淺談初中數學教學中學生數學解題能力的培養(yǎng)

廣州市黃埔區(qū)新港中學(510735) 鄒振華

淺談初中數學教學中學生數學解題能力的培養(yǎng)

廣州市黃埔區(qū)新港中學(510735) 鄒振華

數學教育家波利亞指出:“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.”用解題訓練培養(yǎng)解題能力,提高數學素養(yǎng).那么,怎樣加強解題訓練,從而提高學生的解題能力呢?

一、培養(yǎng)認真審題的好習慣.

仔細、認真地審題,提高審題能力是解題的首要前提.教學中要求學生養(yǎng)成仔細、認真的審題習慣,通讀題,對題目中的條件(特別是發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件)、問題及有關的情況,進行整體認識,充分理解題意,把握本質和聯(lián)系,理清正確的解題思路.

例1: 已知弓形弦長弓形高為6,求弓形的面積.不認真審題學生可能會給出下面的結論:

圖1

圖2

正確的應為:如圖2,已求得OA=4,已知弓形高為6,弓形的高大于半徑,所以此弓形應大于半圓,即圖2,

(注:此題中的條件弓形高為6)

二、培養(yǎng)學生運用數學思想方法解題.

(一)數形結合的思想:

“數”與“形”無處不在.借助圖形能使問題明朗化,不但直觀,而且全面,整體性強,能比較容易地找到問題的關鍵所在,對解題大有益處.比如:(1)求幾個圖象圍成的圖形的面積,需要根據函數解析式求出特殊點的坐標,通過整合圖形,分割圖形,補全圖形來求解.(2)函數中的最值問題.(3)河邊取水問題,求兩條線段之和最小.需要通過軸對稱,利用軸對稱的性質,構造兩點之間線段最短,來得到最小值,(4)兩邊之差最大問題.構造三角形,根據兩邊之差都小于第三邊來解決等等.

(二)轉化的數學思想

解數學題最根本的途徑是“化難為易,化繁為簡,化未知為已知”.也就是把復雜繁難的數學問題通過一定的數學思維、方法和手段,逐漸將它轉變?yōu)橐粋€大家熟知的簡單的數學形式,然后通過大家所熟悉的數學運算把它解決.比如,我們學校要建一個生物園,學校給出的是一塊形狀不規(guī)則的地,如何丈量的它的面積呢?首先在課堂上教學生依據一定的比例,將實際地形繪制成紙上圖形,然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長方形、三角形,利用學過的面積計算方法,計算出這些圖形的面積之和,也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積.在這里,我們把無法計算的不規(guī)則圖形轉化成了可以計算的規(guī)則圖形,從而解決了土地丈量問題.

比如:我們熟知的解分式方程就是通過去分母將分式方程轉化為一元一次方程或一元二次方程來解,再經檢驗確定分式方程的解.

“轉化”的思想,是解題最重要的思維習慣.面對難題,面對沒有見過的題,首先就要想到轉化,也總是能夠轉化的.平時,老師在課堂上要教學生是怎樣解題的,是怎樣“化難為易,化繁為簡,化未知為已知”的.并要求同學之間多交流交流成功轉化的體會,深入理解轉化的真正含義,切實掌握轉化的思維和技巧.

例2:如圖,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E,則陰影部分的面積是多少?.解此題時就應注意將不規(guī)則圖形轉化;將陰影部分面積轉化為規(guī)則圖形來求面積.連接OE、交BD于點F,則△OFB～=△EFD∴

(三)分類討論的思想

要求學生在考慮問題時一定要周全,多想幾個如果.

圖3

圖4

例3: 圓中兩平行弦長分別為6cm、8cm,半徑為5cm,則兩弦之間的距離是多少?

學生總出現(xiàn)只考慮一種情況的答案:

(1)當兩弦在圓心兩旁時,如圖所示:

(2)如果兩弦在圓心同旁時呢?

例4:相交兩圓的半徑分別為公共弦長為2,兩圓的圓心距為4或2.

(1).兩圓心在公共弦的兩側.(2).兩圓心在公共弦的同側.

例5:圓中一弦所對的弧是兩條,所對的圓周角也是兩種情況.

(四)培養(yǎng)“方程”的思維能力

數學是研究事物的空間形式和數量關系的,最重要的數量關系是等量關系,其次是不等量關系.最常見的等量關系就是“方程”.比如等速運動中,路程、速度和時間三者之間就有一種等量關系,可以建立一個相關的等式:速度時間=路程,在這樣的等式中,一般會有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是“方程”,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程.我們的學生在小學就已經接觸過簡易方程,而初一則比較系統(tǒng)地學習解一元一次方程,并總結出解一元一次方程的五個步驟.如果學會并掌握了這五個步驟,任何一元一次方程都能順利地解出來.初二、初三學習解二元一次方程組、一元二次方程、分式方程.解這些方程的思維幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決.另外,初中物理中的能量守恒,化學中的化學平衡式,現(xiàn)實中的大量實際運用,都需要建立方程,通過解方程來求出結果.因此一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學好,進而學好其它形式的方程.所謂的“議程”思維就是對于數學問題,特別是現(xiàn)實當中碰到的未知量和已知量的錯綜復雜的關系,善于用“方程”的觀點去構建有關的方程,進而用解方程的方法去解決它.

三、解完題后的反思訓練.

讓學生養(yǎng)成解題后反思的習慣,是解題教學中非常重要的一環(huán),必須十分重視.

(一)檢驗求解結果.主要是核查結果是否正確無誤,推理是否有理有據,解答是否祥盡無漏.

例6:設x1,x2是關于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a?2=0的兩個根,當a為何值時,有最小值?最小值是多少?

解:

(二)討論解法.主要是尋求其它不同解法或改進解法,分析解法特征關鍵和主要思維過程;尋找規(guī)律,多題一解等.這將有利于開拓思維、積累經驗,整理方法;有助于增強思維的靈活性和發(fā)展提高解題能力.

(三)解題后的總結、歸納、推廣.

例7:求得菱形的面積是兩條對角線的乘積的一半.那么,四邊形的兩條對角線互相垂直,是否都滿足此結論?

例8:證明:順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形,以后,可進一步發(fā)展推廣為:“這個平行四邊形的周長等于原四邊形的兩條對角線長度和.”

解題后的反思、總結、推廣,也是培養(yǎng)學生積極思維、發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造突破能力的有效途徑.如果能讓學生養(yǎng)成習慣,會收到很大的效益.

四、增強自信是解題的關鍵

自信才能自強,在考試中,總是看到有些同學的試卷出現(xiàn)許多空白,有好多題根本沒有動手去做.俗話說,藝高膽大,藝不高就膽不大.但是做不出是一回事,沒有去做又是另一回事.稍微難一點的數學題都不是一眼就能看出它的解法和結果的.要去分析、探索、比比畫畫、寫寫算算,經過迂回曲折的推理或演算,才能顯現(xiàn)出條件和結論之間的某種聯(lián)系,整個思路才會明朗清晰起來.沒有動手去做,又怎么知道自己不會做呢?即使是老師,拿到一道難題,也不能立即答復學生.也同樣要去分析研究,找到正確的思路后才能講授.不敢去做,稍微復雜一點的題(不一定是難題,有些題只不過是敘述多一點),是缺乏自信心的表現(xiàn).在數學解題中,自信心是相當重要的.要相信自己,只要不超出自己的知識范疇,不管哪道題,總是能用自己所學過的知識把它解出來.要敢于去做題,要善于去做題.這就叫做在“在戰(zhàn)略上藐視敵人,在戰(zhàn)術上重視敵人”.具體解題時,一定要認真審題,緊緊抓住題目的所有條件不放,不要忽略了任何一個條件.一道題和一類題之間有一定的共性,可以想想這一類題的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住這一道題的特殊性.抓住這一道題與這一類題不同的地方,數學題幾乎沒有相同的,總有一個或幾個條件不相同,因此思路和解題過程也不盡相同.有些同學老師講過的題會做,其他題就不會做,只會依樣畫瓢,題目有些小的變化就無從下手.當然做題先從哪兒下手是一件棘手的事,不一定找得準.但是,做題一定要抓住其特殊性則絕對沒錯.選擇一個或幾個條件作為解題的突破口,看由這個條件能得出什么,得出的越多越好,然后從中選擇其它條件有關的,進行推算或演算.一般難題都有多種解法,條條大道通羅馬.要相信利用這道題的條件,加上自己學過的那些知識,一定能推出正確的結論.數學題目是無限的,但數學的思想和方法卻是有限的.我們只要學好了有關的基礎知識,掌握了必要的數學思想和方法,就能順利地對付那無限的題目.題目并不是做得越多越好,題海無邊,總也做不完.關鍵在于你有沒有培養(yǎng)起良好的數學思維習慣,有沒有掌握正確的數學解題方法.當然,題目做得多也有若干好處:一是熟能生巧,加快速度,節(jié)省時間,這一點在考試中時間有限制時顯得尤為重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式,形成良性循環(huán).解題需要豐富的知識,更需要自信心.沒有自信心就會畏難,就會放棄.只有自信才能勇往直前,才不會輕言放棄,才會加倍努力地學習,才有希望攻克難關,迎來屬于自己的春天.

總之,只有讓學生學好有關的基礎知識,認真審題,把握必要的數學思想和方法,養(yǎng)成良好的數學思維習慣,不斷反思、總結、歸納、推廣,舉一反三,增強學生的自信,那么就能逐步培養(yǎng)學生解題能力,提高學生的數學整體素質.