王翔宇
摘 要:介紹了分類討論思想的基本概念,指出其基本原則,包括分類標準明確、分類完整、按需求逐層分類、保持分類簡潔,并據此論述了分類討論思想的應用方法。以求解函數、概率和數列的題目作為例子,介紹了在解決數學問題時應當如何采用該思想。分析了分類討論思想在生活中的指導價值,指出其方法論意義和對邏輯思維鍛煉的有利作用。
關鍵詞:數學;分類討論;應用
一、分類討論思想概述
(一)基本概念
分類討論思想提煉于具體的解題過程。某些數學問題的條件不具有唯一性,使得結論也不具有唯一性,比如說某一函數表達式含有字母參數,這些參數的取值變化會使函數的性質產生差異,這將導致題目有不同的結論。這時就需要將已知條件按一定的標準進行分類,將一個大問題分割成一個個小問題,先解決被分割出的小問題,再綜合整理小問題的答案,由此確定原題的完整結論。如是即為分類討論思想的核心內涵。
(二)基本原則
在應用分類討論思想時有其特定的原則,概括出來有四點:分類標準明確且統一;子問題沒有缺漏和重復;復雜問題逐層分類;分類形式力求簡單。為了做出正確的分類,首先分類標準要明確且不能混淆,三角形按內角角度分是一種分法,按三邊長度關系分則又是另外一種不同的分法,如果把鈍角三角形和等邊三角形歸于一類,那么就會顯得混亂,因為此時的分類標準是缺乏一致性的。在確定分類標準后,只有保證子問題既沒有缺漏又沒有重復,才能保證結果的正確性,針對一些不確定條件較多的問題,需要多層分類,不同層級的分類之間也應保證界限清楚。將問題進行分類是為了解決問題,而很多問題的分類角度不止一種,如何從中選擇最簡潔、最不易出錯的一種,也是分類討論思想中必須考慮的一部分。
(三)應用方法
根據分類討論思想的基本原則,逐點對照,避免出錯,便是分類討論思想的應用方法。首先理清問題,確定可供分類的所有依據,然后保證分類的完備性,在進一步的解題中如果有需要則再做下一層分類,最后檢查解決方法是否簡潔,是否可以優化。
二、數學題目中的分類討論
(一)求解函數問題
問題:求解以x作為未知數的不等式:sx2-(s+2)x+2<0。
這道題中x是需要求解的未知量,而s則作為一個取值待定的已知量。通過觀察可以發現,s是二次項的系數,s是否為0決定了該不等式是一次還是二次;當s不為0時,s的正負又決定了不等號左邊的二次函數的圖像的開口方向;當s的正負劃分好之后,在s>0的情況下,1與2/s的大小關系又影響了最終結果的取值區間,因此,本題一共需做三層劃分。
(1)s=0,不等式化為-2x+2<0,解為:x>1;
(2)s≠0,不等式化為s(x-1)(x-2/s)<0
①s<0,不等式化為(x-1)(x-2/s)>0,解為:x>1或x<2/s;
②s>0,不等式化為(x-1)(x-2/s)<0;
i:0ii:s=2,不等式無解;
iii:s>2,解為2/s