《等可能性》教學實錄與反思

江蘇省蘇州市吳中區迎春中學(215128) 凌勤霞

《等可能性》教學實錄與反思

江蘇省蘇州市吳中區迎春中學(215128) 凌勤霞

2015年11月20日,江蘇省中學青年數學教師優秀課觀摩與評比活動在江蘇省淮安清江中學舉行,活動內容為現場上課.筆者有幸代表蘇州市參加了此次比賽,課題為蘇科版九年級上冊《等可能性》.本文結合自己的切身磨課經歷就如何發揮學生主動性、構建高效課堂談談自己的體會.

一、基本情況

1.1 教材分析

蘇科版八年級下冊的“認識概率”是讓學生知道生活中有大量的隨機事件,可以用大量試驗結果的頻率來估計概率,而九上“等可能條件下的概率”是從理論的角度求隨機事件的概率.它與八下第8章“認識概率”相銜接,是“認識概率”的延續.而本課時“4.1等可能性”這節課是學習本章的開始,重在理解等可能的意義,使學生會根據隨機試驗結果的客觀對稱性和均衡性判斷試驗結果是否具有等可能性.

1.2 教學目標

(1)會列出一些類型的隨機試驗的所有可能結果;

(2)理解等可能的意義,會根據隨機試驗結果的對稱性或均衡性判斷試驗結果是否具有等可能性．

1.3 教學重點理解等可能性概念的意義,會根據隨機試驗結果的對稱性或均衡性判斷試驗結果是否具有等可能性.

1.4 教學難點等可能性概念的形成．

二、課堂實錄節選

環節一、情境

師: 同學們,我們知道數學來源于生活,又服務于生活,生活中很多領域很多方面都涉及到數學,比如一場足球比賽,其中也蘊含著數學知識.下面請大家觀看一段小視頻,注意觀察裁判的動作.

師: 視頻中裁判在做什么?他在用拋硬幣決定什么?……你覺得這么做對雙方公平嗎?合理嗎?為什么?

此時讓學生自由的說出自己的想法

師: 為了更好地研究足球裁判拋硬幣決定開球是否合理,我們今天將一起學習新的知識——4.1等可能性.

【設計意圖】足球運動是學生熟知的又感興趣的活動,通過這個情境激活學生已有的經驗,以學生的已有經驗作為新知識的生長點,自然的引出本課時要探究的課題.觀看視頻的引入方式可緩解師生間的陌生感和緊張感,也可讓學生真切的感受到數學來源于生活,服務于生活,同時可激發學生的主動探究的興趣.

環節二、探究

【探究1】師: 什么是等可能性呢?讓我們回到剛才的拋硬幣問題.規則是拋到正面甲開球,拋到反面乙開球(板書:正→甲開球,反→乙開球)裁判拋硬幣,雙方能預測到結果嗎?

生:不能

師:雖然無法確定結果是什么,但是能知道可能出現的結果有哪些嗎?這些都是什么事件?

生:能.結果必定是正面或是反面中的其中一種情況.

師:正面朝上或是反面朝上的機會一樣嗎?

生:一樣

師:怎么來驗證機會一樣呢?

生:沉默

師:八年級時我們曾做過拋硬幣試驗,當時教材中列舉了一些統計學家統計出的實驗數據,我們一起來回顧一下.

試驗者試驗次數正面次數正面占比德摩根4092204850.05%蒲豐4040204850.69%費勒10000497949.79%皮爾遜240001201250.05%羅曼洛夫斯基806403969949.23%

通過這些大量的實驗數據,我們發現拋一枚硬幣,出現正面朝上和反面朝上的可能性都接近0.5,可見每一面朝上出現的機會是均等的.因此裁判用拋硬幣的方式決定哪方先發球是合理的,大家也都認可這種方式.

【設計意圖】為了引導學生得到等可能性的概念,此處提出了四個問題進行探究:①拋一枚硬幣會出現幾種情況? ②這是個什么事件?③出現的最終結果有幾個?④出現正面朝上和反面朝上的機會均等嗎?前三個問題學生對答如流,但如何解釋機會均等,筆者在磨課時作了幾次修改.最初是引導學生得到硬幣是質地均勻的幾何體,一帶而過.但發現學生并未真正的理解,會有疑問:為何質地均勻就機會均等了呢?要想驗證機會均等那就要通過實驗,但這樣的實驗八年級下冊頻率與概率一節已做過,放在此處做顯然重復了,且容易造成重點偏離.如何不做實驗讓學生真正的明白機會均等呢?最終選擇了列舉統計學家的實驗數據來說明問題.這張表格在八年級下冊頻率與概率出現過,利用大次數實驗數據不僅具有說服力還節省了大量時間,更重要的是學生能從根本上理解了為什么機會均等.

【探究2】師:現在看老師手中的百寶箱,里面有一些道具,請同學抽取一個道具,我們來研究研究.請看某某同學抽到的道具,一個不透明的袋子中裝有標號為1、2的兩個小球,這些球除標號外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,摸到每個號碼的的可能性相同嗎?

師: 摸球之前你能確定我將會摸到哪個球嗎?可以知道會有哪些可能的結果出現嗎?因此摸到1號,2號球都是什么事件?摸到每個球的機會均等嗎?

生:隨機事件,機會均等.

師:大家都直觀感受到摸到每個球的機會是均等的,我們怎么驗證呢?

生:可以通過做大量的試驗來驗證.

師:我們能不能不做實驗,用數學方法解釋每個球出現的機會均等呢?請同桌互相討論一下.

師:我們可以把摸球試驗和拋硬幣試驗對應起來,正面→1號球,反面2號球,我們前面已經用試驗證實過拋硬幣拋到正面和反面的機會是均等的,那就意味著摸到1號球和2號球的機會也是均等的了.所以摸到每個號碼的可能性是相同的.

師:現在我把一個標號為3的小球放進這個袋子中,這3個球除標號外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,摸到每個號碼的球的可能性相同嗎?

師: 如果袋子中有4個球呢?摸到每個號碼的球可能性還一樣嗎?如果袋子中有n個球呢?此時摸到的所有可能結果有多少種?它們都是什么事件?每次摸球的結果有幾個?摸到每個球的機會均等嗎?

師: 一般地,設一個試驗的所有可能發生的結果有n個,它們都是隨機事件,每次試驗有且只有其中的一個結果出現,如果每個結果出現的機會均等,那么我們說這n個事件的發生是等可能的,也稱這個試驗的結果具有等可能性.

【設計意圖】學生從拋硬幣的4個問題中已經初步感受到了事件的等可能性,這時教師趁勢追擊,通過摸2個球、3個球、4個球、n個球的問題引導學生進行探究,從而提煉出等可能性的4個基本特征.對于機會均等,由于前面已通過大次數實驗數據說清楚了這個問題,所以不必作一一說明,可以通過類比對應思想將摸2個球、3個球···n個球的試驗與拋硬幣試驗相對應,同時也滲透了從特殊到一般的數學思想.

環節三、應用

1.【概念辨析】

辨析1:拋擲一枚圖釘,圖釘落地后出現“釘尖著地”和“釘尖不著地”的可能性相同嗎?

辨析2:桌上倒扣著背面完全相同的4張不同花色的撲克牌(每種花色各一張),從中任取一張,抽到每種花色的撲克牌的可能性相同嗎?

辨析3,拋擲一枚質地均勻的骰子一次,出現6種點數中任何一種點數朝上的可能性相同嗎?

【設計意圖】不僅從正面加深了學生對等可能性概念的理解,也利用反例進行了深化.讓學生明確:同時滿足4個基本特征的才具有等可能性,而4個基本特征中只要有1個特征不符合,比如每個結果出現的機會不均等,那么它就不具有等可能性.在分析過程中引導學生將這些問題與前面的摸球試驗進行類比,讓學生感受到所有問題都可以轉化為摸球問題,建立數學模型,提高了學生分析問題解決問題的能力,發展了學生的思維能力．

2.【例題講解】

例(1)一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個黑球、1個橙球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球.摸到每個顏色的球是等可能的嗎?

【設計意圖】本題一方面是鞏固等可能性的概念,另一方面是教師板書示范書寫格式,讓學生關注事件描述的完整性,為后續事件的規范描述作鋪墊．

例(2)一只不透明的袋子中裝有2個白球、1個橙球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球.摸到白球與摸到橙球是等可能的嗎?為什么?

3.【數學實驗1】實驗要求:1.每次任意從袋中摸一個球,摸后放回,充分攪勻后再摸第二個;

2.4 人一組,1人拿袋子,1人摸球,1人記錄,1人監督.共摸球20次;

3.實驗結束后記錄員將實驗數據填入總表;

【設計意圖】本題是(1)的變式,意在讓學生發現各題間的差異與共性.其難點是如何解釋摸到白球和橙球的機會不均等,為此設計了數學實驗環節.通過分組實驗,利用匯總的大數據,讓學生在試驗中主動探究,深刻的感受到摸到白球和橙球不是等可能的.小組實驗的方式也培養了學生的動手能力和合作精神.

例(3)改變(2)中的條件,使摸到白球和摸到紅球是等可能的.

【設計意圖】由非等可能性轉變到等可能性,這是對等可能性概念的再次深化理解.開放題型,發散了學生的思維、調節了課堂氣氛,也為后面提升環節中數學實驗2作鋪墊.

環節四、提升

拋擲一個質地均勻的正十二面體,12個面上分別標有1～12這12個整數,拋擲這個正十二面體1次．(道具出示)

(1)朝上一面的數會出現哪些可能的結果?這些結果的出現是等可能的嗎?

(2)出現朝上一面的數是奇數與出現朝上一面的數是偶數是等可能的嗎?為什么?

(3)出現朝上一面的數是4的倍數與朝上一面的數是6的倍數是等可能的嗎?為什么?

師: 你能和前面的摸球模型聯系起來嗎?其實它就相當于摸幾個不同號碼的球?

生:相當于摸球試驗中摸12個不同號碼的球

【數學實驗2】在本題的背景下,請你設計一個拋擲正十二面體出現的等可能事件,把它寫在老師發給你的小紙片上,寫好后對折兩次,放入這個不透明袋子.

師: 現在這個不透明袋子中有張形狀大小完全相同的紙片,攪勻后任意摸一張紙片,摸到每張紙片是等可能的嗎?為什么?相當于摸幾個號碼不同的球?

生: 是等可能的,相當于摸45(學生人數45人)個號碼不同的球.

師:請一個同學上來任意抽一張紙片,然后我們一起來判斷紙上同學寫的是否符合要求.

【設計意圖】前3小題是為了進一步加強對等可能性概念的認知,利用概念解決問題.滲透模型思想,讓學生感受到所有的實驗都可以找到對應的數學模型—-摸球試驗.后面的數學實驗本身就具有等可能性,試驗要求是讓學生嘗試舉例,感悟事件的等可能與不等可能,加強對事件等可能性的理解.讓學生體會數學服務于生活的同時優化了學生的思維品質,培養了創新意識.整個實驗全程由學生獨立完成,人人參與,在動腦、動手、動口的活動中靈活運用概念,充分體現了以學生為主體的教學理念.

環節五、總結

這節課我們通過自己動手實驗、通過觀看統計學家的數據,體會了機會的均等,學習了等可能性,知道了滿足什么樣條件的試驗是具有等可能性的.在這個過程中我們還發現了這些試驗其實都可以找到對應的數學模型,如:拋硬幣試驗、摸球試驗,這就是數學中的模型思想.

三、課后反思

1.關注學生興趣點,創設有效生活情境

創設有效的問題情境是開展數學教學活動的前提,它能起到思維定向、激發欲望的作用.本節課通過一段足球開場猜邊的視頻來創設情境,既是學生熟悉的,又十分簡明;既能拉近與學生的心理距離,激發學生的探究興趣,又能體現“數學來源于生活,又服務于生活”的指導思想.激活了學生已有的經驗,以學生的已有經驗作為新知識的生長點,自然的引出本課時要探究的課題,引向了數學的本質——等可能性.

2.引導學生主動探究,發揮學生主體作用

在整個教學過程中教師一直充當的是組織者和引導者的身份,通過層層設問,促進學生積極思考,主動探究.以學生熟悉的拋硬幣為研究起點,再過渡到摸兩個小球的問題,引申到摸三個球、四個球、n個球的問題,讓學生在類比中探究得到等可能性的概念.符合探索、發現、歸納等思維規律,體現了以教師為引導、學生是學習主體的教學理念.應用引申環節,通過兩個數學實驗讓學生在活動中體驗等可能性,親身感受等可能性的本質.調動了學生的積極性,主動性,讓學生在動腦、動手、動口的活動中掌握概念,理解概念,還體驗了發現概念的喜悅感,從而進一步激發學習數學的熱情.這樣的課堂,學生獲得的不僅僅是數學知識,更重要的是一種過程體驗,一種分析問題和解決問題的能力,一種自然的智慧生成.

3.組織多元教學活動,建構科學高效課堂

中學數學課程標準指出“教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上.教師應激發學生的學習積極性,向學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正掌握基本的數學知識與技能、數學思想方法,獲得廣泛的數學活動經驗.”本課在這方面進行了精心設計,在教學過程中設置了多元活動.比如探究概念中的摸球活動,應用中的實驗1和提升中的實驗2,教師提供機會讓學生動手操作、觀察思考、自主探究、合作交流,在活動中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題,親身經歷數學概念的生成過程,深刻理解數學概念的內涵和外延,提升學生的思維的深度和廣度.

4.充分挖掘知識聯系,滲透數學思想方法

本課時的難點是等可能性概念的形成,為了突破難點利用摸小球試驗,引導學生從“所有可能出現的結果有幾種”“能確定出現的是什么結果嗎?”“最終的結果有幾個”“這些結果出現的機會均等嗎?”這四個問題去思考.它們是建立在學生已有的知識上的,所以很容易得解.但是對于為什么機會均等,學生就解釋不清了.此時可以借用之前已解決的拋硬幣問題,把摸到1號球與拋到正面對應,2號球與拋到反面對應.既然前面已經用大量數據試驗證實過拋硬幣拋到正面和反面的機會是均等的,那就意味著摸到1號球和2號球的機會也是均等的.摸兩個球的問題解決了,那隨后摸三個球、四個球、n個球的問題也都能解決,由此從特殊到一般歸納出等可能性的概念.概念形成的同時建立了摸小球的數學模型.運用概念時強化數學建模思想,隨后出現的拋圖釘,拋骰子、摸撲克牌、拋正十二面體試驗都能轉化為建立的摸小球模型中.這樣就引導學生跳出問題統攬全局,有效幫助學生分析問題本質,提升學生的數學素養.

5.合理使用媒體技術,融合傳統教學與現代媒體

本節課在傳統教學的基礎上,融入了多媒體教學手段.上課伊始,利用多媒體播放視頻導入新課,這比由教師口述問題情境要生動有趣的多.緩解了緊張的氣氛也讓學生在愉悅的情境下產生對新知識的好奇與渴望,從而增強學生學習的積極性.數學實驗1利用EXCEL表格中的求和功能,求出了12個小組實驗數據的總和,讓大家看到了大實驗數據的結果,省時省力.數學實驗2利用了多媒體實物投影,將學生寫的等可能性事件投影出來,這有助于更好的進行教學互動和教學反饋.多媒體的合理使用,對學生的探究起到了啟發、輔助和展示的作用,既有利于教師的教又有利于學生的學.