初中數(shù)學(xué)建模方法及應(yīng)用

肖永剛

摘 要：在新課標(biāo)中要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的重要方法，也能增強(qiáng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。對(duì)培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模方法及應(yīng)用進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；建模思想；數(shù)學(xué)應(yīng)用

利用數(shù)學(xué)建模的方法是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的新方法，是素質(zhì)教育和新課標(biāo)的要求，能為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力發(fā)展提供全新途徑，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的能力，讓學(xué)生在用數(shù)學(xué)工具解決問題中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

一、數(shù)學(xué)建模的概念

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)具體問題分析并簡(jiǎn)化后，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，找出解決方法并利用數(shù)學(xué)式子來(lái)求解，從而使問題得以解決。數(shù)學(xué)建模方法有以下幾個(gè)步驟：一是對(duì)具體問題分析并簡(jiǎn)化，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)建立關(guān)系式（模型），二是求解數(shù)學(xué)式子，三是根據(jù)實(shí)際情況檢驗(yàn)并選出正確答案。初中階段數(shù)學(xué)建模常用方法有：函數(shù)模型、不等式模型、方程模型、幾何模型等。

二、數(shù)學(xué)建模的方法步驟

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模方法，可按以下方法步驟進(jìn)行：

1.分析問題題意為建模做準(zhǔn)備。對(duì)具體問題包含的已知條件和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇使用數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型。

2.簡(jiǎn)化實(shí)際問題假設(shè)數(shù)學(xué)模型。對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，再根據(jù)問題的特征和要求以及解題的目的，對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)，要找出起關(guān)鍵作用的因素和主要變量。

3.利用恰當(dāng)工具建立數(shù)學(xué)模型。通過建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子，來(lái)建立模型中各變量之間的關(guān)系式，以此來(lái)完成數(shù)學(xué)模型的

建立。

4.解答數(shù)學(xué)問題找出問題答案。通過對(duì)模型中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答，找出實(shí)際問題的答案。

5.根據(jù)實(shí)際意義決定答案取舍。對(duì)于解答數(shù)學(xué)問題的答案，要根據(jù)實(shí)際意義，來(lái)決定答案的取舍，從而使解答的數(shù)學(xué)結(jié)論有實(shí)際意義。

三、初中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

1.方程模型應(yīng)用

例1.甲、乙兩個(gè)水果店各自用3000元購(gòu)進(jìn)相同質(zhì)量、相同價(jià)格的蘋果，甲店出售方案是：對(duì)蘋果分類，對(duì)400千克大蘋果以進(jìn)價(jià)的2倍出售，小蘋果則以高出進(jìn)價(jià)10%出售；乙店的方案是：以甲店的平均價(jià)不分大小出售。商品全部出售后，甲店賺了2100元。求：（1）蘋果進(jìn)價(jià)是多少？（2）乙店盈利多少？哪種銷售方案盈利更多？

解析：按建模方法，找出各種變量和等量關(guān)系，假設(shè)蘋果進(jìn)價(jià)為x元，建立方程模型：400x×10%×（■-400）=2100，求得x=5。即蘋果進(jìn)價(jià)為5元。就可求出兩店購(gòu)進(jìn)蘋果各600千克，甲店的售價(jià)是大蘋果10元/千克，小蘋果是5.5元/千克，因此，可求出：乙店盈利=600×■-57=1650元，所以可看出甲店的出售方式盈利更多。

本題就是應(yīng)用方程模型來(lái)解決實(shí)際問題。

2.函數(shù)模型的應(yīng)用

例2.某超市購(gòu)進(jìn)18元一件的衣服，以40元銷售，每月可賣出20萬(wàn)件，為了促銷進(jìn)行降價(jià)，超市發(fā)現(xiàn)衣服每降價(jià)1元，月銷售增加2萬(wàn)件。求：

（1）月銷售量y與售價(jià)x之間的銷售模型（函數(shù)關(guān)系式）；

（2）月銷售利潤(rùn)Z與售價(jià)x之間的銷售模型（函數(shù)關(guān)系式）；

（3）為使超市月銷售利潤(rùn)Z不少于480萬(wàn)元，根據(jù)（2）中函數(shù)式確定衣服售價(jià)范圍。

解析：（1）根據(jù)題目已知條件可列出銷售模型，月銷售量=原銷售量+降價(jià)后增加的銷量，可求出函數(shù)關(guān)系式為：y=20+2（40-x）=

-2x+100

（2）∵月利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量，∴可列出函數(shù)關(guān)系式為：Z=（x-18）y=-2x2+136x-1800

（3）可假設(shè)Z=480，即480=-2x2+136x-1800，整理得：x2-68x+1140=0，解方程得x1=30，x2=38，即售價(jià)在30～38元之間可保證利潤(rùn)不少于480萬(wàn)元。本例的數(shù)學(xué)模型是y=ax2+bx+c一次函數(shù)。

3.幾何模型的應(yīng)用

例3.在一條河上有一座拱形大橋，橋

的跨度為37.4米，拱高是7.2米，如果一條10米寬的貨船要從橋下通過，求：該條船所裝貨物最高不能超過幾米？

解析：幾何在工程上的應(yīng)用非常廣泛，如在航海、測(cè)量、建筑、道路橋梁設(shè)計(jì)等方面經(jīng)常涉及一定圖形的性質(zhì)，需要建立“幾何”模型，從而使問題得到解決。

此題運(yùn)用垂徑定理可得到：BD=■AB=18.7米，根據(jù)勾股定理可得：R2=OD2+BD2=（R-7.2）2+18.72，R=27.9米，繼續(xù)運(yùn)用勾股定理：EQ=■=27.4米，OD=R-CD=27.9-7.2=20.7米，EF=EQ-FQ=EQ-OD=27.4-20.9=6.7米，所以，該船所裝貨物最高不超過6.7米。

本題的解答主要運(yùn)用了“圓”這個(gè)幾何模型。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模方法還可運(yùn)用表格、圖像來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，還可以跨學(xué)科運(yùn)用數(shù)學(xué)公式來(lái)構(gòu)建解決問題的模型，以此提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和建模應(yīng)用能力。

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