高認知水平數(shù)學(xué)任務(wù)的案例分析與教學(xué)啟示
——以“斐波那契數(shù)列”為例

四川師范大學(xué)(610068) 王琳 潘亦寧

高認知水平數(shù)學(xué)任務(wù)的案例分析與教學(xué)啟示
——以“斐波那契數(shù)列”為例

四川師范大學(xué)(610068) 王琳 潘亦寧

數(shù)學(xué)任務(wù)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的推動力,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有利環(huán)境的基礎(chǔ).常規(guī)的數(shù)學(xué)評課主要從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、師生互動等方面對課堂進行綜合評價,卻很少從數(shù)學(xué)任務(wù)的角度對課堂進行評價,這樣難以揭露學(xué)生課堂活動實際操作的思維水平和類型.美國比茲堡大學(xué)Stein博士等在“QUASAR”(QuantitativeUnderstanding:Amplifying Student Achievement and Reasoning)項目的研究過程中構(gòu)建了一個用于分析教學(xué)、幫助教師設(shè)置高認知水平數(shù)學(xué)任務(wù)的理論——數(shù)學(xué)任務(wù)框架,可以很好地的關(guān)注學(xué)生課堂活動參與的實際認知水平.對于數(shù)學(xué)任務(wù)的定義,“QUARSA”項目研究者明確指出,數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)位于教與學(xué)的相互作用之中,數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)不僅是課本上或教師授課計劃中出現(xiàn)的問題,而且是圍繞教師和學(xué)生組織和實施那些問題所進行的課堂活動1.其中,把數(shù)學(xué)任務(wù)按照學(xué)生的認知要求進行分類,分為低層次認知要求與高層次認知要求,低層次認知要求又細分為記憶型與無聯(lián)系的程序型,高層次認知要求細分為有聯(lián)系的程序性與做數(shù)學(xué).對一個數(shù)學(xué)任務(wù)究竟屬于哪一個水平,可參照“任務(wù)分析指南”對數(shù)學(xué)任務(wù)的認知特征進行判定,從而理解課堂教學(xué)的本質(zhì)及課堂教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)系.

1.研究對象選取

本文研究對象為筆者實錄課“斐波那契數(shù)列”,錄課時間為2016年4月,錄課地點為成都市某重點中學(xué),是該校第30屆“核心素養(yǎng)培育”教學(xué)研討會中的一堂數(shù)學(xué)課,執(zhí)教人Y教師為該校另一校區(qū)具有豐富經(jīng)驗的優(yōu)秀教師,Y教師希望課堂充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,培養(yǎng)學(xué)生的思考、推理、問題解決、數(shù)學(xué)交流和探究力,故授課內(nèi)容選自于北師版課后閱讀材料“斐波那契數(shù)列”.Y教師授課對象的選取為授課前三天隨機抽取的一個高一班級,該班級共40個人,班級學(xué)習(xí)氛圍濃厚,學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀,學(xué)生樂于學(xué)習(xí),思維活躍,男生的推理與探究能力略高于女生,學(xué)生在上課前一天被告知學(xué)習(xí)內(nèi)容,有提前預(yù)習(xí)課后閱讀材料“斐波那契數(shù)列”的相關(guān)知識.

2.案例分析

2.1 研究結(jié)果

Y教師將全班分為8個小組,每個小組5人呈圓形模式圍繞大課桌坐下,便于小組內(nèi)部交流.筆者反復(fù)觀看錄像帶,羅列出課堂上兩個主要的數(shù)學(xué)任務(wù).表1為“數(shù)學(xué)任務(wù)1:報數(shù)游戲活動”,表2為“數(shù)學(xué)任務(wù)2:性質(zhì)探究”,通過表格縱觀整個課堂教師對數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)置及學(xué)生對數(shù)學(xué)任務(wù)的實施.

表1

表2

2.2 任務(wù)分析

任務(wù)1的報數(shù)游戲取材于2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題中的填空壓軸題,Y教師為了降低任務(wù)難度,保證課堂的順暢,將一個任務(wù)分解為2個子任務(wù),用子任務(wù)11提示學(xué)生思考對象,加之PPT按規(guī)律呈現(xiàn)數(shù)字,學(xué)生只需要按照老師的步驟,跟著老師的思維,便可以順利解決問題.任務(wù)1的設(shè)置看似十分“熱鬧”,調(diào)動了全班的學(xué)習(xí)積極性,實則從學(xué)生的認知參與程度來看,因教師“好心”搭建的子任務(wù),任務(wù)1由高認知要求中的有聯(lián)系的程序型降低為低認知要求中的無聯(lián)系的程序型,教師“包辦”學(xué)生的思維和推理,并告訴他們解答的程序,而一個低水平的任務(wù)不可能產(chǎn)生高水平上的參與與思考.對于Y教師設(shè)置的子任務(wù)12,學(xué)生也只需要對已經(jīng)介紹過得游戲規(guī)則進行重述再現(xiàn),屬于記憶型任務(wù),與所學(xué)知識無任何聯(lián)系.

Y教師在引出斐波那契數(shù)列的概念后,讓學(xué)生自主探究性質(zhì),再小組交流,最后教師使用投影儀讓學(xué)生上臺向全班陳述所得性質(zhì).探究過程之初,學(xué)生們不知如何處理這類問題,轉(zhuǎn)而詢問老師,然而,Y教師沒有向?qū)W生提示任何解決問題的方向,而是暗示學(xué)生觀察斐波那契數(shù)列的定義,思考等差等比數(shù)列的性質(zhì)討論.再過了幾分鐘有學(xué)生開始動筆想到了探索方向,這充分調(diào)動了學(xué)生“創(chuàng)新”的欲望,學(xué)生要完成任務(wù),就必須運用發(fā)散性思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高層次數(shù)學(xué)思維,學(xué)生主動探索,自我發(fā)現(xiàn),自我糾正,從不同角度,用不同的知識與方法處理實際問題、完善問題的解決途徑,把握斐波那契數(shù)列實質(zhì),揭示規(guī)律.

在學(xué)生上臺投影小組所得性質(zhì)時,Y教師不斷要求學(xué)生解釋說明他們是如何思考的,促進學(xué)生更深層次的意義理解,同時,也啟發(fā)其他學(xué)生進一步思考,如生2、生5、生7都是在上一位同學(xué)的陳述中獲得思路,進一步探討完善或從其他角度尋找新的數(shù)列性質(zhì).

Y教師設(shè)置的任務(wù)2屬于復(fù)雜的、非算法化的思維,要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程的本質(zhì),任務(wù)包含了多種可獲得的答案,不同答案體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想和觀點,如生1運用了觀察法從特殊到一般,生4用代數(shù)法證明猜想,生5用幾何直觀證明性質(zhì),體現(xiàn)了“幾何直觀”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),生6運用了極限的思維方式去發(fā)現(xiàn)黃金比等重要結(jié)論.在有能力的學(xué)生示范了高水平的解答行為,及Y教師給學(xué)生的思維和推理搭建的腳手架,同學(xué)們所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)由淺入深,層層遞進.數(shù)學(xué)任務(wù)2所顯示的種種特征都說明了任務(wù)2屬于高認知水平中的做數(shù)學(xué),是創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)任務(wù).

3.教學(xué)啟示

Y教師把課堂交給了學(xué)生,學(xué)生也回饋給老師們意想不到的驚喜,獲得專家老師的一致好評.通過“斐波那契數(shù)列”案例分析結(jié)合我國數(shù)學(xué)教學(xué)特點,可以獲得如下教學(xué)啟示.

(1)淡化形式,注重實質(zhì)

新課程倡導(dǎo)合作學(xué)習(xí),小組交流,筆者曾經(jīng)聽過一堂課,某數(shù)學(xué)老師為了強調(diào)合作學(xué)習(xí),在一節(jié)課里安排同桌(或小組)交流的次數(shù)竟然高達20多次,這樣的交流明顯只是流于形式,并未有高層次的數(shù)學(xué)思考.教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)來配置相應(yīng)的數(shù)學(xué)任務(wù),并提供給學(xué)生足夠的思考時間,適當(dāng)給學(xué)生的推理和思維搭建腳手架,如教師可以通過評論、提問等方式維持學(xué)生對證明、解釋或意義的強調(diào),超越任務(wù)的表面特征,從任務(wù)所要求的思維類型去判斷任務(wù)的認知水平.

(2)對教材給定內(nèi)容進行調(diào)整與創(chuàng)新

根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,創(chuàng)造性的使用教材.如教材上的斐波那契數(shù)列出現(xiàn)在課后閱讀材料中,書上僅介紹了兔子數(shù)列,進而引出“斐波那契數(shù)列”的概念,未做性質(zhì)探究及通項公式的探討,Y教師為了培養(yǎng)學(xué)生的問題解決、推理和數(shù)學(xué)探究的能力,對教材內(nèi)容進行重整改進,使這堂課生動飽滿,每個學(xué)生都得到了不同的收獲與發(fā)展.

(3)適當(dāng)增加高認知水平的數(shù)學(xué)任務(wù),開放思維

在中國,會聽到這樣的聲音:某個知識,理解了的,你可以去做,沒理解的,只要記住了,你也可以去做,在做的過程中會逐步理解.這就是所謂的記憶型理解——先記憶后理解.現(xiàn)需轉(zhuǎn)變這樣的數(shù)學(xué)觀念,從學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的角度思考,教師在課堂上應(yīng)減少記憶性的學(xué)習(xí),多增加一些復(fù)雜的,非常規(guī)性的、抽象的、開放性的、創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)任務(wù),這些任務(wù)需要學(xué)生相當(dāng)大的認知努力才能完成,克服思維定勢及思維固著,開放學(xué)生思維.

(4)加強教學(xué)反思

無論是對聽課者還是授課者,數(shù)學(xué)任務(wù)框架都是一個很好的教學(xué)實踐透鏡.它真正關(guān)注了學(xué)生在課堂上實際做些什么、想些什么及學(xué)到些什么,教師從認知要求的角度來分析自身的教學(xué),有利于教師對教學(xué)進行改進,更好的發(fā)揮高認知水平數(shù)學(xué)任務(wù)的作用.

[1]M.Stein.實施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例[M].李忠如譯.上海:上海教育出版社,2001:3-30.

[2]袁志玲,陸書環(huán).高認知水平教學(xué)任務(wù)的特征分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報.2006,15(4):26.

[3]姚靜,李德梅.創(chuàng)造性數(shù)學(xué)任務(wù)的特征與實例——與新課程實施者的對話[J].數(shù)學(xué)通報.2006,45(6):15.