在訓(xùn)練技能與建立模型之河

沈俊

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把“簡易方程”的學(xué)習(xí)安排在五年級下冊，其基本目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會解簡易方程和列方程解決問題。從教材呈現(xiàn)的例題可以看出，列方程要重點(diǎn)解決兩類問題：一是“和（差）倍問題”，二是“相遇問題”。在單元整理復(fù)習(xí)時，怎樣避免知識碎片化和訓(xùn)練孤立化？教師引領(lǐng)學(xué)生分類思考，建立模型就能做到“連片成林”，既見樹木又見森林。

一、教學(xué)流程：分類與建模

[環(huán)節(jié)一]“和（差）倍問題”建模

呈現(xiàn)如下四道題：

（1）同學(xué)們參觀博物館。四、五年級一共去了264人，五年級去的人數(shù)是四年級的1.2倍。兩個年級各去了多少人？

（2）一輛客車和一輛貨車同時從相距510千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過3小時相遇。客車的速度是90千米/時，貨車的速度是多少？

（3）少先隊(duì)員參加植樹。六年級植樹的棵數(shù)是五年級的1.5倍，五年級比六年級少植樹24棵。兩個年級各植樹多少棵？

（4）甲數(shù)與乙數(shù)的和是60，甲數(shù)是乙數(shù)的4倍。甲乙兩數(shù)各是多少？

問題1：小組討論。請將上面四道題分類，你打算分成幾類？說說你們的理由。

問題2：如果僅分為兩類，你打算怎么分？說說你的理由。

[意圖]引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的特征初步歸類。（1）（3）（4）為一類，其基本共同點(diǎn)在于：條件里告知兩個量“和（差）與倍”的關(guān)系；問題要分別求兩個未知量。第（2）題則不具備前述特征。列方程解答此類題的關(guān)鍵在于：根據(jù)倍數(shù)關(guān)系設(shè)一份量是“x”，幾份量就是“幾x”；再根據(jù)和（差）的關(guān)系列出方程并求解。

[訓(xùn)練]選擇（1）（3）（4）中的一道題練一練。說說你是怎樣設(shè)未知數(shù)，列出方程解答的。

[編題]你能仿照這類題，嘗試編一道題給同桌解答嗎？

[環(huán)節(jié)二]“相遇問題”建模

呈現(xiàn)前面的第（2）題：

一輛客車和一輛貨車同時從相距510千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過3小時相遇。客車的速度是90千米/時，貨車的速度是多少？

問題1：在我們的生活中，還有像這樣由兩輛車（兩個人或者動物）共同完成的事情嗎？

[選一選]下面這些題目：

1.選擇一道你認(rèn)為和例題長得最像的題目練一練。

2.還有其他題的解題模式和這兩道題相似嗎？說說你的想法。

3.你為什么不選擇這道題呢？說說你的想法。

4.選擇一道題練一練。說說你是怎樣設(shè)未知數(shù)，列出方程解答的。

5.編一道結(jié)構(gòu)類似的題給同桌練一練。

（1）一卷塑料薄膜展開后，正好可以鋪滿一塊30m³的長方形秧田。這卷薄膜展開后有多長？（課本第3題，有圖標(biāo)明寬是1 5m）

（2）學(xué)校印刷畫冊一共用去2240元，畫冊的印刷費(fèi)是3.6元/本，其余費(fèi)用是800元。學(xué)校印制了多少本畫冊？（課本第6題）

（3）獵豹追捕獵物時的速度大約是優(yōu)秀短跑運(yùn)動員百米賽跑速度的3倍，每秒大約比運(yùn)動員多跑20米。優(yōu)秀短跑運(yùn)動員大約跑多少米？獵豹呢？（課本第8題）

（4）甲、乙兩個工程隊(duì)合開一條720米長的隧道，同時各從一端開鑿，經(jīng)過24天開通。甲隊(duì)每天開鑿14.5米，乙隊(duì)每天開鑿多少米？（課本第9題）

（5）學(xué)校體育室一共有186根跳繩。四年級5個班，每班借了18根。剩下的借給五年級的4個班，平均每班借多少根？（課本第11題）

學(xué)生們一致認(rèn)為第（4）題與例題最相似，而第（1）題和第（3）題與例題不相關(guān)，爭議就在第（2）題和第（5）題上。

以下是教學(xué)現(xiàn)場的師生對話：

師：你們?yōu)槭裁匆恢抡J(rèn)為第4題和例題長得最像？

生：兩個工程隊(duì)合伙開隧道和兩輛車行完一段路程很像。你看，“兩車相遇”與"24天開通”就是同樣一個道理。

師：你認(rèn)為第5題和例題屬于同一種模式？說出你的道理來。

生：可以把186根跳繩看作一件事情，而這件事情是由四年級和五年級共同完成的。只不過四年級用了“5天”，每天“做18根”。五年級用了“4天”，求的就是五年級每天“做多少根”。所以，第5題的題型結(jié)構(gòu)與解題模式是和例題基本相同的。

學(xué)生們有如此精彩的闡釋，教師多說無益，在邊上旁敲側(cè)擊就好。

[環(huán)節(jié)三]溝通兩類題型

[提問]這兩類題型，我們?yōu)槭裁匆岢蟹匠虂斫鉀Q呢？

[意圖]回歸到“和（差）倍問題”和“相遇問題”的數(shù)量關(guān)系模型上去。

二、教后反思：知識與模型

1.復(fù)習(xí)課有著自身的基本特質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)的課型是多樣的（新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、講評課、概念課、計(jì)算課、統(tǒng)計(jì)課、圖形課、綜合實(shí)踐課等），復(fù)習(xí)課只是其中的一種。關(guān)于課型的分類也可以簡單些，浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師俞正強(qiáng)認(rèn)為，如果從兒童學(xué)習(xí)知識的視角考量，小學(xué)數(shù)學(xué)課僅僅可以分為兩類：一類是新授課，一類就是復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)課包括練習(xí)課。既然復(fù)習(xí)課幾乎占了小學(xué)數(shù)學(xué)的半壁江山，那就得重視、上好每一節(jié)復(fù)習(xí)課。

復(fù)習(xí)課應(yīng)當(dāng)達(dá)成的共識應(yīng)當(dāng)是：不是簡單的重復(fù)，不是枯燥的練習(xí)。那如何做到“不簡單不枯燥”呢？我覺得要做到三點(diǎn)：立足教材深入挖掘，建立模型形成系統(tǒng)，自我建構(gòu)提高興致。

復(fù)習(xí)課，猶如“破碎部分的重組”，要把凌亂的知識點(diǎn)，如散落在地的珍珠，找一縷紅線串聯(lián)在一起，形成知識串，形成知識鏈，構(gòu)建相對個性私己的知識體系；復(fù)習(xí)課，也應(yīng)當(dāng)是具有生成軌跡的“梳理”，應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)，將新學(xué)的知識點(diǎn)分類、歸納、歸屬到原有的知識系統(tǒng)中；復(fù)習(xí)課，除了梳理、串聯(lián)外，還應(yīng)當(dāng)是深刻的、提升的，以深刻達(dá)成數(shù)學(xué)的簡約之美。

2.思想方法寓于技能訓(xùn)練之中

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。歸根結(jié)底，它是一個強(qiáng)調(diào)“建模”的學(xué)科：建立模型，解釋模型，應(yīng)用模型。史寧中教授把數(shù)學(xué)思想歸納為“抽象、推理、模型”，足見“建模”的重要性。就學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來講，也許還應(yīng)當(dāng)有一個“解構(gòu)”——重新解釋與建構(gòu)的循環(huán)過程，這就形成了知識的流動性與整體性。

在“建模”的動態(tài)過程中，所應(yīng)當(dāng)滲透與穿插的“隱性知識”是值得揣摩和推敲的：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度；數(shù)學(xué)的對稱、奇異、簡潔、深刻之美；數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精神等。這些，都得依賴于教材文本去表達(dá)，依賴于教師對文本的個性解讀去傳達(dá)，教師需要“兼顧兩頭”——一手牽著訓(xùn)練，心中裝著思想，將需要滲透的數(shù)學(xué)思想寓于技能訓(xùn)練之中。

3.知識的生命力在于結(jié)構(gòu)性

現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)遭人詬病的根本是知識的結(jié)構(gòu)性被人為地破壞和拆解，教師“就知識點(diǎn)講解知識點(diǎn)”，對知識過分程式化的分析，使學(xué)生無法建立起知識之間的聯(lián)系，無法構(gòu)建思維體系。上好復(fù)習(xí)課，將有助于知識結(jié)構(gòu)化，形成系統(tǒng)。小學(xué)數(shù)學(xué)最該留給學(xué)生的是什么？不僅僅是知識點(diǎn)，也不只是會列方程解決問題，而是學(xué)習(xí)的習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維方式，能學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光分析問題，深刻而又簡潔。

這節(jié)課最想滲透的是分類與建模的數(shù)學(xué)思想。在設(shè)計(jì)教學(xué)時，沒有脫離教材文本另起爐灶，而是圍繞預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，依托教材，整合題型，將書本上非連續(xù)的、似乎沒有什么關(guān)聯(lián)的幾道解決問題集中呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，引導(dǎo)分類并找出解題模式與呈現(xiàn)題的相似之處，并說說自己的理由。這樣就已經(jīng)很好地凸顯了教學(xué)意圖，實(shí)現(xiàn)了知識的舉一反三、觸類旁通和整體建構(gòu)。

夸美紐斯說：“一棵樹在最初幾年中，就從自己的樹干中發(fā)出了它以后需要長有的主要枝芽，而以后它們僅僅是繁茂而已。”兒童的生長也是如此。教師的作用不完全是牽引，更多地應(yīng)當(dāng)是扶助，提供基礎(chǔ)養(yǎng)料。教材文本不僅需要教師深入鉆研，也需要學(xué)生們自己去個性化地解讀。學(xué)生有著喜愛自由，喜歡展示的天性，他們天馬行空的想象力和絕妙的構(gòu)思往往是“往平靜無趣的課堂投的小石子”，有興味，也值得思考。知識的獲得、思想的形成不能完全靠“給”和“訓(xùn)練”，更多的應(yīng)該是自我學(xué)習(xí)和理解，以形成自己的記憶理解方式，建構(gòu)個性化的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知體系，從而將知識轉(zhuǎn)化為智慧。