“節外”未必“生枝”

劉洪志

摘 要：在課堂教學中，常常有很多“節外生枝”的狀況出現，教師對待這些狀況不能一味地打壓或放任自流，而是應該合理地引導，激發學生進一步去思考去探索，生成有價值的教學成果。

關鍵詞：數學課堂；意外生成；反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）23-119-2

《三角恒等變換》是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書必修4中的一章，是前面所學任意角三角函數、誘導公式的延伸和發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材。“兩角和與差的余弦”是本章的起始內容，是后續學習兩角和與差的正弦、正切以及二倍角公式的知識基礎和方法源泉。由于向量還沒有學習，所以在教學過程中要引導學生采用單位圓利用兩點間的距離公式推導兩角差的余弦公式，由于教學的對象是三星級普通高中的學生，有一定的邏輯思維能力，對用一般到特殊、數形結合、化歸與轉化、方程思想已經有了一定基礎，但遠遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明兩角差余弦公式的水平，因此在課的設計上先利用幾何法得出公式，在利用單位圓進行嚴格證明。

下面是筆者本節教學中的部分實錄，藉此闡明課堂教學中尊重學生的發現，體現學生學習的主體性。

鏡頭一：新課引入部分

思考：魯賓斯基曾經說過：“對于形成任何一種能力，都必須首先引起對某種類型活動的十分強烈的需要”。需要是產生動力的源泉，要激發學生的學習需要，調動學生學習的積極性，教學中就應該努力為學生創設積極的求知情境，把教師要教的變成學生要學的。教學中要多些采自身邊的問題，學生感興趣的問題，使他們倍感親切，尤其是解直角三角形問題，學生可以有很大的思考和活動的空間，在小組活動的氛圍當中，學生很容易得出正確的關系式，嘗到了發現真理的快樂，自然而然地發現了特定條件下的兩角差的余弦公式，為一般化證明奠定了目標基礎。

鏡頭二：公式證明部分

師：同學們已經有了處理任意角三角函數問題的方法，誘導公式的證明，我們都利用了什么圖形解決的？

生（全體）：利用單位圓。

師：要證明這個等式對任意角都成立，如果找不到其他辦法，不妨我們就回到我們熟悉的單位圓中來解決問題。

師：請同學們根據下面問題進行小組交流。

問題1：如何在單位圓中做出角α，β，α-β的終邊呢？

問題2：角α，β，α-β的終邊與單位圓交點P1，P2，P3的坐標是什么？

問題3：如何將角α，β，α-β的終邊與單位圓的交點P1，P2的坐標與cos（α-β）聯系起來，怎樣建立這種等量關系呢？

獨白：現行的教學理念很崇尚學生探究，實際教學當中如果一味放手，很多時候會變成漫無目的的探索，常常是無疾而終。在數學教學當中要提升教學的有效性，應該注重數學教學的“四化”，即數學化的原則、適度形式化的原則、問題驅動化原則和滲透數學思想方法的原則。在此環節的處理上采用了“活動單”的方式，布置學生進行小組合作探究，逐步展開，降低公式推導理解難度，進而解決問題，請同學展示自己的研究成果。先與學生共同確定要探究的內容和目標，明確探究的方法再讓學生進行探究，排除更多的無關因素的干擾，力求學生更多精力放在等式的尋找和證明當中。

獨白：在自己備課的時候，我真沒想過這種情況，學生2提出的問題是等量關系的選取不同出現的結果，實際上化簡的結果也是兩角差的余弦公式，只不過表示的形式不同而已，也正好體現出公式中角的任意性。我相信通過本節課的學習，學生2對本章所有的公式角的任意性都會有比別人更加深刻的認識，因為人性中最深切的心理動機是被人賞識的渴望，所以，后面是這樣處理的。

師：這位同學的想法非常好，我們應該給勤于動腦的同學2掌聲鼓勵。這個式子實際上就是我們要證明的兩角差的余弦公式（學生有些不安起來），同學們，我們在做角的時候雖然在一圈之內選取的α，β且滿足α>β，實際上任意α，β利用周期性都可以化到0～2π進行解決，也就是說公式是對任意的兩個角都是成立的。既然這樣，如果我令α-β=θ，學生2得到的式子就可以寫成cos（α-θ）=cosαcosθ+sinαsinθ，這不就是兩角差的余弦公式么！我們要感謝學生2用事實給我展示了公式中角的“任性”。

……

然后，我和同學們繼續研究公式的特點以及公式的使用，整節課正是因為及時肯定了學生2的想法，讓學生感受到了尊重，又用“任性”等流行詞對公式角的特點進行形象的解釋，刺激了學生的興奮點，使得一節課在輕松活潑的氣氛中很快過去了。

教后反思：學生2提出的問題在意料之外，可以說是意外生生枝。教師在把課堂的主動權給學生的時候要考慮這種節外生枝情況，探究之路偏離了原方向該怎么辦？如果我們僅僅是硬生生的拉回，就失去了以學生為主導的課堂設計本意；如果我們放任不管，那種“放羊式”的探究也很難達成學習目標。如何解決這種矛盾，是數學教師進行教學設計要認真考慮的問題。我個人認為，教師在問題設計時要在關鍵的點處指明探求大概方向，而不是方位。若問題太細，指向性太強，像路標一樣，那是“偽探究”，達不到培養學生能力的目的。

回顧小組討論中，我提出的三個問題，應該說梯度恰當，但是指向性還是比較明顯，這個也是數學教師需要探討的地方，一方面要留給學生一些神秘感，有探究的欲望，又不能像我們現在的汽車導航一樣，只要按照提示走，你一定會到達終點。當然教師在備課時要對課題有著充分的認識，全面的考慮，不能以我為中心，因為我們面對的是有著鮮活生命的四十幾個不同的個體，它們有著不同的思想，我們要懂得尊重他們的想法，給學生展示自己思維的機會，當然在這整個過程中教師也得到一個極大的提升。