淺談高中生數學思維能力的培養

葉海豐

摘要：數學思維能力是數學學科所獨有的思維能力。培養學生的數學思維能力是新課程標準的基本理念，也是數學教育的基本目標。本文結合筆者在數學教學中的一些實踐，談談如何培養學生的思維能力。

關鍵詞：高中生；數學思維能力；培養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）12-0054

數學知識是在不斷發展的，因此，在高中數學教學中，不但要幫助學生學習基礎知識、掌握方法，更重要的是培養學生的學習能力，提高學生的數學素養。數學思維是以數學問題為載體，通過發現問題、解決問題的形式，達到對現實世界的空間形式和數量關系本質的一般性認識的思維過程。新課程標準指出：高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。事實上，培養學生的數學思維能力，有助于增強學生學習數學和運用數學的能力，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。數學思維能力在形成理性思維中發揮獨特的作用。本文結合筆者的教學實踐，就如何培養數學思維能力談幾點體會。

一、一題多解，培養思維的靈活性

有些問題，我們可以從不同的側面用不同的方法求出其解，通過方法的變化，培養學生多角度分析問題的能力。

案例1. 橢圓■+■=1的焦點是F1、F2，橢圓上一點P滿足PF1⊥PF2，下面結論正確的是——（ ）

A. P點有兩個 B. P點有四個

C. P點不一定存在 D. P點一定不存在

解法一：以F1F2為直徑構圓，知：圓的半徑r=c=3<4=b，即圓與橢圓不可能有交點。故選D。

解法二：由題知（S△PF F ）max=■×F1F2·b=3×4=12，而在橢圓中：S△PF F =b2tan■=16，∴不可能成立12>16故選D。

解法三：由題意知當p點在短軸端點處

解法四：設∠PF1PF2=θ，假設PF1⊥PF2，

則PF1+PF2=6conθ+6sinθ=6■sin（θ+■）≤6■，而PF1+PF2=2a=10

即：10≤6■，不可能。故選D。

解法五：設圓方程為：x2+y2=9橢圓方程為：■+■=1

兩者聯立解方程組得：x2=-■不可能，故圓x2+y2=9與橢圓■+■=1無交點

即PF1不可能垂直PF2，故選D。

本例從不同角度看題設條件，從不同方向進行思考，這樣就可以全面認識數學問題的本質，從而培養學生數學思維的靈活性。

二、一題多變，培養思維的發散性

在教學過程中，適時運用變式教學，有助于學生數學知識的靈活遷移，增強學生的辨析能力，激發學生的求知熱情，有助于培養學生的問題意識，提高學生的創新能力。所謂變式，廣義地說，就是同一事物非本質屬性的轉換。從數學角度來說，就是對問題的條件或結論進行適當的調整，或增減或轉換，也可以對問題的呈現方式、表達形式進行適當的變化，還可以是解題思想方法，思維方法的變化。在研究問題的過程中，為了揭示問題的本質屬性，掌握解決問題的一般方法，我們常常通過對構成問題的各個要素進行局部的調整，得到形式雖異而解法類似的一系列問題，不斷強化學生對相關知識的理解和掌握。下面，筆者以三角函數值域的求法為例，談談發散性思維的培養。

例如，在算法教學中有關算法結構和語句筆者也設計下列變式：

案例2. 設計算法s=1+2+3+……+100

變式1. s=1+3+5+……+99

變式2. s=12+22+32+……+1002

變式3. s=12-22+32-42+……-992+1002

變式4. s=1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+……+100）

變式5. s=1+（1×2）+（1×2×3）+……+（1×2×3×……×100）

變式6. 已知1+2+3+……+n，當S≤1000時，求n的最大值。

通過以上的變式，讓學生感悟出循環結構就像遞推數列一樣尋找相鄰兩步和關系，理解了循環結構的三要素是如何確定的。

三、多題一解，培養思維的深刻性

案例3. 在直線l：x+y-4=0上求一點M，使它到A（1，2）、 B（-1，3）的距離之和最小。

分析：（1）首先判斷是在直線的同側還是異側。（2）若在同側，先求出A（或B）關于L的對稱點A′（或B′），再求直線 A′B（或AB′）所在的直線方程，與已知直線方程聯立，求出M點坐標。（3）若在異側，只需求出AB所在直線的方程，與已知直線方程聯立，求出M點坐標。

解：令f（x，y）=x+y-4，f（1，2）=1+2-4=-1<0，f（-1，3）=-1+3-4=-2<0。所以、在直線同側。設關于的對稱點為，則利用對稱知識得： 所以A（2，3）所以A′B的方程為 y=3由y=3x+y-4得 x=1y=3得所以M（1，3）為所求的點。

案例4. 光線從A（1，0）發出，射到x軸上點M，經反射后射到圓C：（x+3）2+（y-3）2=1上，求光線經過的最短距離。

分析：求出A點關于軸的對稱點A′，這個最短距離可轉化為A′到圓C的最短距離。即A′C減去圓的半徑。由A′C的方程，可得M點坐標。

案例5. 求■+■的最小值。

分析：這道題目用代數的方法來解決也比較困難。考慮到根號內的部分非常接近兩點間的距離公式可如下整理、變形：■+■看作點（x，0）到（上接第54頁）點（1，1），（2，2）的距離之和最小問題。由于點（1，1），（2，2），在x軸同側，可求（1，1）關于x軸的對稱點（1，1），那么（1，-1）與（2，2）之間的距離即為■+■的最小值。

以上三道題目，所使用的方法是一樣的，就像同一個人穿了幾套不同的衣服，其本質是考查用對稱思想解題。通過多題一解的訓練，領會同一數學思想、數學方法在不同題目背景下的不同體現，能夠加深對數學思想和方法的理解，促進數學能力和數學素養的提高。

思維發展心理學認為，思維是在實踐活動中發生和發展的。注重問題引申的推廣的教學活動中，學生由于被激發起好奇欲望、探索欲望的創造欲望，所以他們就積極地探索、研究，并且將所獲得的材料、信息在自己的大腦中進行“分析和綜合、抽象和概括、歸納和類比、實驗和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高級的、復雜的思維操作”。而經過這樣的一個過程，學生不僅創造出新穎、獨特的“產品”，而且由于努力地、不斷地探索、推廣結論，久而久之，就會自然養成愛探索問題的良好習慣，進而培養和發展學生的數學思維能力。

（作者單位：浙江省樂清市芙蓉中學 325600）