均值不等式的應用初探

李昊冉

摘要：均值不等式在諸多領域都投入了應用，并且占據了重要的地位，同時，均值不等式的應用無論是在初中高中階段，還是在高等數學階段，應用都是難點問題，并且在實際生活中的數量關系也更為普遍。不等式與方程、導數、函數等知識點密切相關，在研究函數的值域、定義域、最大值最小值、單調性方面發揮著重要的作用。本文將著重探討均值不等式的應用，從值域、定義域等方面入手。

關鍵詞：數量關系；均值不等式；應用

在實際的生活中，不等式中的數量關系比相等關系更為普遍。可以說成：相等是相對關系，而不等式是絕對的關系。不等式與各類數學知識點都有密切的關聯，在數學領域發揮著重要的作用，占據著重要的地位，我認為均值不等式在數學的學習中起到了十分關鍵的作用。通過均值不等式的學習，我認為均值不等式在解決疑難問題上面發揮著重要作用，我將根據學習中均值不等式的應用，從函數的值域、定義域、最值、單調性等方面舉實例進行分析。

一、均值不等式定理

均值的定理即是：如果a、b∈R+，則有（a+b）/2≥√ab，同時當a=b時，則等號成立。由此可知，兩個正實數的算術平均值大于或者等于其幾何平均值；或者可以說成是兩個正實數的等差中項大于或等于其等比中項，就幾何意義來說可以說成是半徑大于等于半弦。可以看出最值的定理是：a>0，b>0，當a+b=S時，S為定值，則在a=b時，ab存在最大值，最大值是S2/4；ab=S時，S為定值，則在a=b、a+b時存在最小值，最小值為2√S。從定理可以得出，均值不等式的應用需要三個必備條件：一正、二定、三相等，則要求在應用均值不等式時必須要保證數、和式子是正數，并且滿足大于零的條件，才不會出現誤解的問題[1]。

二、均值不等式的應用例題

1、求最值。我認為應用均值不等式求最值在高中的數學教學中屬于重點內容，在上文中詳細敘述了均值不等式的應用條件，因此，在求最值中應用均值不等式主要會使用以下三種方式：巧妙變形求最值法、直接求最值法、結合待定系數求最值法。以下則通過實際例題進行說明：

例題1：已知2b2-a2= 1，求y=∣a-2b∣的最小值。

綜上例題所述，在均值不等式的應用中，首先我們要了解其幾何原理，并且對其理論要有詳細的理解，才能夠使得解題的方式更加通透，能夠更加直觀的看到結果，以此更快更好的掌握題型。同時，可以加強相應的探究空間，將思考集中起來，變得更加細致縝密，才能夠準確的得出答案。其次，在學習過程中我們要重視均值不等式的應用，增加獨自解題的次數，才能夠對各類題型有所掌握，更好的解決問題，才能夠通過加強學習來鍛煉我們解決問題的能力[2]。

例題2：求解函數y=sinX+（4/ sinX），X∈（0，π/2]的最小值。

分析：我認為在應用均值不等式求解題目時，對于不同的題型是有不同的解題方法的，所以在解題之前必須要清楚提醒是否能夠滿足均值不等式的使用條件，再來選擇解題方法，才能夠有效避免解題誤區。

錯解：因為X∈（0，π/2]，所以sinX>0，4/sinX>0。

則有y=sinX+（4/sinX）≥√sinX×4/ sinX=4，所以sinX=2.

從解題中可以知道，當sinX=2時，不等式是不成立的，因此該題不能適用均值不等式解題，正確的解題方式應該是應用函數的單調性來解答。

正解：因為X∈（0，π/2]，所以0

所以0

又因為y'=1-4/T2，0

所以y=T+4/T，在（0，1]區間上是單調遞減的函數，ymin=5，則有T=1，即是sinX=1，X=π/2.

2、求值域。

例題3：求函數y=x+1/x，（x≠0）的值域。

錯解：y=x+1/x≥2√x·1/x=2，因此函數的值域是（2，+∞）

分析：出現錯解的問題是非常普遍的，所以在運用均值不等式時必須要注重解題條件，該題必須要將當x<0轉變成x>0。

正解：當x>0，y=x+1/x≥2√x·1/ x=2，x<0，則-x>0，

所以y = x + 1 / x =（- x + 1 / - x）≤-2√-x·1/-x=-2.綜上所述，即是函數 y=x+1/x，（x≠0）的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

由此可見，在應用均值不等式時成立條件是必備的解題因素。

三、均值不等式的應用注意事項

在均值不等式的應用中，由于不同的均值不等式對于實數的取值范圍不同，所以在應用中要求也不同，比如說當實數處于二次根號以下，則要求實數是大于或等于零的。其次均值不等式的使用目標是針對帶有等號的不等式，并且在解答問題時，需要滿足均值不等式的三個成立條件，才能夠順利的完成解題。然后，作為學生，需要掌握解題方法、解題技巧，才能在解題過程中如魚得水更好的完成作業，同時，我在學習過程中，為了能夠更快掌握學習技巧會使用如下方式代替數值：用符號、圖形、生活相關的用語等。將語言用符號代替，可以更加明確的展現出數、式與均值不等式的關聯

[3]。同時在比較圓的直徑和弦長時，也可以使用均值不等式求解，將均值不等式的幾何意義表達出來，在數學的實際應用中發揮著重要作用。最后，在所有周長相同的全部矩形中，面積最大的那個即是正方形。而在所有面積相同的全部矩形中，周長最小的那個即是正方形。由此可知，數學需要我們不斷的分析和論證，才能夠幫助我們更快更準確的解答問題。

四、結語

均值不等式在中學的學習中，不僅是重點內容，也是難點，但是它的應用范圍廣泛，尤其是在函數的最值求值上。在利用均值不等式求值時，其成立條件：“一正、二定、三相等”具有重要作用。雖說如此，但是在實際的解題應用過程中，依然會隨時出現問題，此時便要針對題目進行分析，找出合適的解題方法，來提高自身對于均值不等式的認識。同時，要根據自身的學習情況，根據自身對均值不等式的理解，學習舉一反三的數學知識運用，不斷提高自身學習能力。

參考文獻

[1] 王冬梅. 淺談均值不等式的應用[J]. 科教導刊（上旬刊），2014，04：64-65.

[2] 王琳，楊秀. 廣義均值不等式及其簡單應用[J]. 四川理工學院學報（自然科學版），2015，03：96-100.

[3] 潘偉云. 均值不等式的探討[J]. 呂梁教育學院學報，2016，01：96-97.