讓計數器“開放” 疏通知識脈絡

吳淑家

【中圖分類號】TM935.46+2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0051-01

小學數學一年級在教學撥計數器時，對于它的每個數位上是否能超過10顆珠子？教師有兩種不同的意見：一種認為不能的，理由是（以個位為例）當數疊加到10時，就成了兩位數，十位上是1，個位上是0，而個位只能表示一位數，最大的一位數是9，所以各數位上最多只能撥9顆珠，否則滿了十就增多了一個位數。另一種認為能的，理由10即表示1個十，也可以表示10個一，1個十就是在十位上撥1顆珠，10個一就是在個位上撥10顆珠。以此類推，如21即可以表示2個十和1個一，也可以表示21個一，即個位可以撥21顆珠，所以每個數位上撥的珠可以超過10顆。兩種不同的觀點衍生出兩種不同的計數器，前一種觀點的老師在教學中使用“封閉式”計數器（每個數位是封閉的，最多只能撥10顆珠），后一種觀點的老師采用的是“開放式”計數器（每個數位是開放的，雖然棍子有長短，但可以通過畫圖的方式無限延長）。哪種計數器能更好地輔助教學，促進學生的發展呢？

下面以北師大版一年級下冊第 68頁的兩位數加一位數（進位加法）為例，圍繞算式28+4等于幾？進行計數器教學實踐，通過對比，引發思考。

28+4等于幾？

1、借助小棒計算

2、借助計數器計算 “封閉式”計數器（每個數位是封閉的，最多只能撥10顆珠）撥法，最后結果呈現：

課中巡視了解學生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，個位上不夠4顆珠，先撥2顆珠，再將10顆珠換成十位上1顆珠，最后在個位上再撥2顆珠。（只有個別同學能說出此種方法）

生2：先撥出28，再在十位上撥1顆珠，個位上撥去6顆，讓它剩下2顆珠。（注：孩子認為個位上8+4=12，就在十位上撥1，個位上撥2。也有個別同學想法是：6和4湊成10，滿十進一。）

生3：個位上是8+4=12，先撥12，再加上20就是32。

生4：28+4=32就在十位上撥3，個位上撥2。

生5：老師，沒辦法撥，因為個位上要加4，它只剩下2顆珠。 “開放式”計數器（每個數位是開放的，雖然棍子有長短，但可以通過畫圖的方式無限延長）撥法，最后結果呈現：

課中巡視了解學生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，加上4，就是加上4個一，在個位上再撥4顆珠就行了。（如圖1）

生2：先撥28，再在個位上加上4顆珠，個位上的珠子超過了10顆，就可以換成十位上的1顆，就是32了。（如圖2）

3、借助豎式計算

一、化抽象為具體，再現知識發展過程。

最早數的產生是“相同的物、結繩、圖形符號”的簡單疊加。隨著社會的發展，數越來越大，出現了用“大小物、圖形符號”來表示大小數，當這些都無法滿足生產生活需求時，出現了阿拉伯數字和位值制，利用0-9這10個數字放在不同的數位上表示不同數量多少， “數”逐漸抽象化。而計數器最大的特點就是如同“還原精靈”一般，能把抽象的“數”的內涵“還原”，具體化。它在數學計算教學中的作用之一就是使那些看不見摸不著的算理算法，借助撥珠鮮活地再現出來，使我們直觀地感受知識的發展過程。 上面兩種計數器，哪一種才能真正發揮其優勢呢？

“28+4”這兩個數的合并，并不是隨意疊加，是有規矩的，只能將相同的計數單位進行相加。 “封閉式”計數器呈現的計算過程是：8+2=10，10+20=30，0+2=2，30+2=32。個位上的8個一與4個一的簡單疊加被復雜化，4個一被強制分成兩次加，在個位加上2個珠時，插入了十位上2+1=3，接著又返回個位上加上2顆珠，個位與十位的穿插加，如同一個書包雜亂地堆放著各種書，混淆學生的思維。

“開放式”計數器，由于各數位上的珠子數量無限制，它能將算理與算法借助撥珠形象地展示出來：怎樣撥28，為什么在十位上撥2，在個位上撥8，它們各表示什么意思，加4要怎么撥，為什么？學生邊撥珠邊理解數的意義，借助動作直觀體驗到個位上是表示一個一個數的，“8”和“4”表示的意義一樣，“4”應該和“8”放在一起，個位上8顆珠子與4顆珠子可以進行簡單疊加（即將相同數數單位相加）。在這個過程，之于學生是沒有任何阻礙，它將抽象的語言、符號借助直觀形象地動作表征方式再現出來，將“理”與“法”回歸最原始的“疊加”狀態，并有機地結合在一起，順應知識的發展過程，符合學生思維的發展特點，同時體現加法的本質特點。

二、化繁為簡，打通知識關節。

計數器在數學計算教學中的作用之二就是它有完整的位值制，能利用小小的珠子再次演繹數由少到多，由繁到簡的過程，以此打通知識“關節”，引發學生思考，促進思維的發展。

以上兩種計數器，在使用過程中出現明顯不同的成效。在計算“28+4”時，表示將兩部分合并成一部分，也就是將兩部分進行疊加，數量由少變多，主要“關節”是“滿十進一”。

“封閉式”計數器采用強制性的方法：數位上如果滿十必須先向前一位進一，不進一就不能繼續算。因此，撥的過程中要想：個位8能與幾湊成10，4要分成幾和幾，個位滿十進一后還要再撥幾？低年級的孩子以短時記憶為主，一系列的思維活動，即使有計數器作為依托，但腦海中要有序地進行分析、思考這些問題，難度還是很大，他們經常撥了前面的忘了后面的，尤其對于中差生，這時的計數器之于他們不是學習的助手，而是高難度的學習內容。他們無從下手，怎么辦？于是他們有的用已經會的其它方法把算出來的結果在計數器上撥出結果；有的把個位的8顆珠撥掉向十位進一后，接著就不知道怎么撥了；有的則是先算出8+4=12后，直接在計數器上撥出32……計數器在這個過程中成了學生的學習負擔，失去其輔助的功能。

“開放式”計數器，由于各個數位上的珠子可以無限疊加，就如同“結繩計數”，珠子就是那些“繩結”，當孩子們明白了相同數數單位放一起的道理后，就在相同數位上進行簡單疊加（如上表），中差生撥珠后呈現的最后結果（如圖1），優生則在疊加后能進行優化，“滿十進一”后呈現最優的結果（如圖2）。這種計數器讓每個孩子都有的放矢。他們在珠子累計的過程中，感受數由小變大，由簡單變復雜了（如圖1），激發學生去改進數，“這么多珠子數起來很麻煩，怎樣才能讓人一眼就看出是多少呢？”“可以把個位上的10顆珠子捆成1捆（受到捆小棒的啟發），換成十位上的1顆珠子” （如圖2）。這時候的“滿十進一”不是老師逼迫孩子必須這么做，而是學生不滿足現狀的改良，這是數位產生的原因，同時也是數發展的必經過程。

“封閉式”計數器采用是強迫式，壓制式的的手法“加塞關節”，反而讓學生感到計數器好難，計算好難。“開放式”則充分地發揮計數器的優勢，以珠子的簡單疊加為基礎，由少增多，產生視覺與思維地矛盾沖突，產生要簡化的需求，再化繁為簡，以此疏通關節，這時的“滿十進一”是可以看到、摸到、想到，可以理解、接受、運用的。

三、化零為整，形成知識脈絡。

任何知識都不是孤立存在的，它既有生命實踐活動的現實基礎，同時也與其他知識之間相互關聯。在教學中注意引導學生認識和把握知識之間內在的共通性與互補性，不僅可以使學生形成整體和系統的知識觀，更好地整體把握知識，而且還可以使學生實現知識的融會貫通，真正地內化和靈活運用知識。

計算28+4的過程中，教師借助具體的小棒操作（如圖3）→在指定的標有數學元素的“數位表”計數器撥珠→抽象的數字符號豎式計算（如圖4），層層深入，由易到難，由具體操作水平向抽象邏輯水平發展。這三種方法既是獨立的存在，又有本質共性。當學生根據各自的知識水平選擇其中一種方法解決28+4=32時，并不是教學的結束，而是剛剛進入教學重點：

師：“這三種方法有什么相同的地方”？

生1：它們都是在算28+4。

生2：它們都是把相同數數單位進行相加，也就是都是把8+4。（讓學生上臺指出三種方法的8+4在哪）

生3：它們都有滿十進一。

師：誰來介紹一下擺小棒、撥計數器、豎式計算，它們的滿十進一都在哪？

生上臺指，老師引導學生把小棒中長方形方框里圈起來的10根換成1捆，把計數器（圖1）中個位上的10顆珠換成十位上1顆珠（變成圖2），并讓學生指出這小棒中的1捆和計數器十位上的1顆珠在豎式計算的哪里？

師：看來，這三種方法的“樣子”長得不一樣，但是它們表示的意義是……（一樣的）

擺小棒、撥計數器、豎式計算都可以單獨解決“28+4等于幾”這個問題，它們又同時體現相同的運算方法和算理：相同數位相加，滿十進一。然而“封閉式”計數器在此與小棒和豎式的聯系卻不緊密，它的“滿十進一”是在逼迫下的一個短暫停留的過程，而“開放式”計數器的撥算方法卻可以與其它兩種方法形成一個整體。經過上下溝通后，原來只是零散的作為計算輔助工具的各種方法，卻緊緊圍繞著加法運算的本質特征展開，學生的學習也由“選擇一種你喜歡的方法進行計算”發展為：教師指定一種方法，他們可以隨心所欲用相通的算理進行解決。

綜上所述，開放了計數器就如同疏通了知識的脈絡，學生從僅僅對知識掌握的關注到對其背后的過程形態知識的關注，從僅僅對散點知識的關注到對其背后的關系形態的關注，形成了知識由具體到抽象、由局部到整體、由過程到結果的提升，這樣的教學才是以培養人的生命自覺為目的，致力于每一個學生發展的教學。[1]

參考文獻：

[1]吳亞萍著：《中小學數學教學課型研究》，福建教育出版社，2014.10