讓探究成為數學課堂教學的主旋律
——略談數學教學中的解題教學

廣東省佛山市南海區鹽步中學(528247) 蔡凱儀

讓探究成為數學課堂教學的主旋律
——略談數學教學中的解題教學

廣東省佛山市南海區鹽步中學(528247) 蔡凱儀

今年8月有幸到西安向羅增儒教授學習,獲益匪淺,在6天的學習中深感羅教授的睿智、風趣,同時也不斷地反省自己的教學,深有感悟.“解題教學是解題活動的教學”解題活動是一種思維活動,解題教學不僅要教解題活動的結果(答案),而且要呈現解題活動的必要過程——暴露數學解題的思維活動.沒有過程的結果是現成事實的外在灌輸,沒有結果的過程是學習時間的奢侈消費,解題教學不僅要獲得答案,而且要從獲得答案的過程中學會怎樣解題,把過程與結果結合起來.

暴露數學解題的思維活動有兩個關鍵過程,其一是“從沒有思路到獲得初步思路”的認知過程(我們叫做第一過程的暴露),其二是對初步思路反思的元認知過程(我們叫做第二過程的暴露),解題教學不僅要有第一過程的暴露(已經引起注意),而且還要有第二過程的暴露(想知道很多而又有很多不知道).良好的解題習慣有四個步驟:理解題意、思路探究、表達規范、回顧反思.

一、認真審題,理解題意

解題是運用已知條件探求未知結論的一個過程,題目的條件和結論是“怎樣解這道題”的兩個信息源,審題的實質是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息與啟示.只有仔細讀題、認真審題,才能弄清問題的全部條件及其結構,明確解題方向,這就是第一過程的暴露;分清條件的結構、層次,善于抓住關鍵的條件(能為解題提供方向),對局部條件的轉譯改造(使之字母化,便于推理),充分挖掘隱蔽條件是第二過程的暴露.

例1: 如圖,一小球從斜坡O點處拋出,球的拋出路線可用二次函數y=?x2+4x的圖象表示,斜坡可以用一次函數的圖象表示.

圖1

(1)請用配方法求二次函數圖象最高點P的坐標;

(2)小球的落點是A,求點A的坐標;

(3)連結拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積.

這是2015年中考的一道數學題,那么我們說的審題是審什么呢?必須掌握三個要點:(1)弄清題目的條件是什么,一共有幾個,其數學含義如何.首先,條件包括明顯寫出的和隱蔽地給予的,弄清條件就是要把它們都盡量找出來;其次(更重要的),是弄清條件的數學含義,即看清楚條件所表達的到底是哪些數學概念、哪些數學關系.如題目中的“二次函數”“一次函數”“配方法”“最高點”“三角形面積”等關鍵字眼必須要求學生在題目中圈出來,讓第一過程的暴露更加充分.(2)弄清題目的結論是什么,就是要弄清“求解”(探索)的性質或范圍,它們與哪些數學關系、哪些數學概念有關,以明確推理或演算的方向.(3)弄清題目的條件和結論有哪些數學聯系,是一種什么樣的結構.

二、利用操作流程圖進行思路探究

中學數學的解題教學(特別是考試中)的基本想法是,把待解決或未解決的問題,化歸為一類已經解決或者比較容易解決的問題.要弄清題目的條件和結論有哪些數學聯系?是一種什么樣的結構?這其實就是進行思路探究了,我們把探什么、怎么探設計為一個信息操作流程圖.

圖2

解題過程的分析中,我們既進行邏輯結構的分析又進行信息流程的分析,弄清了證明中用到哪些知識、哪些方法,這些知識和方法又是怎樣組成一個和諧的邏輯結構的.如果把揭示“思路探求”叫做“第一過程”的數學思維暴露,那么繼續揭示“解題活動”就可以叫做“第二過程”的數學思維暴露了,解題思路初步獲得是開始“第二過程”暴露的最好時機.

三、定方法、找起點,表達清楚、規范

在實現計劃中“怎樣表達”,這對學生來說仍然是一個需要系統指導和嚴格訓練的問題.羅增儒教授建議抓住15字口訣:定方法、找起點、分層次、選定理、用文字;和24字要領:方法簡單、起點明確、層次清楚、定理準確、論證嚴密、書寫規范.本人認為這15字口訣和24字要領非常有實效性,初三學生解幾何題思路混亂,欠規范,關鍵是找不準方法,錯選定理,導致把簡單問題復雜化,老在原地繞圈子,最后把自己也給忽悠了.

以例1的第(3)小問為例,要求△POA的面積就必須找出三角形的底邊與高,但這道題目中想要直接找出△POA的底邊與高顯然不可行,怎么辦?這時教師應引導學生再作探究,讓學生找準解題的起點.

變式1:如圖,一小球從地面O點處拋出,球的拋出路線可用二次函數y=?x2+4x的圖象表示小球的落點是A,

(1)求點A的坐標;

(2)連結拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積.

圖3

學生1: 要求A點的坐標,就是要求拋物線y=?x2+4x與x軸交點的坐標,令y=0就可以了.

學生2:求S△POA,我認為用OA作為三角形的底邊,就是A點的橫坐標.

學生3:高是最高點P的縱坐標,求出y=?x2+4x的頂點坐標,問題得解.

師引導學生歸納: 在平面直角坐標系中求三角形面積,取三角形的底邊時,一般以坐標軸上線段或以與軸平行的線段為底邊.

變式2:如圖,一小球從樓上5米處的O點處拋出,球的拋出路線可用二次函數y=?x2+4x的圖象表示,小球的落點是A,

(1)求點A的坐標;

(2)連結拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積.

圖4

學生4: 因為小球從樓上5米處的O點處拋出,故令y=?5,得?x2+4x=?5從而求出A點坐標.

師:你很棒!那△POA的面積要怎樣求呢?學生分小組討論.

學生5:可以把△POA分成兩個三角形,△POB和△BOA這樣就轉變為變式1的類型了.(掌聲鼓勵)

師:這位同學用的是割的辦法,還有其它的方法嗎?

學生6:我用補的方法,如圖還可以看成一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積.

師:太棒啦!從這一道題目中大家又有什么感悟呢?

師引導學生歸納:三邊均不在坐標軸上的三角形及不規則多邊形需把圖形分解.(即采用割或補的方法把它分解成易于求出面積的圖形).

圖5

通過這兩道變式題的學習,對于例題1的第(3)問求△POA的面積,學生就能輕而易舉地解決了.

四、回顧反思,做一道,懂一類

反思就是從自身的認識活動中“脫身”出來,作為一個“旁觀者”來看待自己剛才做了些什么事情,使自己的活動成為了思考的對象.有兩個層面的回顧反思,一個是解題層面的回顧反思,主要是復查檢驗,看計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多、更簡單的.另一個是學會解題層面的回顧反思表現為解題后對數學題目本身及解題方法的重新認識.如解題中用到了哪些知識?用到了哪些方法?這些知識和方法是怎樣聯系起來的?自己是怎么想到它們的?困難在哪里?關鍵是什么?遇到過什么障礙?后來是怎么解決的?對于第二層面的回顧反思我們也稱之為回顧小結,能使學生進一步增強解決問題的策略意識,增強克服困難的勇氣,獲得成功的體驗,升華到“做一道,懂一類”的境界.

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐

[2]石生民.初中數學課例點評