初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想的研究*

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)黃岐初級中學(xué)(528248) 林奎樞

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想的研究*

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)黃岐初級中學(xué)(528248) 林奎樞

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.數(shù)學(xué)中一切問題的解決(當(dāng)然包括解題)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化,以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段……所以說,轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.

一、對數(shù)學(xué)化歸思想的進一步認(rèn)識

引例:“南海區(qū)2013-2014學(xué)年度第一學(xué)期期末考試八年級數(shù)學(xué)試卷”的第24題:如圖,已知A、B兩村莊的坐標(biāo)分別為(2,2)、(7,4),一輛汽車在x軸上行駛,從原點O出發(fā)．

圖1

(1)汽車行駛到什么位置時離A村最近?寫出此點的坐標(biāo)．

(2)汽車行駛到什么位置時離B村最近?寫出此點的坐標(biāo)．

(3)汽車行駛到什么位置時,距離兩村的和最短?請在圖中畫出這個位置,并求出此時汽車到兩村距離的和．

分析:(1)、(2)根據(jù)垂線段最短,可得答案;

(3)根據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”可作A點關(guān)于x軸的對稱點,根據(jù)兩點之間線段最短,可得答案．

點評:本題考查了最短路線問題,先作出A點的對稱點A′,連接A′B,最短路線問題轉(zhuǎn)化(即是化歸)為求線段連接A′B的長度了.

化歸常常是實際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實世界中抽象出來的,是對客觀事物的某些屬性的一個近似的反映,但對解決實際問題而言,數(shù)學(xué)模型卻是深刻、正確、完善地反映著現(xiàn)實.因此,把所考察的實際問題,化歸為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,通過對數(shù)學(xué)模型的研究,使實際問題得以解決,充分地體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)”的意識和能力.請看以下關(guān)系:

匈牙利著名數(shù)學(xué)家P.路莎曾指出:“數(shù)學(xué)家的思維過程是很典型的,他們往往不是對問題進行正面的進攻,而是不斷地將它變形,直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題”這位數(shù)學(xué)家所說的不斷將它變形直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題的過程事實上就是化歸.

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想的重要性

化歸是解決問題的一種最基本的思想方法,是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一,堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓,它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個領(lǐng)域和解題過程的各個環(huán)節(jié)中.數(shù)學(xué)大師波利亞說:解決問題需要不斷地變換,需要一再變化它,重新敘述它,直到最后成功地找到某些有用的東西為止,…….波利亞精辟地敘述了化歸思想方法的重要性.實際上,我們常常是把將要解決的陌生問題通過化歸,變?yōu)橐粋€比較熟悉的問題來解決,因為這樣可以充分調(diào)動和運用我們已有的知識、經(jīng)驗和方法應(yīng)用于問題的解決,也常常將一個復(fù)雜問題化歸為一個或幾個簡單的問題來解決,或?qū)⒊橄蟮膯栴}化歸為具體的問題來解決,等等,這就是化歸的思想方法.化歸的思想方法已滲透到整個教學(xué)內(nèi)容及解題過程中,它也是平時考試乃至中考的重點考查對象,對考生的要求也越來越高,化歸思想是數(shù)學(xué)的靈魂,它在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力方面起到了很重要的作用.因此理應(yīng)引起充分重視.

三、初中數(shù)學(xué)的化歸數(shù)學(xué)思想運用的題型舉例

著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出:“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程.下面我就通過舉例說明在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中所滲透的化歸數(shù)學(xué)思想.

(一)數(shù)(式)與數(shù)(式)之間的轉(zhuǎn)化

例1:(北師大八年級下第104頁第1(7)題改編):分解因式:9(a?b)2?(a+b)2

分析: 首先把3(a?b)和(a+b)看成整體,轉(zhuǎn)化為用平方差公式進行分解,再把括號里的同類項進行合并,觀察發(fā)現(xiàn)括號里還用公因式,再提公因式即可．

點評: 此題主要考查了公式法分解因式與提公因式法分解因式,熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵,把3(a?b)和(a+b)看成整體,轉(zhuǎn)化為用平方差公式進行分解,注意分解因式要徹底．

例2:已知x+y=3,且xy=?1,則x2+y2=

分析: 根據(jù)完全平方公式展開,可得x2+y2= (x+y)2?2xy,再把x+y、xy的值代入計算即可．

點評:本題考查了完全平方公式,注意可以根據(jù)完全平方公式轉(zhuǎn)化(化歸)x2+y2為(x+y)2、2xy的等量關(guān)系．

(二)形與形之間的轉(zhuǎn)化

比如:利用圖象變換的知識作出函數(shù)圖象;利用分割、補形、折疊、展開,作輔助線,輔助面處理空間圖形或平面圖形,包括把立體問題化歸為平面問題等等.

例3:請看南海區(qū)2012-2013學(xué)年度第二學(xué)期七年級數(shù)學(xué)期末綠色指標(biāo)監(jiān)測卷的第24題:

圖2

圖3

圖4

如圖,建筑工人經(jīng)常要測量兩堵圍墻所成的∠AOB(如圖,不是直角)的度數(shù)與外墻根部兩點A、B之間的距離,但人不能進入圍墻,又不能站在墻上,只能站在墻外.現(xiàn)有量角器和皮尺兩種工具,聰明的你幫助工人師傅想想辦法吧．

(1)請你設(shè)計一個寫出測量∠AOB的方案,在(1)上畫圖,并說明理由．

(2)請你設(shè)計一個外墻根部兩點A、B之間的距離,在(2)上畫圖,并說明理由．

點評:這道題體現(xiàn)了以下的轉(zhuǎn)化思想:第(1)問轉(zhuǎn)化為求對頂角或鄰補角等;第(2)問是實際問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建兩個全等三角形,轉(zhuǎn)化為全等三角形的性質(zhì)解決.

(三)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾在一首詩中寫道:數(shù)形結(jié)合百般好,兩家分離萬事休.這一句話道出了數(shù)形結(jié)合這一方法的重要性.

例4:乘法公式的探究及應(yīng)用.

(1)如左圖,可以求出陰影部分的面積是____(寫成兩數(shù)平方差的形式);

(2)如右圖,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個長方形,它的寬是___,長是___,面積是___(寫成多項式乘法的形式)

圖5

圖6

(3)比較左、右兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式(用式子表達).

(4)運用你所得到的公式,計算下列各題:

①10.3×9.7②(2m+n?p)(2m?n+p)

點評:此題主要考查了平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差,這個公式就叫做平方差公式．對于有圖形的題同學(xué)們注意利用數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化求解更形象直觀．

(四)實際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化

曹沖稱象的故事中,聰明的曹沖知道大象的體重不能直接去稱,就把稱大象的重量轉(zhuǎn)化為稱石頭的重量:他先把大象趕到船上,得到船吃水的深度;再把大象趕下船,往船上裝一塊塊的石頭,達到相同的吃水深度,于是,稱出石頭的重量即可得到大象的重量.曹沖的思維方法是實際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化.

例5:如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,點P從點A開始沿AB邊向B以2厘米/秒的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以1厘米/秒的速度移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),幾秒鐘后P、Q間的距離等于厘米?(把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題)

圖7

點評: 本題把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的數(shù)學(xué)模型,即轉(zhuǎn)化為直角三角形中勾股定理的運用,本題中抓住BP=2BQ并且根據(jù)勾股定理求t是解題的關(guān)鍵.

四、結(jié)語

化歸思想方法的主要特點是它的靈活性和多樣性,是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法,但并非萬能的方法,即并不是所有的問題都可以通過化歸而得到.解決的一個數(shù)學(xué)問題,組成主要元素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的,其形式并非唯一,而是多種多樣.所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,就沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循.因此,我們必須根據(jù)問題本身提供的信息,以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提,利用動態(tài)的思維,具體問題具體分析,有創(chuàng)新的精神,不斷地進行新的研究,在研究中獲得新方法、新理論,去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法.

*注:本文是由董磊老師主持的廣東省教育科學(xué)“十二?五”規(guī)劃2011年度立項課題《如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐研究》(課題批準(zhǔn)號:2011TJK014)的研究成果之一.