解析德羅斯特效應(yīng)

文/詹家鰭語，中央民族大學(xué)理學(xué)院

解析德羅斯特效應(yīng)

文/詹家鰭語，中央民族大學(xué)理學(xué)院

本文摘要：本文對德羅斯特效應(yīng)進行了簡要分析，結(jié)合圖片，帶領(lǐng)讀者領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美。

共形映射；支割線；黎曼面；Mathematica

以圖1為例從幾何上做一個直觀的表述。原圖是一個黑邊灰底方形，內(nèi)含一個從左下指向右上的深灰色箭頭，從中截去一塊（虛線圍住的區(qū)域），該區(qū)域中的內(nèi)容之后再不會出現(xiàn)。對這塊區(qū)域是有要求的：它的邊長比例要與原圖相同。稱截取后余下的區(qū)域為D。

（左）圖1；（中）圖2-1：（右）圖2-2

設(shè)圖像中每一點的坐標在復(fù)平面上，即坐標對應(yīng)復(fù)數(shù) （l是虛數(shù)單位），并有指數(shù)形式 ，則如圖2-1到圖2-2所示的變化如下所述：

（*）D中的復(fù)數(shù)坐標取自然對數(shù)變換.

（**）圖像在縱坐標上的范圍是，沿y軸正方向平移，緊密排列，然后將圖像整體進行旋轉(zhuǎn)，使[1]的右上角與[1]的左下角橫坐標相等，再在縱向上進行縮小，使[1]在縱坐標上的范圍依舊保持（因為旋轉(zhuǎn)后縱坐標范圍是原來的對角線長度，肯定較之前變大了）。變換后圖像整體如圖2-1，此時圖像中每一點對應(yīng)復(fù)數(shù) ，再代入以自然常數(shù)為底的指數(shù)函數(shù).（注：旋轉(zhuǎn)角度和縮小比例通過一系列初等函數(shù)來計算原圖參數(shù)而得到）

最后得到如圖2-2的效果，可以看到一層層的黑色邊框切割開并連接在一起，只要順著邊框往中心走就能遇到所有箭頭。這種神奇的效果在現(xiàn)實生活中被稱為“德羅斯特效應(yīng)”。

下面在理論上進行解釋：

1 為什么變換后一幅圖內(nèi)邊界上的端點會和外邊界上的端點重合？

首先要清楚坐標的意義：橫坐標表示復(fù)數(shù)的幅長取自然對數(shù)（正比于幅長），縱坐標表示復(fù)數(shù)的主幅角。

變換時要求了“…將圖像整體進行旋轉(zhuǎn)，使[1]的右上角與[1]的左下角橫坐標相等…”，[1]的右上角對應(yīng)外邊界上一個端點，[1]的左下角對應(yīng)內(nèi)邊界上一個端點，這樣旋轉(zhuǎn)保證了這兩點幅長相等；而“…在縱向上進行縮小，使[1]在縱坐標上的范圍保持…”，這樣既不改變每一點的幅長，又可以保證[1]的最大縱坐標差（即右上角和左下角的縱坐標差）是，也就是這兩點的主幅角相等。

綜上，每幅圖內(nèi)邊界上的一個端點會和外邊界上的一個端點有相同的幅長和主幅角，那將其代入以自然常數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)后便會重合。并且，它們重合在支割線上。

2 為什么一幅圖的內(nèi)邊界可以和較小一級的圖的外邊界全部無縫銜接？

兩條邊 “無縫銜接”，只要它們連續(xù)地擁有相同的幅長與主幅角。為滿足這一點，之前對從原圖中截去的區(qū)域做了“邊長比例與原圖相同”的要求，只有這樣它們對應(yīng)頂點的連線（四條）才會相交于同一點，而這一點就作為“奇異點”，即最后畫面中心的留白處。令它為坐標原點，可以保證在每一個角度上內(nèi)外邊界兩點的幅長比例始終相同，那么經(jīng)過自然對數(shù)后相應(yīng)兩點的橫坐標之差始終相等，相當于[1]、[2]、[3]…的左邊界與右邊界形狀完全一致。

“…[1]的右上角與[1]的左下角橫坐標相等…”，即[2]的右下角與[1]的左下角橫坐標相等，那么[2]的右邊與[1]的左邊顯然也連續(xù)地擁有相同的幅長與主幅角。

3 為什么經(jīng)過變換后，畫面仍然非常流暢自然？

因為由始至終都在進行共形映射，保證了在除去中央“奇異點”的余下區(qū)域具有保角的性質(zhì)，能使“旋轉(zhuǎn)角不變”和“伸縮率不變”，所以畫面處處流暢自然。

（注：本文制圖使用軟件mathematica10.2.0）

[1] D.R.HOFSTADTER. Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid[M].Harmondsworth: Penguin, 1979.