為學生搭一座“思考的階梯”

邊巨星

在五下練習課上，曾經教學過這樣一題：

這個頒獎臺是由3個長方體合并而成的，它的前后兩面涂上黃色油漆，其他露出來的面涂上紅色油漆。涂黃色、紅色油漆的面積是多少？

題中涂色油漆的面積計算，過程繁復、算式冗長。學生得出的方法僅僅局限——分別求出每個紅色面積再相加。由于計算的面需要不重復、不遺漏計數與數據的正確尋找，更是錯誤連連。因課堂上時間有限，其他方法皆由教師介紹引導得出，總感覺到意猶未盡，沒有拓展挖掘習題應有的價值。

而后在其他班級教學中，筆者有意把這題留在課外，讓孩子們回家思考。又考慮到學生初學長方體、正方體，空間表象有欠缺，所以先行讓學生制作領獎臺的模型。意在讓其觀察這個模型的過程中，幫助他們深刻理解組合長方體的面的空間位置關系，結果，如期取得了滿意的教學效果。

現把教學過程記錄如下，以求探討。

（教師先進行了課堂觀察，發現方法各異，于是有了以下的課堂交流）

師：說說你們是怎么想的？

生1：可以各自求出每個長方體中涂黃色與紅色的面積，然后相加。

師：行！這樣算，算式比較長吧？

生1：是的，就是有點麻煩。我計算了好幾遍，才確定了最后的結果。

（課堂觀察：很多孩子都認同他的觀點，有幾個孩子小聲嘀咕“計算很麻煩”。更有一些孩子躍躍欲試，急于表達自己的思考）

生2：我的想法有些不同，求黃色的面的面積，可以把這三個領獎臺一個一個疊起來，堆成一個高高的長方體。

師：高高的長方體？你能演示說明一下嗎？它的長、寬、高分別是多少？

生2：（把手中的模型1、2、3號相疊加演示）：我把它疊起來，變成了一個長是40厘米，寬是40厘米，高應該是65+（65-10）+40=160厘米的長方體。黃色部分只要求前后兩個面就可以了。

（課堂觀察：其他同學若有所悟，有些同學不由自主地拿起手中的模型模仿操作，而后小聲與同桌交流）

師：前面與后面面積相同，所以要乘以2。這種合并、轉化的想法很有道理。（板書：合并、轉化）涂紅色的油漆面積，能不能也合并、轉化成簡單的問題？

生3：老師，我知道。本來要分開算，很麻煩。我從左邊看，紅色的面積是由2塊長方形面積組成的，它們的長不同，寬相同。拼合后就是一個長65厘米，寬40厘米長方形面積。（課堂觀察：他一邊說，一邊把模型轉動著讓其他學生看，有些孩子也隨著變動自己的模型，有所發現。）右邊的面積跟左邊的面積一樣，也可以拼成一個長方形。從上面看，可以把3塊面拼起來，就是長120厘米，寬40厘米長方形面積。

師：老師聽明白了，你從左邊、右邊、上面觀察，把原來零碎的圖形變成了三部分，左邊一部分并成長方形，右邊也是一個相同的長方形，上面看，是3個正方形拼成的長方形。看得出，經過這么一想，計算變簡單了。

生4：老師，這個模型把它拆開后，平鋪一下，紅色的部分就可以轉化成一個長方形了。算出這個長方形的面積，也就算出了涂紅色油漆的面積（模型中2、1、3的編號為上課時教師用紅筆添加）。

（學生邊說邊演示）你看，我把紅色部分變成長方形了。寬是40厘米，但長就要把這些一段段的長度加起來。

師：（筆者不由自主地鼓起掌）孩子們你們明白他的意思嗎？

生4：（急不可耐地繼續補充）這個東西，其實就像我家一級一級的樓梯，鋪上地毯，地毯展開是長方形，要計算樓梯表面的面積，不用一塊一塊加，實際只要計算樓梯邊的周長和寬度就行了。

眾生：明白了，展開后，就是一個長方形，也就是涂紅色油漆的面積。

（課堂觀察：很快，學生列出了計算這個長方形面積的正確算式。）

“這就像一個樓梯。”學生用他自己的話語解釋了他對問題的思考。而筆者的思考是：我們該為學生的數學學習搭建一座怎樣的階梯？

1. 未雨綢繆——“局促”和“靈動”的對比

教學是慢的藝術，兩次教學，效果截然不同，關鍵之一在于筆者放慢了腳步，為學生搭建了一個充分思考的“時間階梯”與充分交流的“空間階梯”。在上述教學中學生從“計算的一般的方法”到“運用不同角度觀察合并”再到“立體圖向平面圖的轉化”，他們的認知慢慢趨于認同與完善。

實際上“教與學”不僅僅局限于上課期間，知識的消化與吸收，問題的思考與解決需要學生在時間與空間的延長中慢慢領會與感悟。

2. 善假于物——“直觀”與“想象”的融合

高年級中有關立體圖形的學習，不僅需要認識、掌握其特征，能正確進行有關表面積、體積計算，更重要的是，學生需要逐步形成并且穩固地建立起這些立體圖形的空間表象。但受學生思維特點和水平的限制，解決相關問題時暴露出來的空間觀念能力薄弱，往往使得這部分內容成為學習的難點。

基于以上思考，筆者通過“物”“圖”結合式的幾何直觀手段“讓學生制作領獎臺模型，讓他們在觀察這個模型的過程中，幫助他們深刻理解組合長方體的面的空間位置關系。”而生4闡述的“其實就像我家鋪的地毯，一級一級的樓梯，地毯展開是長方形，要計算地毯的面積，不用一塊一塊加，實際只要計算樓梯邊的周長和寬度就行了。”則是“直觀”與“想象”的思考融合的真實呈現。

當然，隨著學生空間表象的逐步豐富，抽象思維的不斷發展，如果只是一味停留在依靠“物”的操作與支撐階段，既不現實，也于學生的思維提升不利。因此，需要幫助學生逐步過渡到“想物思圖，見圖思物”，這樣既能培養學生的空間想象能力，又能促進學生進行數學思考的能力。

3. 追根溯源——“偶然”到“必然”的提升

在此教學過程中，似乎存在著思考方法發現的“偶然性”，那么如何能使這種“偶然”變為思考的“新常態”呢？追根溯源，筆者以為在長方體表面積的計算教學初期，除了掌握基本公式以外，理應引導學生通過“解剖”立體圖為平面展開圖，觀察發現長方體的表面積也可以用“側面積+底面積”的方法來計算。讓他們認識到側面積實際就是一個由4個長方形組成的“大長方形”，（如圖）所以側面積可以用“底面周長×高”來計算。這種三維與二維的“切換”，有利于學生溝通平面圖形與立體圖形的聯系，體驗到幾何直觀這一問題解決思維方式的優勢與價值，發展學生的空間想象能力。（同時也為后續的圓柱表面積計算做好了方法溝通的準備）。

經歷過這種從立體到平面的轉化，那么將領獎臺這個立體圖形的表面積計算，轉換為長方形面積的計算，也就順理成章，會成為思考的“必然結果”。

由此可見，教學中應充分考慮學生有可能出現的學習困難，盡可能為學生“鋪路搭橋”，前瞻性地為學生搭建“思考的階梯”，如此方能“水到渠成”，學有成效。

（作者單位：浙江諸暨市海亮教育園小學部）

責任編輯 鄒韻文