用其價(jià)格可求出隱含波動(dòng)率。利率上限期權(quán)（Cap）是由一系列不同時(shí)間段、相同執(zhí)行價(jià)的利率上限子期權(quán)（Caplet）組成的利率衍生產(chǎn)品，它在利率上升時(shí)會(huì)鎖定最高利率來(lái)保護(hù)浮動(dòng)利率債務(wù)。利率上限子期權(quán)則是基于短期利率（浮動(dòng)利率）的看漲期權(quán)。一般，Cap的市場(chǎng)報(bào)價(jià)是波動(dòng)率的報(bào)價(jià)，此時(shí)一般用BS模型計(jì)算出Cap的期權(quán)價(jià)格。由于Cap由一系列Caplet組成，所以Cap的價(jià)格是一系列Caplet價(jià)格之和。Caplet是一種歐式期權(quán)，它的價(jià)格可以由BS模型計(jì)算，0時(shí)觀察的［Ti-1，Ti］Caplet價(jià)格公式為

其中，j表示Caplet的總期數(shù)。另外，可以由Cap的報(bào)價(jià)波動(dòng)率計(jì)算它的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格，公式為

其中為［Ti-1，Ti］期間Cap的報(bào)價(jià)波動(dòng)率。在無(wú)套利條件下，Cap的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格相等，就可由Cap報(bào)價(jià)計(jì)算隱含波動(dòng)率νi。

遠(yuǎn)期波動(dòng)率形式。為應(yīng)用LMM模型，需確定波動(dòng)率在遠(yuǎn)期的變化形式。為簡(jiǎn)化模型的參數(shù)估計(jì)，通常假設(shè)遠(yuǎn)期波動(dòng)率為分段常數(shù)形式，波動(dòng)率與其所在的時(shí)間有關(guān)。Brigo和Mercurio（2001）將分段常數(shù)形式的波動(dòng)率歸納為五種不同的形式，本文選擇常用的只與剩余期限有關(guān)的遠(yuǎn)期波動(dòng)率模型，該模型參數(shù)估計(jì)較少，計(jì)算方便。

假設(shè)遠(yuǎn)期利率距離到期日的時(shí)長(zhǎng)是影響波動(dòng)率的唯一因素，且分段常數(shù)形式的遠(yuǎn)期波動(dòng)率在每個(gè)期間（Tm-2，Tm-1］內(nèi)為常數(shù)，Tm-2

該模型的波動(dòng)率中所需要估計(jì)的變量只有M個(gè)，為η1，η2，...，ηm。波動(dòng)率數(shù)據(jù)來(lái)源于市場(chǎng)上的利率上限期權(quán)報(bào)價(jià)Cap的隱含波動(dòng)率。

三是利率模型的計(jì)算。利率模型的計(jì)算主要有偏微分方程法、樹圖法、有限差分法以及蒙特卡羅模擬。實(shí)證分析中選取一款區(qū)間累積型利率掛鉤產(chǎn)品，該產(chǎn)品的收益率取決于掛鉤利率處于設(shè)定區(qū)間內(nèi)的天數(shù)，因而收益的計(jì)算具有路徑依賴的特點(diǎn)，由此選擇蒙特卡羅模擬方法來(lái)估計(jì)未來(lái)利率走勢(shì)。該方法的基本思想是：對(duì)所求的問(wèn)題建立隨機(jī)概率模型，使它的某些變量是問(wèn)題的解，由于隨機(jī)概率模型可由各種概率分布構(gòu)成，通過(guò)產(chǎn)生已知隨機(jī)概率的隨機(jī)數(shù)計(jì)算變量的統(tǒng)計(jì)特征，得出求解變量的近似值。在估計(jì)利率走勢(shì)中，蒙特卡羅方法首先通過(guò)生成隨機(jī)數(shù)模擬利率變化的多個(gè)路徑，從而計(jì)算出利率走勢(shì)的期望及產(chǎn)品現(xiàn)金流入的期望值，即得到利率期權(quán)的價(jià)格。

（二）產(chǎn)品現(xiàn)金流的分解與確定產(chǎn)品現(xiàn)金流的分解分為以下幾步：

（1）將產(chǎn)品的現(xiàn)金流分解為固定收益證券和利率期權(quán)兩部分，這里的固定收益部分多為零息債券和附息債券的形式，而利率期權(quán)則有很多種，如看漲/看跌歐式期權(quán)，障礙期權(quán)、亞式期權(quán)等。

（2）根據(jù)產(chǎn)品收益的特點(diǎn)確定固定收益部分現(xiàn)金流發(fā)生的時(shí)間以及相應(yīng)的現(xiàn)金流大小，現(xiàn)金流大小可根據(jù)息票率求得，息票率一般是利率掛鉤產(chǎn)品的最低收益率；

（3）剔除固定收益部分未來(lái)現(xiàn)金流，剩余部分為期權(quán)未來(lái)現(xiàn)金流?，F(xiàn)金流發(fā)生的時(shí)間及計(jì)算方式可根據(jù)具體產(chǎn)品直接獲得，而現(xiàn)金流的數(shù)額則取決于掛鉤利率。

（三）產(chǎn)品的定價(jià)理論上，任何一種金融產(chǎn)品的價(jià)值等于該產(chǎn)品給投資者帶來(lái)的未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值。對(duì)產(chǎn)品固定收益部分和利率期權(quán)部分的定價(jià)也應(yīng)用這種思想，用估計(jì)出來(lái)的貼現(xiàn)率將估計(jì)的全部現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)，所得現(xiàn)值之和即為利率掛鉤產(chǎn)品的理論價(jià)格。

（四）產(chǎn)品價(jià)格的敏感性分析由于在產(chǎn)品定價(jià)過(guò)程中，主要的輸入變量是掛鉤利率及其波動(dòng)率、貼現(xiàn)率及其波動(dòng)率的期初數(shù)據(jù)。為進(jìn)一步分析價(jià)格的影響因素，對(duì)產(chǎn)品定價(jià)進(jìn)行敏感性分析，以考察輸入變量的改變對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響情況。

（1）掛鉤利率的變化會(huì)直接影響產(chǎn)品現(xiàn)金流，最終改變產(chǎn)品價(jià)格。但由于不同利率掛鉤產(chǎn)品的收益計(jì)算方式不同，最終價(jià)格的變化情況也不盡相同。例如，對(duì)于看漲類型的產(chǎn)品，掛鉤利率越高，收益就會(huì)越高，而對(duì)于看跌類型的產(chǎn)品則恰恰相反。

（2）掛鉤利率的波動(dòng)率也會(huì)對(duì)產(chǎn)品的價(jià)格產(chǎn)生影響，但它的變動(dòng)對(duì)不同類型產(chǎn)品的價(jià)格影響方式不同。例如對(duì)于區(qū)間累積型產(chǎn)品，若波動(dòng)率很大，則掛鉤利率超過(guò)預(yù)設(shè)利率范圍的機(jī)會(huì)大大增加，投資的收益就可能會(huì)因此減少。但對(duì)于一般看漲產(chǎn)品，波動(dòng)率只影響掛鉤利率的波動(dòng)程度，卻不能影響它的波動(dòng)方向，對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響方向則不甚明確。

（3）貼現(xiàn)率對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響源于貼現(xiàn)過(guò)程。當(dāng)期初利率期限結(jié)構(gòu)曲線向下平移時(shí)，意味著貼現(xiàn)率會(huì)降低，產(chǎn)品的價(jià)值則會(huì)隨之增加；當(dāng)曲線向上平移時(shí)，貼現(xiàn)率會(huì)升高，產(chǎn)品價(jià)值則隨之減少。

（4）與掛鉤利率波動(dòng)率相似，貼現(xiàn)率波動(dòng)率的變化也會(huì)影響產(chǎn)品的定價(jià)，但其只影響貼現(xiàn)率的波動(dòng)幅度而不能影響方向，因此無(wú)法從理論分析獲得它對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的作用情況，有待進(jìn)一步考察。

四、利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)案例

在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)中，區(qū)間累積型利率掛鉤產(chǎn)品是常見的產(chǎn)品類型。本文以平安銀行2014年發(fā)行的掛鉤LIBOR的區(qū)間累積型產(chǎn)品為例，應(yīng)用前文所構(gòu)建的定價(jià)模式對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。樣本產(chǎn)品是平安銀行“私人銀行專享”結(jié)構(gòu)類（掛鉤利率）2014年34期人民幣理財(cái)產(chǎn)品，存續(xù)期為185天，銷售期從2014年5月26日到2014年5月29日，產(chǎn)品投資期從2014年5 月30日（包括該日）到2014年12月1日（不包括該日）。產(chǎn)品的收益與國(guó)際市場(chǎng)美元3個(gè)月LIBOR掛鉤。另外，產(chǎn)品100%本金安全保障，衍生品部分投資于利率衍生產(chǎn)品市場(chǎng)。該產(chǎn)品的收益計(jì)算方法為：

投資者獲得的收益率=潛在年化收益率×（實(shí)際投資天/365）×（處于累積區(qū)間內(nèi)的日數(shù)/日歷數(shù)）

其中，累積區(qū)間為［0.00%-5.00%］（包括邊界），潛在年化收益率為4.80%。

（一）利率期限結(jié)構(gòu)的計(jì)算

（1）期初掛鉤利率的估計(jì)。在LMM模型計(jì)算中，首先計(jì)算期初即期利率。掛鉤利率LIBOR有每日市場(chǎng)報(bào)價(jià)，因報(bào)價(jià)利率是簡(jiǎn)單年利率，所以首先將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的利率。轉(zhuǎn)化后期初2014年5月26日的市場(chǎng)LIBOR數(shù)據(jù)見表1：

表1 LIBOR數(shù)據(jù)

由于需要得到期初即期利率曲線，基于三次樣條插值方法對(duì)離散的即期利率進(jìn)行插值，得出期初即期利率曲線。由于需要以3個(gè)月遠(yuǎn)期利率作為L(zhǎng)IBOR市場(chǎng)模型的輸入數(shù)據(jù)，因此根據(jù)公式（1）計(jì)算獲得產(chǎn)品發(fā)行當(dāng)日的3個(gè)月LIBOR遠(yuǎn)期利率曲線如圖2。

圖2 期初3個(gè)月期LIBOR遠(yuǎn)期利率曲線

（2）期初貼現(xiàn)率的估計(jì)。對(duì)于貼現(xiàn)率的估計(jì)，由于樣本產(chǎn)品在國(guó)內(nèi)發(fā)行，本文選取國(guó)債市場(chǎng)的即期利率數(shù)據(jù)作為計(jì)算貼現(xiàn)率的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。首先，選取20個(gè)市場(chǎng)上交易的期限不同的國(guó)債，利用息票剝離方法計(jì)算出國(guó)債市場(chǎng)的即期利率。應(yīng)用三次樣條插值法，得到國(guó)債市場(chǎng)期初即期利率曲線。最終需估計(jì)出的貼現(xiàn)率是期末觀察的185天的遠(yuǎn)期利率f（188，188，373），因而仍用公式（1）計(jì)算期初6個(gè)月期的遠(yuǎn)期利率曲線如圖3。

圖3 國(guó)債市場(chǎng)期初6個(gè)月遠(yuǎn)期利率曲線

（3）掛鉤利率波動(dòng)率的估計(jì)。本文使用分段常數(shù)形式的波動(dòng)率來(lái)描述遠(yuǎn)期LIBOR利率的瞬時(shí)波動(dòng)率。利用市場(chǎng)上提供的Cap報(bào)價(jià)和利率觸發(fā)線計(jì)算出隱含波動(dòng)率作為模型中的遠(yuǎn)期利率瞬間波動(dòng)率。先要從市場(chǎng)上取得Cap波動(dòng)率報(bào)價(jià)（見表2）。

表2 Cap波動(dòng)率報(bào)價(jià)

Cap報(bào)價(jià)是Cap所在區(qū)間內(nèi)的平均波動(dòng)率。利用市場(chǎng)上各年期Cap報(bào)價(jià)反推出各個(gè)不同區(qū)間的Caplet波動(dòng)率，也就是模型中所涉及的3個(gè)月遠(yuǎn)期利率波動(dòng)率。假設(shè)Cap所包含的每個(gè)Caplet（3個(gè)月期）的波動(dòng)率是相等的，以3個(gè)月為時(shí)間間隔，根據(jù)公式（2）、（3）和（4），可以求出從計(jì)息日開始的3個(gè)月LIBOR波動(dòng)率為σ0.25=0.9171，σ0.5=0.9265。

（4）貼現(xiàn)率波動(dòng)率的估計(jì)。由于估計(jì)貼現(xiàn)率選擇國(guó)債市場(chǎng)數(shù)據(jù)為樣本，因此本文使用遠(yuǎn)期歷史波動(dòng)率來(lái)輸入利率模型。基于20支國(guó)債日?qǐng)?bào)價(jià)，使用息票剝離法和三次樣條插值法計(jì)算得出2014年5月12日到2014年5月26日的每日國(guó)債收益率曲線作為即期利率曲線。由于貼現(xiàn)率的期限是185天，所得遠(yuǎn)期利率曲線的期限也須是185天。根據(jù)公式（1），計(jì)算得出遠(yuǎn)期利率曲線（如圖4）。將每日的瞬時(shí)185天遠(yuǎn)期利率波動(dòng)率求平均值，計(jì)算得出的185天遠(yuǎn)期利率的歷史日波動(dòng)率為σ=0.791%。

圖4 歷史國(guó)債遠(yuǎn)期利率曲線

（5）蒙特卡羅模擬。相對(duì)于定價(jià)的0時(shí)點(diǎn)，決定產(chǎn)品收益的掛鉤利率為在產(chǎn)品持續(xù)期內(nèi)每日觀察的遠(yuǎn)期利率，用F表示掛鉤利率，所需求出的利率為F（4，4，94）、F（5，5，95）、...、F（188，188，278）。對(duì)這樣的具有類似路徑依賴性質(zhì)的利率期權(quán)，蒙特卡羅模擬結(jié)果顯示，所有觀察日的掛鉤利率都落在［0，5%］的區(qū)間內(nèi)，也就是說(shuō)產(chǎn)品可以實(shí)現(xiàn)4.80%的年化收益率，期末時(shí)貼現(xiàn)率即半年期的遠(yuǎn)期利率為3.0410%。

（二）樣本產(chǎn)品現(xiàn)金流的分解與確定在定價(jià)之前，首先需要明確產(chǎn)品定價(jià)的時(shí)間。本文以樣本產(chǎn)品起售日為定價(jià)的0時(shí)點(diǎn)。由于產(chǎn)品起售日至起息日之間并非投資期限，所以最終得到的產(chǎn)品現(xiàn)金流都需貼現(xiàn)回起息日。從結(jié)構(gòu)上來(lái)看，該產(chǎn)品由一個(gè)以100萬(wàn)元為面值的零息債券和一個(gè)利率期權(quán)組成。對(duì)于固定收益部分，定價(jià)所需計(jì)算的變量則是在產(chǎn)品持續(xù)期185天時(shí)間的貼現(xiàn)率。預(yù)測(cè)產(chǎn)品貼現(xiàn)率需要預(yù)測(cè)出產(chǎn)品持續(xù)期內(nèi)的遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)，貼現(xiàn)所需利率為f（188，188，373），即期末時(shí)的185天遠(yuǎn)期利率。再來(lái)考察樣本產(chǎn)品的期權(quán)部分，該產(chǎn)品的利率期權(quán)是一個(gè)奇異期權(quán)，該期權(quán)的價(jià)值由掛鉤利率來(lái)確定。設(shè)產(chǎn)品在持續(xù)期內(nèi)掛鉤的3個(gè)月美元LIBOR在［0，5.00%］區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為n，產(chǎn)品的持續(xù)期為N（N=185）天，則由產(chǎn)品收益計(jì)算方法可知，期末時(shí)產(chǎn)品現(xiàn)金流I為

將估計(jì)的期權(quán)現(xiàn)金流以期望貼現(xiàn)率貼回起息日，得到利率期權(quán)產(chǎn)品價(jià)格P為

（三）定價(jià)結(jié)果分析根據(jù)樣本產(chǎn)品的現(xiàn)金流及貼現(xiàn)率得出產(chǎn)品的理論價(jià)格，相關(guān)結(jié)果見表3。由于該產(chǎn)品本金數(shù)額較大，設(shè)產(chǎn)品本金為100元，根據(jù)這個(gè)基數(shù)計(jì)算產(chǎn)品價(jià)格。結(jié)果表明，此產(chǎn)品的理論價(jià)格為100.8871元，為本金的1.0089倍，投資者每投資100元本金在半年內(nèi)實(shí)際可獲得2.3961元的現(xiàn)金凈流入。

表3 每100元本金的理論價(jià)格

由此可以看出，產(chǎn)品理論價(jià)值大于實(shí)際價(jià)格，該產(chǎn)品是折價(jià)發(fā)行的，值得投資者投資。其中，保本條款的保障本金安全，而利率期權(quán)部分也體現(xiàn)出了一定的盈利能力。觀察產(chǎn)品說(shuō)明中的掛鉤利率和歷史數(shù)據(jù)描述中3個(gè)月期美元LIBOR曲線，可以發(fā)現(xiàn)利率水平都處于［0，5.00%］的區(qū)間內(nèi)，投資者獲得最高收益的情況會(huì)比較樂(lè)觀。蒙特卡羅模擬結(jié)果也印證了這一點(diǎn)，所有模擬出來(lái)的利率水平都低于5.00%的邊界，也就意味著投資者幾乎已經(jīng)鎖定4.80%的年化利息收入。在期末，該產(chǎn)品發(fā)布的收益公告顯示產(chǎn)品達(dá)到其最大年化收益4.80%，與本文得出的實(shí)證結(jié)果相同。

另外，由于產(chǎn)品的發(fā)行日從2014年5月26日開始，而計(jì)息起始日為2014年5月30日，若投資者在26日投入資金，那么投資者會(huì)有4天的時(shí)間沒(méi)有收益，這部分資金的閑置對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)也是一種潛在的損失。因此，購(gòu)買日期越接近起息日對(duì)投資者來(lái)說(shuō)面臨的損失就越小，但理財(cái)產(chǎn)品也可能快速售完，因此不能在銷售的最后一天去購(gòu)買產(chǎn)品。

（四）產(chǎn)品價(jià)格的敏感性分析

（1）掛鉤利率及其波動(dòng)率敏感性分析。由于掛鉤利率實(shí)際值比區(qū)間上限小很多，且近幾年的3個(gè)月LIBOR數(shù)據(jù)沒(méi)有高過(guò)1%，當(dāng)掛鉤利率變化不大時(shí)，它落在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)不變，而掛鉤利率波動(dòng)率對(duì)價(jià)格的影響也類似如此。因此，產(chǎn)品現(xiàn)金流不會(huì)變化，價(jià)格也不會(huì)變化。

（2）貼現(xiàn)率敏感性分析。假設(shè)其他輸入變量不變，分別使貼現(xiàn)率的期初即期利率各上升和下降5%和10%的水平，得到的價(jià)格與基準(zhǔn)水平的理論價(jià)格相比較。當(dāng)期初貼現(xiàn)率水平上升時(shí)價(jià)格下降，期初貼現(xiàn)率水平下降時(shí)價(jià)格上升。產(chǎn)品理論價(jià)值變動(dòng)情況見表4。

表4 價(jià)格對(duì)貼現(xiàn)率的敏感性分析

（3）對(duì)貼現(xiàn)率波動(dòng)率的敏感度分析。由于計(jì)算時(shí)未能獲得有效的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，只運(yùn)用歷史波動(dòng)率計(jì)算貼現(xiàn)率，所以需分析波動(dòng)率對(duì)定價(jià)的影響。假設(shè)其他輸入變量不變，分別使歷史波動(dòng)率上升和下降各5%和10%的水平，與基準(zhǔn)水平下的理論價(jià)格相比較。在不同初始波動(dòng)率水平下，波動(dòng)率越高，產(chǎn)品價(jià)格越低，但整體變化幅度不大。產(chǎn)品理論價(jià)格變動(dòng)情況見表5。

表5 價(jià)格對(duì)貼現(xiàn)率波動(dòng)率的敏感性分析

五、結(jié)論

本文構(gòu)建了利率掛鉤產(chǎn)品定價(jià)的一般模式，選擇區(qū)間累積型利率掛鉤產(chǎn)品作為樣本進(jìn)行案例分析。分析結(jié)果顯示，樣本產(chǎn)品是折價(jià)發(fā)行的，值得投資者投資，但該產(chǎn)品掛鉤利率遠(yuǎn)小于設(shè)定的區(qū)間上限，在市場(chǎng)未發(fā)生劇烈變化時(shí)收益幾乎是固定的。另外，敏感性分析顯示，價(jià)格的變動(dòng)與期初貼現(xiàn)率及波動(dòng)率的變動(dòng)呈負(fù)相關(guān)，二者對(duì)價(jià)格的影響程度不大。應(yīng)用本文構(gòu)建的定價(jià)模式，投資者可直接通過(guò)定價(jià)結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)產(chǎn)品是否值得購(gòu)買以及相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)行者也可用其評(píng)估產(chǎn)品定價(jià)的準(zhǔn)確性。由于我國(guó)利率市場(chǎng)上沒(méi)有基于國(guó)債的金融衍生品，在確定貼現(xiàn)率波動(dòng)率時(shí)使用歷史波動(dòng)率，而未能運(yùn)用市場(chǎng)上衍生產(chǎn)品的隱含波動(dòng)率作為反映市場(chǎng)波動(dòng)率的指標(biāo)。今后在我國(guó)利率市場(chǎng)更加完善時(shí)，將時(shí)變的波動(dòng)率代入利率模型會(huì)使貼現(xiàn)率更加貼近市場(chǎng)實(shí)際。

*本文系國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：15BJY036）；黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：G2015005）；黑龍江省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：14B073）階段性研究成果。

［1］成黎明：《中國(guó)債券市場(chǎng)中內(nèi)嵌利率期權(quán)債券的定價(jià)研究》，南京航空航天大學(xué)2009年碩士學(xué)位論文。

［2］劉昭文：《觸發(fā)性結(jié)構(gòu)化利率債券定價(jià)的蒙特卡羅方法研究》，《經(jīng)濟(jì)論壇》2010年第6期。

［3］李勇飛、侯志強(qiáng)：《基于LMM的美式可贖回債券定價(jià)研究》，《北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)》2013年第1期。

［4］孫學(xué)彬、潘永泉：《利率掛鉤型結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價(jià)分析》，《時(shí)代經(jīng)貿(mào)》2014年第6期。

［5］蔣承、郭黃斌、崔小勇：《利率衍生品的定價(jià)研究——基于LIBOR市場(chǎng)模型》，《金融理論與實(shí)踐》2010年第2期。

［6］Boyle P.Options:A Monte Carlo Approach.Journal of Financial Economics.1977，4.

［7］Boyle P，Broadie M，Glasserman P.Monte Carlo methods for security pricing.Journal of Economic Dynamics and Control. 1997，21.

［8］Cox J C，Ross S A，Rubinstein M.Option pricing:A simplified approach.Journal of financial Economics.1979，7.

（編輯杜昌）