挖掘運動過程 走出應用誤區

吳靜

摘 要：學生在一次函數應用的解題過程中經常會走入一些誤區。為了正確解決函數應用問題，教師應該在教學中充分挖掘函數運動的全過程，做到數形（分類圖形、行程示意圖、函數圖像）結合，細化每個特殊點，建立適當的數學模型，從而順利地解決函數問題。

關鍵詞：函數；動點；轉化；數形結合

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）05-033-2

函數在初中數學中是一個全新的概念，其定義比較抽象但實際應用十分廣泛。而一次函數是在進行了正比例函數、反比例函數等基礎知識的教學之后的一種更深層次函數知識的學習。學生會認為一次函數的學習會相對簡單，但在實際應用中卻常常會產生一些誤區，導致函數學習出現這樣或那樣一些問題。為了正確解決函數應用問題，教師應該在教學中充分挖掘函數運動的全過程，做到數形（分類圖形、行程示意圖、函數圖像）結合，細化每個特殊點，建立適當的數學模型，從而順利地解決函數問題?，F以《一次函數》的教學為例，談談在教學中挖掘函數運動全過程、走出函數應用常誤區的方法。

一、應用常見誤區

1.看到求函數關系式就設一次函數y=kx+b（k≠0）

例1 如圖，長方形OABC，A（6，0），B（6，4），D是BC的中點，動點P從O點出發，以1個單位/秒的速度沿OAABBD運動，設P運動的時間為t（0

錯解：P在三種位置均設s=kt+b（k≠0），再將兩點坐標代入求函數關系式。

2.看到相遇點就認為是兩函數的交點

例2 有A、B、C三家工廠依次坐落在一條筆直的公路邊，甲、乙兩輛運貨卡車分別從A、B工廠同時出發，沿公路勻速駛向C工廠，最終到達C工廠。設甲、乙兩輛卡車行駛x（h）后，與B工廠的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數關系如圖所示，根據圖像求甲、乙兩車之間的距離不超過10km時x的取值范圍.

錯解：∵E、P是兩函數的交點，∴E、P處兩車相交，

∵甲、乙兩車之間的距離不超過10km，

∴一種情況在E點兩側，另一種情況在P點兩側，|y1-y2|≤10。

3.不能正確找出特殊點表示的實際意義

例3 甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步500米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發2秒。在跑步過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與乙出發的時間t（秒）之間的關系如圖所示，求a、b、c。

錯解：學生不清楚a、b、c表示的實際意義，無從下手。

二、走出誤區之策

函數反映的是因變量隨著自變量的變化而變化的過程，它是從常量到變量的質的飛躍，從數量的角度反映了變量之間的對應關系和運動過程，能使我們更好地認識事物的變化規律，預測事物的發展趨勢。因此，要想讓學生走出一次函數應用的誤區，養成正確地解題策略，教師必須透過表象挖掘出事物運動的全過程。

1.抓住動點的不同位置，概括運動全過程

部分學生學習了一次函數后往往有一種固定的思維模式：要求函數關系式就一定是一次函數關系。當然這與學生認知區域的局限性有關，但這種思維方式嚴重妨礙了學生采用新的方法解決問題。因此，教師要引導學生學會研究問題的科學方法，引導學生從已知的理論出發，進行有關問題的分析、推理、論證，得出正確的解題思路。

如例1求函數關系式中，教師要重點引導學生觀察動點P運動的全過程，然后抓住動點P三種不同位置尋找兩個變量之間的關系，利用圖形面積公式進行求解，當然求法隨圖形變化而有所不同。

在判斷動點的不同運動位置時，能準確地畫出分類圖形，做到不重復不遺漏，這是解題的關鍵。教師要培養學生通過演繹探究運動的全過程，進行分類、畫圖、歸納、求解，使學生的自主性和能動性真正得到充分的發揮和展示，將所學的思想方法應用到實際問題中。要想讓學生真正理解和掌握函數就必須讓學生進行探究，讓學生在探究中獲得感性認識，學生也才會真正掌握數學思維和形成數學能力。

2.畫出示意圖，體會運動全過程

（1）細化已知信息，找出運動突破點

一般在函數的實際應用中，已知信息有“文字信息”+“圖像信息”。文字信息告訴我們問題發生的實際情境。如例3中的文字信息告訴我們甲、乙兩人的運動情況：同起點、同終點、同方向，總路程都是500米。關鍵信息有：甲先出發2秒、y表示甲、乙兩人之間的距離，t表示乙出發的時間。教師要引導學生將關鍵信息加下劃線，其中“甲先出發2秒”是整個運動過程的突破口，y和t表示的意義是理解圖像信息的紐帶。圖像信息表示的是兩個變量之間的運動變化過程。我們要找到圖像中的所有“特殊點”：（0，8）、（a，0）、（100，b）、（c，0），這些點是在整個運動過程中具有特殊意義的，教師引導學生進行如圖標注，便于理解。

在這里的教學處理中，細化已知信息就是對目標進行分解和落實，是將函數關系轉化成運動示意圖的前提，有利于學生找準解題突破口，領悟事物在運動過程中的變化規律。教師要讓學生捕捉問題中有價值的信息，讓學生自己嘗試著去探索和研究信息，用敏銳的眼光從眾多文字中發現、判斷、整合有效信息，激發學生思維的不斷碰撞，促進對問題的認知趨向深入，達到全面、深刻的理解，從而不斷提升自己的思維能力。

（2）畫出運動示意圖，實現由靜制動

圖像信息轉化到示意圖信息，將函數問題轉化為方程模式，從而獲得相應的數學知識、方法與技能，這是學生進一步理解函數應用的有效途徑。

如例3，問題的表象是用靜止狀態呈現的，但實際是個運動過程。只有學生細致地畫出示意圖才能真正掌握其運動過程。根據圖像中的四個特殊點，可以將運動過程分解成如下四部分：

（1）甲2秒先走了8米

（2）乙走a秒追上甲

（3）乙走100秒到達終點

（4）甲走（c+2）秒到達終點

通過畫示意圖，清晰地演繹出甲、乙運動的全過程和兩者之間的數量關系，可以讓學生引發解題思路，找出解題方法。尤其是在畫示意圖前后讓學生進行比較，充分感覺到畫示意圖的優勢——可以使信息條理化，生動化。教師要引導學生學會從實際問題中提煉事物的運動過程，并進行組合和分解，逐步學會畫分解示意圖方法和技巧，這是解決問題保障。

問題解決是一項基本技能，它不是單一的拼合，而是若干技巧綜合而成的一個整體。我們在用函數解決問題時，要學會將已知信息、運動示意圖、已學知識和方法進行有機整合，讓學生的思維伴隨著整合一步步走向深入，逐漸認識事物現象背后的本質，促使學生思維的深刻性，滋養對客觀事物的敏銳性，培養學生綜合運用所學的數學知識進行探索運動過程的能力。在一次函數的應用中，我們需要按“圖”索驥，從“圖”中挖掘運動、多方面、多角度認識問題，探究解決問題的方法，更有利于提高學生的核心素養。

[參考文獻]

[1]張毅.作為一種學習態度的研究性學習.北京教研，2003（01）.

[2]張思明.努力發揮數學應用和數學建?；顒拥慕逃饔?數學教學，1998.