振動(dòng)電機(jī)非線性氣隙偏心機(jī)理研究

孟東容，段志善，郭寶良，張 健，劉佳敏

(西安建筑科技大學(xué)，西安 710055)

0 引 言

振動(dòng)電機(jī)廣泛應(yīng)用于采礦、選礦、煤炭、冶金、石油等各個(gè)領(lǐng)域[1]。由于工作環(huán)境較差，振動(dòng)電機(jī)出現(xiàn)故障的頻率較高，要對其進(jìn)行故障診斷,首先要對振動(dòng)電機(jī)的正常工作狀態(tài)進(jìn)行研究。因此振動(dòng)電機(jī)正常工作狀態(tài)分析的研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用意義。

電機(jī)電感參數(shù)受氣隙長度的影響，振動(dòng)電機(jī)結(jié)構(gòu)特殊，它工作時(shí)所形成的氣隙與普通電機(jī)的氣隙并不相同。現(xiàn)階段國內(nèi)外對電機(jī)氣隙偏心的研究主要集中在靜態(tài)、動(dòng)態(tài)或混合偏心上，Thomson[2-5]等人針對靜偏心下的三相電機(jī)采用有限元法和快速傅里葉分析預(yù)測了電流中的特定頻率分量幅值；Faiz[6]等學(xué)者用有限元方法對混合偏心狀態(tài)下感應(yīng)電機(jī)的性能進(jìn)行了分析；Akiyama[7]等基于實(shí)際情況提出了斜偏心模型，分析了氣隙偏心度與轉(zhuǎn)子傾斜角和軸向位置的關(guān)系。但是，這些偏心類型的轉(zhuǎn)子都是線性的，鮑曉華[8]提出在實(shí)際電機(jī)的偏心中還有一類動(dòng)態(tài)弧偏心模型，但沒有對這種故障進(jìn)行深入分析。

本文對振動(dòng)電機(jī)特有的非線性動(dòng)態(tài)弧偏心的形成機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)分析，推導(dǎo)了弧偏心模型下氣隙長度的計(jì)算公式，計(jì)算了振動(dòng)電機(jī)定子繞組中形成的特定頻率的電流分量，通過仿真驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。并通過對不同軸向位置特定頻率幅值的分析,證明了振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主軸受力彎曲程度與定子繞組電流特定頻率幅值具有正比例關(guān)系。

1 振動(dòng)電機(jī)的結(jié)構(gòu)

1.1 振動(dòng)電機(jī)與普通電機(jī)結(jié)構(gòu)上的區(qū)別

振動(dòng)電機(jī)從結(jié)構(gòu)上來說就是在轉(zhuǎn)子主軸的兩端裝有偏心塊的電動(dòng)機(jī)。根據(jù)電機(jī)伸出軸個(gè)數(shù)的不同，振動(dòng)電機(jī)分為單出軸振動(dòng)電機(jī)和雙出軸振動(dòng)電機(jī)兩種。單出軸振動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)子主軸只在一端伸出并裝有偏心塊,雙出軸振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主軸兩端均伸出并裝有偏心塊。

本文以雙出軸振動(dòng)電機(jī)為對象進(jìn)行分析，其轉(zhuǎn)子與普通電機(jī)相比,直徑略大,長度略短,氣隙長度略大,其工作原理與普通電機(jī)基本相同。振動(dòng)電機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 振動(dòng)電機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子受力分析

由于振動(dòng)電機(jī)結(jié)構(gòu)上的特殊性，導(dǎo)致其轉(zhuǎn)子主軸在工作時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同于普通電機(jī)轉(zhuǎn)子主軸的形變。在普通異步電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)作用在轉(zhuǎn)軸上的力主要有：電機(jī)產(chǎn)生的扭矩、轉(zhuǎn)子的慣性力和軸承的支反力。對于振動(dòng)電機(jī)而言，其轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)作用的力除了普通電機(jī)轉(zhuǎn)子受到的力，還有偏心塊產(chǎn)生的離心力和偏心塊的慣性力。相比較而言，離心力的值遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子上所受其他力的值，因此在對轉(zhuǎn)子進(jìn)行受力分析時(shí),可忽略其他力的作用。根據(jù)材料力學(xué)基本知識，轉(zhuǎn)子可近似為簡支梁來計(jì)算其受力和形變，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子主軸受力簡圖

將轉(zhuǎn)子主軸簡化為簡支梁來計(jì)算其形變方程，設(shè)離心力為F1：

F1=mγω2

(1)

式中：m為單個(gè)偏心塊的質(zhì)量；γ為偏心距，見圖1；ω為偏心塊轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

軸承A，B處的支反力：

FA=FB=F1

(2)

計(jì)算AB之間的撓曲線方程,建立如圖3所示的坐標(biāo)系。

圖3 電機(jī)主軸變形圖

彎矩：

M=F1x

(3)

根據(jù)材料力學(xué)中計(jì)算撓曲線方程的方法，兩次積分后得到轉(zhuǎn)子主軸的撓曲線方程如下：

(4)

代入A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)后可計(jì)算得C1和D1兩個(gè)常數(shù)的值，從而得到AB段的撓曲線方程：

(5)

2 振動(dòng)電機(jī)弧偏心模型的建立

由上述結(jié)果可知，振動(dòng)電機(jī)運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子主軸根據(jù)激振力的大小產(chǎn)生不同程度的變形,其不同軸向位移的變形程度不同,因此轉(zhuǎn)軸與定子間的氣隙是時(shí)刻變化并且與軸向的位置有關(guān)。

2.1 普通電機(jī)的氣隙偏心

電機(jī)的氣隙偏心有靜態(tài)偏心與動(dòng)態(tài)偏心兩種基本情況[9]，如圖4所示。偏心即電機(jī)的定子軸心與轉(zhuǎn)子軸心不重合，靜態(tài)偏心是指氣隙的偏心位置不隨著轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)而改變，是固定在某一位置的。

(a) 靜偏心

(b) 動(dòng)偏心

動(dòng)態(tài)偏心是指偏心的位置對轉(zhuǎn)子是固定的，對定子是不固定的。

轉(zhuǎn)子的氣隙偏心會(huì)導(dǎo)致電機(jī)的氣隙磁導(dǎo)發(fā)生變化，進(jìn)而影響電機(jī)的電感和氣隙磁通密度，最終會(huì)在定子電流中產(chǎn)生特征頻率。S.Nandi[10]等人給出了電機(jī)氣隙復(fù)合偏心時(shí)的氣隙長度計(jì)算公式：

δ(φ,t)=δ0[1-kscosφ-kdcos(ωrt-φ)]

(6)

式中：δ0為平均氣隙長度；ks為靜態(tài)偏心度；kd為動(dòng)態(tài)偏心度；ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角頻率；φ為定子坐標(biāo)系的圓周角位移。

2.2 振動(dòng)電機(jī)氣隙長度的計(jì)算

振動(dòng)電機(jī)的偏心不同于上述單純的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)偏心，因?yàn)槠錃庀堕L度不僅隨時(shí)間和角位移變化，而且隨著軸向的位移而不同。由上述計(jì)算可知，振動(dòng)電機(jī)運(yùn)行時(shí)，由于激振力會(huì)使轉(zhuǎn)子主軸產(chǎn)生彎曲變形，這種變形會(huì)讓振動(dòng)電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子之間形成一種特殊的偏心，如圖5所示。

圖5 振動(dòng)電機(jī)的弧偏心

從圖5中可以看出，振動(dòng)電機(jī)在激振力不為零時(shí)，轉(zhuǎn)子主軸的變形會(huì)導(dǎo)致其產(chǎn)生特殊的弧偏心，在目前的電機(jī)偏心故障研究中均假設(shè)轉(zhuǎn)子是線性的，但振動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)子由理論計(jì)算結(jié)果可知，它是非線性的。

因?yàn)殡p出軸振動(dòng)電機(jī)的弧偏心狀態(tài)在工作時(shí)其最小氣隙位置是隨時(shí)間變化的，這與動(dòng)態(tài)偏心的機(jī)理一致，在不考慮電機(jī)制造、裝配過程中造成的偏心并忽略靜態(tài)偏心存在的情況下，振動(dòng)電機(jī)正常時(shí)，令式(6)中的ks為0,可得振動(dòng)電機(jī)的氣隙長度：

δ(φ,t,x)=δ0[1-kd(x)cos(ωrt-φ)]

(7)

式中：kd(x)為振動(dòng)電機(jī)弧偏心的偏心率。根據(jù)計(jì)算得出的轉(zhuǎn)子的撓曲線方程，計(jì)算得弧偏心的偏心率：

(8)

式中：x是電機(jī)軸向的位移。可以看出，弧偏心的偏心率是在x軸上隨著位移而變化的。

2.3 弧偏心特征的機(jī)理分析

電機(jī)的弧偏心是由于雙出軸振動(dòng)電機(jī)運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)子主軸兩端受到很大的激振力而導(dǎo)致的，由于電機(jī)的氣隙偏心會(huì)導(dǎo)致氣隙磁導(dǎo)的變化，因此，下文計(jì)算了在弧偏心時(shí)，某一時(shí)刻轉(zhuǎn)子主軸任意位置的氣隙長度的倒數(shù)和氣隙磁導(dǎo)，并通過電磁感應(yīng)基本原理計(jì)算了電機(jī)定子電流中會(huì)出現(xiàn)的特征頻率。

氣隙長度的倒數(shù)：

(9)

當(dāng)忽略電機(jī)定轉(zhuǎn)子開槽及飽和的影響時(shí),將氣隙長度倒數(shù)簡化，經(jīng)傅里葉展開后僅取一次項(xiàng)得：

(10)

式中：λ為氣隙磁導(dǎo)，λ=μ0/δ(φ，t，x)，μ0為真空磁導(dǎo)率。

假設(shè)定、轉(zhuǎn)子繞組正常，三相繞組基波磁勢的一次諧波可表示：

J(φ,t)=Jscos(ωt-pφ)

(11)

式中：Js為定子線負(fù)荷的幅值；p為極對數(shù)。

根據(jù)基本磁路理論，磁感應(yīng)強(qiáng)度等于磁勢與氣隙磁導(dǎo)的乘積，即：

B(φ,t)=J(φ,t)λ(φ,t,x)

(12)

定子氣隙磁場表達(dá)式：

(13)

(14)

因?yàn)棣豶=(1-s)ω/p，其中s為轉(zhuǎn)差率，代入式(14)中得定子1次諧波磁勢建立的磁場所產(chǎn)生的磁鏈和交鏈各轉(zhuǎn)子回路的磁鏈，從而在求導(dǎo)之后能夠得到轉(zhuǎn)子回路對應(yīng)的感應(yīng)電勢。該頻率的電勢產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子電流可以產(chǎn)生轉(zhuǎn)子磁勢，可表示：

(15)

式中：β1，β2，β3均為相位角。將上式變換到定子坐標(biāo)系中，可得：

(16)

式中：γ1，γ2，γ3均為相位角。將式(16)與氣隙磁導(dǎo)相乘，得到轉(zhuǎn)子感生電流所建立的氣隙磁場：

由于氣隙的弧偏心，定子繞組中會(huì)感生電勢，并產(chǎn)生電流，對任一相定子電流進(jìn)行頻譜分析將會(huì)有邊頻帶出現(xiàn)，而只有極對數(shù)為p的分量才能在定子繞組中感應(yīng)出有效電勢，其中ω對應(yīng)f1，ωr對應(yīng)fr。因此，對上式分析可以得出，定子繞組的頻譜圖中會(huì)感應(yīng)出頻率為f1±fr的特征頻率。

3 振動(dòng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型及仿真

3.1 交流電機(jī)的多回路理論

為研究交流電機(jī)繞組不對稱狀態(tài)，我國學(xué)者高景德、王祥珩[11]提出了多回路理論分析方法，建立了電動(dòng)機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部故障的數(shù)學(xué)模型。

假設(shè)，在一個(gè)感應(yīng)電機(jī)中有m個(gè)定子回路和n條轉(zhuǎn)子導(dǎo)條。感應(yīng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以用下面的公式來表述[11]：

定子電壓方程：

(18)

式中：U為電壓矩陣；ψ為磁鏈矩陣；I為電流矩陣；R為電阻矩陣；下標(biāo)“s”，“r”分別表示定子和轉(zhuǎn)子。

轉(zhuǎn)子電壓方程：

(19)

定子磁鏈方程：

ψs=LssIs+LsrIr

(20)

式中：Lss為定子自感矩陣；Lsr為定、轉(zhuǎn)子互感矩陣。

轉(zhuǎn)子磁鏈方程：

ψr=LrsIs+LrrIr

(21)

式中：Lrr為轉(zhuǎn)子自感矩陣；Lrs為轉(zhuǎn)、定子互感矩陣。且：

(22)

感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程如下：

(23)

(24)

式中：θ為轉(zhuǎn)子角位置；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

Te可以通過下式計(jì)算：

(25)

式中：

(26)

聯(lián)立以上各式，采用Runge-Kutta方法可以求解該微分方程組，從而得到定子電流。

3.2 振動(dòng)電機(jī)電感參數(shù)的計(jì)算

交流電機(jī)電感參數(shù)的計(jì)算公式如下[12-13]：定子繞組的自感系數(shù)：

(27)

定子繞組間的互感系數(shù)：

MAB=MBC=MCA=MBA=MCB=MAC=

(28)

式中：w1為每相定子繞組串聯(lián)的匝數(shù)；τ為極距；λ0為氣隙磁導(dǎo)，δ是有效氣隙長度；kwk為定子繞組系數(shù)；l為定子鐵心長度；Lsl和Msl分別是定子繞組的漏磁自感系數(shù)和漏磁互感系數(shù)，k=1,3,5,…。

轉(zhuǎn)子回路的自感系數(shù)：

(29)

式中：i代表n+1個(gè)轉(zhuǎn)子回路的序號;Lb,Le分別為轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電感和轉(zhuǎn)子端環(huán)電感。

兩個(gè)轉(zhuǎn)子回路之間的互感系數(shù)：

(30)

轉(zhuǎn)子端環(huán)與轉(zhuǎn)子回路的互感系數(shù)：

Mei=Mie=Le

(31)

定子繞組與轉(zhuǎn)子回路間的互感系數(shù)：

(32)

式中：k=1,3,5,…；s代表A,B,C三相;βr代表短距比;φ=2pπ/n是電角度。

在式(32)中λ0為常數(shù)，前面已經(jīng)得出振動(dòng)電機(jī)的氣隙長度并不是固定值，而是隨著軸向位移變化的，即：

δ(φ,t,x)=δ0[1-kd(x)cos(ωrt-φ)]

(33)

因此，在振動(dòng)電機(jī)中，電感參數(shù)是隨軸向的位移而變化的，將電感參數(shù)在定子長度l上進(jìn)行微分得：

(34)

再對其在定子鐵心長度l上進(jìn)行積分，可得：

(35)

用相同方法進(jìn)行積分可得如下公式。

定子間互感系數(shù)：

MAB=MBC=MCA=MBA=MCB=MAC=

(36)

轉(zhuǎn)子回路的自感系數(shù)：

(37)

轉(zhuǎn)子兩回路之間的互感系數(shù)：

(38)

定子繞組與轉(zhuǎn)子回路間的互感系數(shù)：

(39)

根據(jù)上述公式可計(jì)算出振動(dòng)電機(jī)中的各電感參數(shù)，代入多回路模型中即可得出電機(jī)的定子相電流。

3.3 基于多回路理論的振動(dòng)電機(jī)仿真

根據(jù)交流電機(jī)多回路理論，結(jié)合上述電感參數(shù)的計(jì)算方法，利用MATLAB/Simulink對振動(dòng)電機(jī)進(jìn)行仿真，輸出定子A,B,C三相電流，并對A相電流進(jìn)行FFT分析，得到結(jié)果如圖6、圖7所示。其中，橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為特征頻率與基頻的比例關(guān)系。

圖6 三相異步交流電機(jī)A相電流頻譜圖

圖7 振動(dòng)電機(jī)A相電流頻譜圖

上述仿真中設(shè)定電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 500 r/min,根據(jù)理論分析可知，在振動(dòng)電機(jī)A相電流頻譜圖中將會(huì)出現(xiàn)f1±fr的特征頻率，而1 500 r/min的轉(zhuǎn)子頻率為25 Hz，由對比可以看出，在振動(dòng)電機(jī)的基頻50 Hz左右分別出現(xiàn)25 Hz和75 Hz的特征頻率，這與理論分析結(jié)果一致。

振動(dòng)電機(jī)激振力的大小決定了轉(zhuǎn)子的撓曲線方程，在不同軸向位移處會(huì)得到幅值大小不同的特征頻率。對此，在振動(dòng)電機(jī)兩支點(diǎn)間主軸上取20個(gè)樣本點(diǎn)，分別計(jì)算其電感參數(shù)，得到對應(yīng)的頻率幅值。假設(shè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速1 500 r/min，計(jì)算25 Hz特征頻率的幅值，以軸向樣本點(diǎn)序號為橫坐標(biāo)，不同位移處特征頻率的幅值與最大位移處的幅值的比值為縱坐標(biāo)，繪制圖形如圖8所示。

圖8 不同軸位移處特征頻率幅值比

圖8表明,由于軸向位置的不同,電機(jī)偏心程度不同,以上述20個(gè)樣本點(diǎn)為例,這20個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的特征頻率幅值與最大幅值比組成的圖形能夠反映出電機(jī)轉(zhuǎn)子的形變狀態(tài)。將這20個(gè)樣本點(diǎn)幅值比相連，就可以得到撓曲線方程y(x)的近似圖形。這表明振動(dòng)電機(jī)特定頻率的幅值與振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主軸彎曲程度成一定的正比例關(guān)系。

4 結(jié) 語

1)振動(dòng)電機(jī)受到偏心塊激振力的作用會(huì)產(chǎn)生形變，通過計(jì)算得到振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子彎曲的曲線方程。

2)振動(dòng)電機(jī)與普通電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)具有差異性。理論分析表明，振動(dòng)電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)在定子電流中會(huì)感應(yīng)出特征頻率f1±fr。

3)通過轉(zhuǎn)子主軸的形變方程，結(jié)合混合氣隙長度的計(jì)算公式，提出振動(dòng)電機(jī)弧偏心的氣隙長度計(jì)算公式。

4)基于多回路理論，建立了振動(dòng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB進(jìn)行仿真，證明了理論分析的準(zhǔn)確性。并提出了振動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主軸彎曲程度與振動(dòng)電機(jī)定子電流特征頻率幅值的正比關(guān)系，可以有效減少振動(dòng)電機(jī)故障診斷的誤判斷。

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